熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理期末復(fù)習(xí)試題

1、一. 填空題 1. 設(shè)一多元復(fù)相系有個(gè)相，每相有個(gè)組元，組元之間不起化學(xué)反應(yīng)。此系統(tǒng)平衡時(shí)必同時(shí)滿足條件： 、 、 2. 熱力學(xué)第三定律的兩種表述分別叫做： 能特斯定律 和 絕對(duì)零度不能達(dá)到定律 。3.假定一系統(tǒng)僅由兩個(gè)全同玻色粒子組成，粒子可能的量子態(tài)有4種。則系統(tǒng)可能的微觀態(tài)數(shù)為：10 。4.均勻系的平衡條件是 且 ；平衡穩(wěn)定性條件是 且 。5玻色分布表為 ；費(fèi)米分布表為 ；玻耳茲曼分布表為 。當(dāng)滿足條件 時(shí)，玻色分布和費(fèi)米分布均過渡到玻耳茲曼分布。6 熱力學(xué)系統(tǒng)的四個(gè)狀態(tài)量所滿足的麥克斯韋關(guān)系為 , , 。7. 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用表示，內(nèi)能統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為 廣義力統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為，熵的統(tǒng)

2、計(jì)表達(dá)式為 ，自由能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為 。8.單元開系的內(nèi)能、自由能、焓和吉布斯函數(shù)所滿足的全微分是： ， ， ， 。9. 均勻開系的克勞修斯方程組包含如下四個(gè)微分方程： ， ， ， 10. 等溫等容條件下系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著自由能減小方向進(jìn)行，當(dāng)自由能減小到極小值時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)；處在等溫等壓條件下的系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著吉布斯函數(shù)減小的方向進(jìn)行，當(dāng)吉布斯函數(shù)減小到極小值時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)。11.對(duì)于含N個(gè)分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運(yùn)動(dòng)對(duì)熱容量 無貢獻(xiàn) ；溫度大大于振動(dòng)特征溫度時(shí)，；溫度小小于轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度時(shí)， 。溫度大大于轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度而小小于動(dòng)特征

3、溫度時(shí)， 。12.玻耳茲曼系統(tǒng)的特點(diǎn)是：系統(tǒng)由全同可分辨粒子組成；粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用 量子態(tài) 來描寫；確定每個(gè)粒子的量子態(tài)即可確定系統(tǒng)的微觀態(tài)；粒子所處的狀態(tài)不受泡利不相容原子的約束。13 準(zhǔn)靜態(tài)過程是指 過程進(jìn)行中的每一個(gè)中間態(tài)均可視為平衡態(tài) 的過程；無摩擦準(zhǔn)靜態(tài)過程的特點(diǎn)是 外界對(duì)系綜的作用力，可用系統(tǒng)的狀態(tài)參量表示出來。14.絕熱過程是指，系統(tǒng)狀態(tài)的改變，完全是機(jī)械或電磁作用的結(jié)果，而沒有受到其他任何影響 的過程。在絕熱過程中，外界對(duì)系統(tǒng)所做的功 與具體的過程 無關(guān)，僅由 初終兩態(tài) 決定。二簡(jiǎn)述題1. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的自由能判據(jù)。一個(gè)處在溫度和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條

4、件是，對(duì)于各種可能的有限虛變動(dòng)，所引起的自由能的改變均大于零。即。2. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)判據(jù)。一個(gè)處在溫度和壓強(qiáng)不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對(duì)于各種可能的有限虛變動(dòng)，所引起的吉布斯函數(shù)的改變均大于零。即。3. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的熵判據(jù)。一個(gè)處在內(nèi)能和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對(duì)于各種可能的有限虛變動(dòng)，所引起的熵變均小于零。即 4.玻爾茲曼關(guān)系與熵的統(tǒng)計(jì)解釋。 由波耳茲曼關(guān)系 可知，系統(tǒng)熵的大小反映出系統(tǒng)在該宏觀狀態(tài)下所具有的可能的微觀狀態(tài)的多少。而可能的微觀狀態(tài)的多少，反映出在該宏觀平衡態(tài)下系統(tǒng)的混亂度的大小。故，熵是系統(tǒng)內(nèi)部混亂度的量

5、度。5. 為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對(duì)熱容量沒有貢獻(xiàn)？不考慮能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)時(shí)，原子內(nèi)的電子激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差為，相應(yīng)的特征溫度為。在常溫或低溫下，電子通過熱運(yùn)動(dòng)獲得如此大的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率幾乎為零，平均而言電子被凍結(jié)基態(tài)，因此對(duì)熱容量沒有貢獻(xiàn)。6. 為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動(dòng)對(duì)熱容量貢獻(xiàn)可以忽略？ 因?yàn)殡p原子分子的振動(dòng)特征溫度，在常溫或低溫下 ，振子通過熱運(yùn)動(dòng)獲得能量 從而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，因此對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)可以忽略。7. 能量均分定理。 對(duì)于處在平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的溫度為T時(shí)，粒子能量 的表達(dá)式中的每一個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)的平均值為。8等概率原理。對(duì)于處在平衡

