高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)

1、數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)梳理第一章 三角函數(shù)、三角恒等變換一、角的概念的推廣任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。正角、負(fù)角、零角 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)成的角叫做正角， 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所成的角叫做負(fù)角， 一條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)所成的叫做零角。 可見(jiàn)，正確理解正角、負(fù)角和零角的概、關(guān)鍵是看射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針、順時(shí)針還是沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)。象限角、軸線(xiàn)角 當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合時(shí)，那么角的終邊在第幾象限（終邊的端點(diǎn)除外），就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。 當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合時(shí)，終邊落在坐標(biāo)軸上的角叫做軸線(xiàn)角。終

2、邊相同角 所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成集合S=|=+k360,kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。二、弧度制角度定義制 規(guī)定周角的為一度的角，記做1， 這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制，角度制為60進(jìn)制。弧度制定義 1、長(zhǎng)度等于半徑的弧度所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。用弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制。1弧度記做1rad。 2、根據(jù)圓心角定理，對(duì)于任意一個(gè)圓心角，它所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比與半徑的大小無(wú)關(guān)，而是一個(gè)僅與角有關(guān)的常數(shù)，故可以取為度量標(biāo)準(zhǔn)?；《葦?shù) 一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.如果半徑為r的

3、圓的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)為l，那么，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是。 的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。三、任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)的定義 設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,y），它與原點(diǎn)的距離r（），那么 1、比值叫做的正弦，記做，即。 2、比值叫做的余弦，記做，即。 3、比值叫做的正切，記做，即。 另外，我們把比值叫做的余切，記做，即；把比值叫做的正割，記做，即；把比值叫做的余割，記做，即。 對(duì)于一個(gè)確定的角，上述的比值是唯一確定的，它們都可以看成從一個(gè)角的集合到一個(gè)比值的集合的映射，是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)

4、。誘導(dǎo)公式一 終邊相同角的同一個(gè)三角函數(shù)的值相等。 ， ， ，以上kZ。 利用此公式，可以把球求任意角的三角函數(shù)值化為求0到2角的三角函數(shù)值。xyoPM正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn) 1、如圖所示，設(shè)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y），那么 ， 。 過(guò)點(diǎn)P（x,y）作PMx軸于M，我們把線(xiàn)段MP，OM都看做規(guī)定 了方向的有向線(xiàn)段：當(dāng)MP的方向與y軸的正方向一致時(shí)，MP是正的；當(dāng)MP的方向與y軸的負(fù)方向一致時(shí)，MP是負(fù)的。因此，有向線(xiàn)段MP的符號(hào)與點(diǎn)P縱坐標(biāo)的符號(hào)總是一致的，且|MP|=|y|，即總有MP=y。同理也有OM=x成立。從而，。我們把單位圓中規(guī)定了方向的線(xiàn)段MP，OM分別叫做角的正弦線(xiàn)、

5、余弦線(xiàn)。xyPMTAO 2、如圖所示，過(guò)A（1,0）作x軸的垂線(xiàn)，交的終邊OP的延長(zhǎng)線(xiàn)（當(dāng)為第一、四象限角時(shí)）或這條終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)（當(dāng)為第二、三象限角時(shí)）于點(diǎn)T，借助于有向線(xiàn)段OA，AT，我們有。于是，我們把規(guī)定了方向的線(xiàn)段AT叫做的正切線(xiàn)。 特別地，當(dāng)?shù)慕K邊在x軸上時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)T重合，；當(dāng)?shù)慕K邊落在y軸上時(shí)，OP與垂線(xiàn)平行，正切線(xiàn)不存在。四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 根據(jù)三角函數(shù)的定義，可以推導(dǎo)出同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系。 由三角函數(shù)定義有，。 ，即。 當(dāng)時(shí)，即同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切（其中）。關(guān)于公式的深化；如：；五、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式03

6、60之間角的劃分 對(duì)于任何一個(gè)0到360的角，以下四種情形有且僅有一種成立： 誘導(dǎo)公式二 ，。誘導(dǎo)公式三 ，。誘導(dǎo)公式四 ，。 以上幾個(gè)誘導(dǎo)公式可以敘述為 ：對(duì)于，則，的三角函數(shù)，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)。 也可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”。誘導(dǎo)公式五 ，。誘導(dǎo)公式六 ，。 可以概括為：的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 也可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”。六、兩角和與差的正弦、余弦、正切兩角和的正弦、余弦、正切 ， ， 。兩角差的正弦、余弦、正切 ， ， 。 此處公式較多，可熟記兩

