高中數學必修1知識點

1、高中數學 必修1知識點第一章 集合與函數概念【1.1.1】集合的含義與表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數集及其記法表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.（3）集合與元素間的關系對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一.（4）集合的表示法 自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.描述法：|具有的性質，其中為集合的代表元素.圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集().【

2、1.1.2】集合間的基本關系（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本運算（8）交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 補集1 2 【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對值的不

3、等式的解法不等式解集或把看成一個整體，化成，型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法判別式二次函數的圖象一元二次方程的根（其中無實根的解集或的解集1.2函數及其表示【1.2.1】函數的概念（1）函數的概念設、是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的一個函數，記作函數的三要素:定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數（2）區(qū)間的概念及表示法設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實數的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數的集合叫做半

4、開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數的集合分別記做注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：是整式時，定義域是全體實數是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1中，零（負）指數冪的底數不能為零若是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合函數的定義域應由不等式解出對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題

5、具體情況需對字母參數進行分類討論由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義（4）求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數的值域中存在一個最?。ù螅担@個數就是函數的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮档淖钪蹬c值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值判別式法：若函數可以化成一個系數含有的關于的二次方程，則在時，由于為實數，故必須有，從而確定函數的值

6、域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值函數的單調性法【1.2.2】函數的表示法（5）函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系（6）映射的概念設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合

7、中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合，以及到的對應法則）叫做集合到的映射，記作給定一個集合到集合的映射，且如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3函數的基本性質【1.3.1】單調性與最大（?。┲担?）函數的單調性定義及判定方法函數的性 質定義圖象判定方法函數的單調性如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1 x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區(qū)間圖 象上升為增）（4）利用復合函數如果對于屬于定義域I

8、內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數（1）利用定義（2）利用已知函數的單調性（3）利用函數圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復合函數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數yxo對于復合函數，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減（2）打“”函數的圖象與性質分別在、上為增函數，分別在、上為減函數（3）最大（?。┲刀x 一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有； （2）存

9、在，使得那么，我們稱是函數 的最大值，記作一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數的最小值，記作【1.3.2】奇偶性（4）函數的奇偶性定義及判定方法函數的性 質定義圖象判定方法函數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數f(x)叫做奇函數（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數f(x)叫做偶函數（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）若函數

10、為奇函數，且在處有定義，則奇函數在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數補充知識函數的圖象（1）作圖利用描點法作圖：確定函數的定義域； 化解函數解析式；討論函數的性質（奇偶性、單調性）； 畫出函數的圖象利用基本函數圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象平移變換伸縮變換 對稱變換 （2）識圖對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下

11、分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系（3）用圖 函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具要重視數形結合解題的思想方法第二章 基本初等函數()2.1指數函數【2.1.1】指數與指數冪的運算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根當是奇數時，的次方根用符號表示；當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數當為奇數時，為任意實數；當為偶數時，根式的性質：；當為奇數時，；當

12、為偶數時， （2）分數指數冪的概念正數的正分數指數冪的意義是：且0的正分數指數冪等于0正數的負分數指數冪的意義是：且0的負分數指數冪沒有意義 注意口訣：底數取倒數，指數取相反數（3）分數指數冪的運算性質 【2.1.2】指數函數及其性質（4）指數函數函數名稱指數函數定義0101函數且叫做指數函數圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低2.2對數函數【2.2.1】對數與對數運算（1） 對數的定義 若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數負數和零沒有對數對數式

13、與指數式的互化：（2）幾個重要的對數恒等式，（3）常用對數與自然對數常用對數：，即；自然對數：，即（其中）（4）對數的運算性質 如果，那么加法： 減法：數乘： 換底公式：【2.2.2】對數函數及其性質（5）對數函數函數名稱對數函數定義函數且叫做對數函數圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越靠低；在第四象限內，越大圖象越靠高(6)反函數的概念設函數的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數，函數叫做函數的

14、反函數，記作，習慣上改寫成（7）反函數的求法確定反函數的定義域，即原函數的值域；從原函數式中反解出；將改寫成，并注明反函數的定義域（8）反函數的性質 原函數與反函數的圖象關于直線對稱函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域若在原函數的圖象上，則在反函數的圖象上一般地，函數要有反函數則它必須為單調函數2.3冪函數（1）冪函數的定義 一般地，函數叫做冪函數，其中為自變量，是常數（2）冪函數的圖象（3）冪函數的性質圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非

15、偶函數時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數在都有定義，并且圖象都通過點 單調性：如果，則冪函數的圖象過原點，并且在上為增函數如果，則冪函數的圖象在上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數當（其中互質，和），若為奇數為奇數時，則是奇函數，若為奇數為偶數時，則是偶函數，若為偶數為奇數時，則是非奇非偶函數圖象特征：冪函數，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方補充知識二次函數（1）二次函數解析式的三種形式一般式：頂點式：兩根式：（2）求二次函數解析式的方法已知三個點

16、坐標時，宜用一般式已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便（3）二次函數圖象的性質二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，二次函數當時，圖象與軸有兩個交點（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統(tǒng)地來分

17、析一元二次方程實根的分布 設一元二次方程的兩實根為，且令，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向： 對稱軸位置： 判別式： 端點函數值符號 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1x1（或x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此結論可直接由推出 （5）二次函數在閉區(qū)間上的最值 設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令（）當時（開口向上）若，則 若，則 若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()當時(開口向下)若，則 若，則 若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)第三章 函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函