6、態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。9 系統(tǒng)的基本熱力學(xué)函數(shù)有哪些？什么叫特性函數(shù)？什么叫自然參量。 基本熱力學(xué)函數(shù)有：物態(tài)方程 ，內(nèi)能，熵。 特性函數(shù)：適當(dāng)選擇獨(dú)立變量，只要知道一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)就可以求偏導(dǎo)數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的平衡性質(zhì)確定，這個(gè)熱力學(xué)函數(shù)稱為特性函數(shù)。11試說明，在應(yīng)用經(jīng)典理論的能量均分定理求理想氣體的熱容量時(shí)，出現(xiàn)哪些與實(shí)驗(yàn)不符的結(jié)論或無法解釋的問題（至少例舉三項(xiàng)）？12. 最大功原理 系統(tǒng)在等溫等容過程中對(duì)外所做的功不大于其自由能的減小（-wFa-Fb） 在等溫等壓條件下，能夠從系統(tǒng)獲得的最大體變功等于系統(tǒng)吉布斯函數(shù)的減小

7、。13. 寫出能斯特定理的內(nèi)容 凝聚態(tài)的熵在等溫過程中的改變隨絕對(duì)溫度趨于零14 什么是近獨(dú)立粒子系統(tǒng) 粒子之間的相互作用力很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用15 單元復(fù)相系達(dá)到平衡時(shí)所滿足的相變平衡條件是什么？如果該平衡條件未能滿足，變化將朝著怎樣的方向進(jìn)行？ 相變平衡條件： 變化方向：（P82）16 寫出吉布斯相律的表達(dá)式，并說明各物理量的含義。 F=k+2- F:多元復(fù)相系的自由度，是多元復(fù)相系可以獨(dú)立改變的強(qiáng)度量變量的數(shù)目。 k：系統(tǒng)的組元數(shù) ：系統(tǒng)的相數(shù)17. 寫玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)統(tǒng)計(jì)表達(dá)式，并說明它們之間的聯(lián)系。

8、 與分布相應(yīng)的，玻色系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為 ；費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) ；玻耳茲曼系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為。當(dāng)滿足條件經(jīng)典近似條件時(shí)，三種微觀狀態(tài)數(shù)之間的關(guān)系為 。 18. 為什么說，對(duì)于一個(gè)處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，可以將粒子的最概然分布視為粒子的平衡態(tài)分布？19 試說明，在應(yīng)用經(jīng)典理論的能量均分定理求固體熱容量時(shí)，出現(xiàn)哪些與實(shí)驗(yàn)不符的結(jié)論或無法解釋的問題？在低溫范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)固體的熱容量隨溫度降低地很快，當(dāng)溫度趨近絕對(duì)零度時(shí)，熱容量也趨于零.對(duì)于金屬的自由電子，如果將能量的均分定理應(yīng)用于電子，自由電子的熱容量與離子振動(dòng)的熱容量將有相同的數(shù)量級(jí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是3k以上的自由電子的熱容量與離子振動(dòng)的熱容量相比可以忽略

9、不計(jì)。三. 選擇題1.系統(tǒng)自某一狀態(tài)A開始，分別經(jīng)兩個(gè)不同的過程到達(dá)終態(tài)B。下面說法正確的是 B（A）在兩個(gè)過程中吸收的熱量相同時(shí)，內(nèi)能的改變就一定相同（B）只有在兩個(gè)過程中吸熱相同且做功也相同時(shí)，內(nèi)能的改變才會(huì)相同（C）經(jīng)歷的過程不同，內(nèi)能的改變不可能相同（D）上面三種說法都是錯(cuò)誤的2.下列各式中不正確的是 A（A） （B） （C） （D） 3.吉布斯函數(shù)作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨(dú)立態(tài)參量是 B（A）溫度和體積 （B）溫度和壓強(qiáng)（C）熵和體積 （D）熵和壓強(qiáng)（D）孤立的系統(tǒng)4.費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的巨配分函數(shù)用表示，則熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式是 C（A） （B）（C） （D）5.自由能作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨(dú)立態(tài)參量是

10、 A（A）溫度和體積 B）溫度和壓強(qiáng) （C）熵和體積 （D）熵和壓強(qiáng)6.由熱力學(xué)基本方程可得麥克斯韋關(guān)系 D（A） （B）（C） （D） 7.將平衡輻射場(chǎng)視為處在平衡態(tài)的光子氣體系統(tǒng)，下面說法不正確的是 （A）這是一個(gè)玻色系統(tǒng) （B）這是一個(gè)能量和粒子數(shù)守恒的系統(tǒng)（C）系統(tǒng)中光子的分布遵從玻色分布（D）這是一個(gè)非定域系統(tǒng)8.封閉系統(tǒng)指 C（A）與外界無物質(zhì)和能量交換的系統(tǒng)（B）能量守衡的系統(tǒng)（C）與外界無物質(zhì)交換但可能有能量交換的系統(tǒng)9.下列系統(tǒng)中適合用玻爾茲曼分布規(guī)律處理的系統(tǒng)有 B（A）經(jīng)典系統(tǒng)（B）滿足非簡(jiǎn)并條件的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)（C）滿足弱簡(jiǎn)并性條件的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)（D）非定域體