7、角和的三個(gè)公式，兩角的差可以看做，進(jìn)行推導(dǎo)。積化和差公式 ， ， ， 。和差化積公式 ， ， ， 。七、二倍角的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 ， ， 。公式的逆向變換及相關(guān)變形 ， ， ，。半角公式 ， ， 。八、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的畫(huà)法 1、幾何法 利用單位圓中的正弦線(xiàn)作出正弦函數(shù)圖像。 2、五點(diǎn)法 觀察正弦函數(shù)的圖像，可以看出，下面五個(gè)點(diǎn)在確定正弦函數(shù)的形狀時(shí)有重要作用： （0,0），（），（），（），（）。 這五點(diǎn)描出后，正弦函數(shù)y=sinx，x0,2圖像形狀就基本確定了。 同樣，（0，1），（），（），（），（）這五個(gè)點(diǎn)描出后，余弦函數(shù)y=

8、cosx，x0,2的圖像形狀就基本確定了。 用光滑曲線(xiàn)將五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，再將這段曲線(xiàn)向左、向右平移，每次平移2個(gè)單位，就得到了y=sinx，y=cosx，xR的圖像。 3、正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn) 我們把正弦函數(shù)y=sinx，xR和余弦函數(shù)y=cosx，xR的圖像分別叫做正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)。定義域、值域函數(shù)定義域值域y=sinx（-，+）-1，1y=cosx（-，+）-1，1周期性 1、一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)。那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。 2、對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它的所

9、有周期中存在一個(gè)最小的正整數(shù)，那么這個(gè)最小的正整數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。、 3、因?yàn)?，?duì)于任意整數(shù)k，2k都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，其中2是它們的最小正周期。 4、周期函數(shù)不見(jiàn)得總有最小正周期，如f(x)=c(xR),其中c為常數(shù)，其周期T可以是任意實(shí)數(shù)。周期函數(shù)的周期不唯一，若T是f(x)的周期，則kT(kZ)也在定義域內(nèi)，因此周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集。奇偶性 1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義 對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，則稱(chēng)f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則稱(chēng)f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)。 2、由誘

10、導(dǎo)公式可知，故y=sinx（xR）是奇函數(shù)，y=cosx（xR）是偶函數(shù)。 3、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。單調(diào)性 1、對(duì)于函數(shù)是它的增區(qū)間，是它的減區(qū)間。 2、對(duì)于函數(shù)是它的增區(qū)間，是它的減區(qū)間。九、函數(shù)的圖像A對(duì)y=Asinx的圖像的影響 要得到函數(shù)y=Asinx（A0，A1）的圖像，可以看做把y=sinx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A1時(shí)）或縮短（當(dāng)0A0，A1，xR）的值域是-A，A，最大值為A，最小值是-A。 特別地，推廣到一般的情形，函數(shù)y=Af(x)（A0，A1）的圖像，也可以看做y=f(x)的圖像上各點(diǎn)保持橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍得到的。容易

11、發(fā)現(xiàn)，A不會(huì)改變函數(shù)的周期，即y=f(x)若為周期函數(shù)且周期是T，則y=Af(x)（A0，A1）的周期也是T。對(duì)y=sinx的圖像的影響 函數(shù)y=sin（0，1）的圖像，可以看做把y=sinx的圖像上所有的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)00，1，xR）的值域是-1，1，但其周期由y=sin的周期2改變?yōu)?，即y=sin（0，1）得周期是2的倍。 推廣到一般的情形，將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，而橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)01時(shí)）為原來(lái)的倍，即可得到函數(shù)y=f(x)（0，1）的圖像；若y=f(x)是周期函數(shù)且周期為T(mén)，則y=f(x)的周期為。對(duì)y=sin(x+)的圖像的影響 函數(shù)y=sin(x

12、+)的圖像（其中0），可以看做把y=sinx的圖像上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)0）或向右（當(dāng)0時(shí)）或向右（當(dāng)0時(shí)）或向右（當(dāng)1）或伸長(zhǎng)（01）或縮短（0A0，0），x0,+時(shí)，它可以表示一個(gè)振動(dòng)，則A表示振動(dòng)過(guò)程中離開(kāi)平衡位置的最大距離，又叫振幅；往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間叫做振動(dòng)的周期（T），T=；單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)為頻率f， ；叫做相位，x=0時(shí)，相位叫做初相。十、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像 1、根據(jù)，其中xR，且，推出正切函數(shù)的周期為。 2、根據(jù)，要使tanx有意義，必須使cosx0，即，故正切函數(shù)的定義域?yàn)椤?3、根據(jù)正切函數(shù)的第定義域和周期，我們?nèi)〉膱D像，而后向左、右擴(kuò)展，得的圖像，而后

