高中數(shù)學(xué)數(shù)列題型總結(jié)學(xué)案,講義

1、結(jié)論：（1）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（這里即）；。（2） 若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.【例】設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_（答：）（3）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎如（1）等差數(shù)列中，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最

2、大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006） 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列。如已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則. （答：）；在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)（答：40）。如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)（答：2）在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，。如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中

3、，真命題的序號(hào)是 （答：）一.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知求，用作差法：。如已知的前項(xiàng)和滿足，求（答：）；數(shù)列滿足，求（答：）已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則_（答：）若求用累加法：。如已知數(shù)列滿足，則=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求（答：）已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。如已知，求（答：）；已知，求（答：）；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如已知，求（答：）；已知數(shù)列滿足=1，求（答：）二.數(shù)列求和

4、的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類(lèi)討論.；常用公式：;.如等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_（答：）；計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_（答：）（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。如求：（答：）（3） 倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前

5、和公式的推導(dǎo)方法）。如求證：；已知，則_（答：）（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）。如（1）設(shè)為等比數(shù)列，已知，求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答：，；）；（2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并比較與的大小。（答：略；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）（5）裂項(xiàng)相消法：數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)有：；，； ；.如求和： （答：）；在數(shù)列中，且S，則n_（答：99）；（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，

6、發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。如求數(shù)列14，25，36，前項(xiàng)和= （答：）；求和： （答：）數(shù)列綜合題 S/n的結(jié)論例1已知數(shù)列a是公差d0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S(2)過(guò)點(diǎn)Q(1，a)，Q(2，a)作直線L2，設(shè)l與l的夾角為，“萬(wàn)能通項(xiàng)”，遞推公式，特殊數(shù)列的證明方法例2已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。數(shù)列的求和方法例4、設(shè)a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)的和Sn。解： （II）

7、數(shù)列與集合和函數(shù)綜合例5在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式。解：（1）（3）例6數(shù)列中，且滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）.（2）故 （3）m的最大整數(shù)值是7。五、強(qiáng)化訓(xùn)練6、若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（A） A 13 B 12 C 11 D 109、已知等差數(shù)列an滿足3a4=7a7,且a10,Sn

8、是an的前n項(xiàng)和，Sn取得最大值，則n=_9_.11、設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通項(xiàng)公式是_1/n12、已知數(shù)列an滿足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n1),則an的通項(xiàng)an=_a1=1;an=n2 13、定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_(kāi)3_，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_(kāi)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，14. 已知數(shù)列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，。(1)求a3,a5； （2）求an的通項(xiàng)公式解：（I）a3=3,a5=13.(II) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an= 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，15. 在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（）證明