11、系統(tǒng)10. 和分別是雙原子分子的振動(dòng)特征溫度和轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度，下面說法正確的是（A）時(shí)，振動(dòng)自由度完全“解凍”，但轉(zhuǎn)動(dòng)自由度仍被“凍結(jié)”。（B）時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度完全“解凍”，但振動(dòng)自由度仍被“凍結(jié)”（C）時(shí)，振動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均完全“解凍”。（D）時(shí)，振動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均完全“解凍”。11.氣體的非簡(jiǎn)并條件是 D （A）分子平均動(dòng)能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 （B）分子平均距離極大于它的尺度（C）分子數(shù)密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1 （D）分子平均距離遠(yuǎn)大于分子德布羅意波的平均熱波長(zhǎng)12.不考慮粒子自旋，在邊長(zhǎng)L的正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維自由粒子，其中動(dòng)量的大小處在范圍的粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 B（A） （B） （C） （D）

12、五. 推導(dǎo)與證明1.試用麥克斯韋關(guān)系，導(dǎo)出方程，假定可視為常量，由此導(dǎo)出理想氣體的絕熱過程方程（常量）。解：，由麥?zhǔn)详P(guān)系，絕熱過程，理想氣體，積分得（常量）， 故：，即：（常量）2. 證明: 證明：選T, V 為獨(dú)立變量，則 而， 故 3.證明焓態(tài)方程：。證：選T、p作為狀態(tài)參量時(shí)，有 （1） （2）而， （3）（2）代入（3）得： （4）比較（1）、（4）得： （5） （6）將麥?zhǔn)详P(guān)系代入（6），即得4.導(dǎo)出含有N個(gè)原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達(dá)式： ， 解：按愛因斯坦假設(shè)，將N個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)視為3N個(gè)線性諧振子的振動(dòng)，且所有諧振子的振動(dòng)頻率相同。諧振子的能級(jí)為：則，振子的配分函數(shù)為：

13、引入愛因斯坦特征溫度：，即得：5. 導(dǎo)出愛因斯坦固體的熵表達(dá)式：解：設(shè)固體系統(tǒng)含有N個(gè)原子，按愛因斯坦假設(shè)，將N個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)視為3N個(gè)線性諧振子的振動(dòng)，且所有諧振子的振動(dòng)頻率相同。諧振子的能級(jí)為：則，振子的配分函數(shù)為：6.證明，對(duì)于一維自由粒子，在長(zhǎng)度內(nèi)，能量在的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于一維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。 因此，在長(zhǎng)度內(nèi)，動(dòng)量大小在范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為而，故，在長(zhǎng)度內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。7. 證明: 證明：， 由全微分條件得：證明：由， 令 得： 8.導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式。解：在體積V內(nèi)，動(dòng)

14、量在 范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為因?yàn)?，光子氣體是玻色系統(tǒng)遵從玻色分布，由于系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒，每個(gè)量子態(tài)上平均光子數(shù)為又 所以，在體積V內(nèi)，圓頻率在范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為 故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：9.對(duì)于給定系統(tǒng)，若已知 ，求此系統(tǒng)的物態(tài)方程。解：設(shè)物態(tài)方程為，則 （1） （2）將和代入（2）得 （3）將和（3）代入（1）得積分得： ，即：11.已知?dú)怏w系統(tǒng)通常滿足經(jīng)典極限條件且粒子動(dòng)量和能量準(zhǔn)連續(xù)變化，采用量子統(tǒng)計(jì)方法導(dǎo)出單原子分子理想氣體的內(nèi)能。解：氣體系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布，粒子配分函數(shù)為（對(duì)所有量子態(tài)s求和）當(dāng)粒子能量準(zhǔn)連續(xù)變化時(shí)，上述對(duì)量子態(tài)求和可用空間積分替代。因?yàn)椋?維空間中，范圍內(nèi)的粒子，其可能的量子態(tài)數(shù)為且，粒子的能量為：。所以即， 而 由內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式 ，得： 12. 證明: 證： （1） （2）（2）代入（1） （3）將麥?zhǔn)详P(guān)系：代入（3）得13. 證明，理想氣體的摩爾自由能為：證明：選T, V 為獨(dú)立變量，則理想氣體的物態(tài)方程為： ， ，故: ， 14.證明，對(duì)于二維自由粒子，在面積內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)