13、向左、右擴(kuò)展，得且的圖像，如圖，并把他叫做正切曲線(xiàn)。正切函數(shù)的性質(zhì) 1、定義域：。 2、值域：R，函數(shù)無(wú)最大值、最小值。 3、周期： 4、奇偶性：奇函數(shù) 5、單調(diào)性：在每一開(kāi)區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)。必須注意兩個(gè)問(wèn)題： 正切函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，但不能說(shuō)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)； 函數(shù)，其定義域由不等式得到，其周期為。 正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，但并不在整個(gè)定義域上為增函數(shù)，利用正切函數(shù)單調(diào)性比較兩個(gè)角正切值的大小時(shí)，要利用誘導(dǎo)公式把角化到同一單調(diào)區(qū)間再比較，或直接利用正切式。 正切函數(shù)的圖像既可以類(lèi)似地由正切線(xiàn)的幾何方法作出，又可以類(lèi)似于“五點(diǎn)法”用“三點(diǎn)兩線(xiàn)法”作簡(jiǎn)圖，這里三個(gè)點(diǎn)為，直線(xiàn)，直線(xiàn)

14、，其中。作出三個(gè)點(diǎn)和這兩條漸近線(xiàn)，便可得到在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖。 正、余弦函數(shù)與正切函數(shù)同是中心對(duì)稱(chēng)圖形（注意正、余弦函數(shù)同時(shí)也是軸對(duì)稱(chēng)圖形）。函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是。十一、已知三角函數(shù)值求角反正弦函數(shù)的概念 1、定義： 在上，若，則x叫做a的反正弦，記做arcsina。 2、理解： “arcsina”是一個(gè)整體，它表示一個(gè)角（弧度制）； “arcsina”表示角的范圍是； 這個(gè)角的正弦值為a； 當(dāng)|a|1時(shí)，arcsina無(wú)意義。反余弦函數(shù)的概念 1、定義 在上，若，則x叫做a的反余弦，記做arccosa。 2、理解： “arccosa”是一個(gè)整體，它表示一個(gè)角（弧度制）； 這個(gè)角的范圍是；

15、這個(gè)角的余弦值為a； 當(dāng)|a|1時(shí)無(wú)意義。反正切函數(shù)的概念 1、定義： 在內(nèi)，若，則x叫做a的反正切，記做arctana。 2、理解： “arctana”是一個(gè)整體，它表示一個(gè)角（弧度制）； 這個(gè)角的范圍是； 這個(gè)角的正切值是a。第二章 平面向量一、平面向量的基本概念向量的定義 既有大小，又有方向的量叫做向量。 向量有兩個(gè)要素：即大小和方向。要注意將向量與僅有大小的數(shù)量進(jìn)行區(qū)分。用有向線(xiàn)段表示向量 1、有向線(xiàn)段：將線(xiàn)段AB的端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)順序，以A為起點(diǎn)（也稱(chēng)始點(diǎn)），以B為終點(diǎn)，則線(xiàn)段AB就具有了方向，即由A只想，我們把具有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段，記做有向線(xiàn)段。2、規(guī)定線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是有向線(xiàn)段的

16、長(zhǎng)度，記做。 3、有向線(xiàn)段的三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。 4、用有向線(xiàn)段表示向量要注意兩點(diǎn)： 有向線(xiàn)段的方向就是向量的方向； 有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度就是向量的大小。幾個(gè)重要定義 1、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量。記做0，零向量的方向是任意的，它對(duì)應(yīng)的幾何圖形是一個(gè)點(diǎn)。 2、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。 3、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的非零向量叫做相等向量，記做a=b；規(guī)定所有的零向量都相等。 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線(xiàn)向量，任一向量a都與它自身是平行向量；規(guī)定零向量與任一向量是平行向量。二、向量的加法與減法向量的加法 1、定義：設(shè)=a，=b

17、，則向量叫做a與b的和，記做a+b，即a+b=+=。 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。 特別地，對(duì)于零向量與任一向量a，都有0+a=a+0=a。 2、向量加法的三角形法則 根據(jù)向量加法的定義求向量和的方法，叫向量加法的三角形法則。使用三角形法則特別要注意“首尾相接”，具體步驟是把用小寫(xiě)字母表示的向量，用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示（其中后面向量的起點(diǎn)與前一個(gè)向量的終點(diǎn)重合，即用一個(gè)字母來(lái)表示），則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的有向線(xiàn)段就表示這些向量的和。 3、向量加法的平行四邊形法則 向量加法還可以用平行四邊形法則，先把兩個(gè)已知向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，再以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形，則

18、這兩鄰邊所夾得對(duì)角線(xiàn)就是這兩個(gè)已知向量的和。向量的減法 1、相反向量：與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量。記作-a，規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。 性質(zhì)-（-a）=a；a+（-a）=（-a）+a=0 2、兩個(gè)向量的差 向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a-b=a+(-b)。 3、向量的減法Oaba-b 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。 法則：如圖所示，已知a,b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，則=a-b。即a-b表示從減向量b的終點(diǎn)指向被減向量a的終點(diǎn)的向量。用三角形法則求兩個(gè)向量的差的步驟是：1、將兩向量平移，使它們的起點(diǎn)重合；2、將平移后的兩向量的終點(diǎn)相連；

19、3、差向量是指向被減向量。也就是：作平移，共起點(diǎn)，兩尾連，指被減。三、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積得定義 一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記為a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： 1、|a|=|a|； 2、當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同，當(dāng)1時(shí)，有|a|a|，這意味著表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向（0）或反方向（0）上伸長(zhǎng)了|倍；當(dāng)0|1時(shí)，有|a|a|，這意味著表示向量a的有向線(xiàn)段在原方向（01）或反方向（-10時(shí)，b=a可由a同向伸縮得到，因此，b與a共線(xiàn)。 當(dāng)0時(shí)，b=a可由a反向伸縮得到，所以，b與a也是共線(xiàn)的。值得注意的是：這個(gè)定理的內(nèi)容里面，不包含0與0共線(xiàn)的情況，因?yàn)閍0；強(qiáng)調(diào)a0是必

20、要的，否則定理就失去必要性。如b0，a=0時(shí)，b與a共線(xiàn)是成立的，但此時(shí)b=a是不成立的。平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a=1e1+2e2。 其中，e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 這個(gè)定理實(shí)質(zhì)是：只要向量e1不平行于e2，平面內(nèi)的任一向量a都可以用e1與e2表示出來(lái)，而且表示形式a=1e1+2e2是唯一的。 例如，0=0e1+0e2，2e1=2e1+0e2， 對(duì)于a=1e1+2e2，有時(shí)我們也說(shuō)1e1+2e2是e1與e2的線(xiàn)性組合，或者說(shuō)a可以被e1，e2表示。四、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

21、平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=xi+yj，由于a與數(shù)對(duì)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x，y)，其中x，y分別叫作a在x軸、y叫做在y軸上的坐標(biāo)。注：(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線(xiàn)段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)。兩個(gè)向量相等的充要條件 設(shè)向量a=xi+yj，b=xi+yj，則： a=xi+yj=（x，y）， b=xi+yj=（x，y）。 于是我們得到。即平面向量的坐標(biāo)

22、運(yùn)算若，則。若，則若a=(x,y)，則a=(x, y)若，則若，則，若，則向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)，則ba（a0）x1y2-x2y1=0。 由向量平行的充要條件易知共線(xiàn)的充要條件為（x2-x1）（y3-y1）-（x3-x1）（y2-y1）=0，而不是。 凡遇到與平行有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一般要考慮運(yùn)用向量平行的充要條件： bab=a（a0，R）。 ba（a0）x1y2-x2y1=0，其中。 由兩點(diǎn)間距離公式可知： 若a=（x，y），則|a|=，與a共線(xiàn)的單位向量為五、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)線(xiàn)段的定比分點(diǎn) 定義：設(shè)P1，P2是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是l上不同于P1，P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，叫做點(diǎn)P分有向

23、線(xiàn)段所成的比。當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段或的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，0 在這個(gè)定義中，要注意三個(gè)問(wèn)題： 第一，不可寫(xiě)成的形式，因?yàn)閷?duì)向量從來(lái)沒(méi)有定義過(guò)除法。 第二，中的P1，P，P2是有順序的，順序從左至右排列是P1PP2，即始點(diǎn)分點(diǎn)終點(diǎn)。 第三，中的P1，P，P2三個(gè)點(diǎn)互不重合，因此，從而應(yīng)滿(mǎn)足0且-1。定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式 上式稱(chēng)為有向線(xiàn)段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式（使用公式時(shí)），要注意始點(diǎn)、終點(diǎn)的順序性）。中點(diǎn)坐標(biāo)公式 當(dāng)=1時(shí)，分點(diǎn)P為線(xiàn)段的中點(diǎn)，即有， 上式稱(chēng)為中點(diǎn)坐標(biāo)公式。五、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律向量a與b的數(shù)量積 1、非零向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，我們把叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積、點(diǎn)積），記為，即。 2、零向量與任一向量的數(shù)量積 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 由以上定義可知，兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)。數(shù)量積的幾何意義 1、b在a的方向上的投影，如圖，設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為。 B O（B1）aB對(duì)于的情況，過(guò)B作BB1直線(xiàn)OA于B1，則。 我們把叫做向量b在a的方向上的投影。 對(duì)于與的夾角是0或180的情況，規(guī)定b在a的方向上的投影時(shí)OB，如圖： O b B A b aB O A 2、的幾何意義 由可知，非零向量a與b的數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a