三重積分的計算方法小結(jié)與例題

1、三重積分的計算方法介紹：三重積分的計算是化為三次積分進行的。其實質(zhì)是計算一個定積分（一重積分）和一個二重積分。從順序看：如果先做定積分，再做二重積分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步驟為：找及在xoy面投影域D。多D上一點（x,y）“穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步（定積分）；進而按二重積分的計算步驟計算投影域D上的二重積分，完成“后二”這一步。如果先做二重積分再做定積分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步驟為：確定位于平面之間，即，過z作平行于xoy面的平面截，截面。區(qū)域的邊界曲面都是z的函數(shù)。計算區(qū)域上的二重積分，完成了“先二”這一步（二重積分）；進而計算定積分，完成“后一

2、”這一步。當被積函數(shù)f（z）僅為z的函數(shù)（與x,y無關(guān)），且的面積容易求出時，“截面法”尤為方便。為了簡化積分的計算，還有如何選擇適當?shù)淖鴺讼涤嬎愕膯栴}?？梢园匆韵聨c考慮：將積分區(qū)域投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)（1） D是X型或Y型，可選擇直角坐標系計算（當?shù)倪吔缜嬷杏休^多的平面時，常用直角坐標系計算）（2） D是圓域（或其部分），且被積函數(shù)形如時，可選擇柱面坐標系計算（當為圓柱體或圓錐體時，常用柱面坐標計算）（3）是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如時，可選擇球面坐標系計算以上是一般常見的三重積分的計算方法。對向其它坐標面投影或不易作出的情形不贅述。三重積分的計算方法小結(jié)：1.對三重

3、積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法（先一后二）：較直觀易掌握；截面法（先二后一）： 是在z處的截面，其邊界曲線方程易寫錯，故較難一些。特殊地，對積分時，f(x,y,z)與x,y無關(guān)，可直接計算。因而中只要, 且f(x,y,z)僅含z時，選取“截面法”更佳。2.對坐標系的選取，當為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z或時，可考慮用柱面坐標計算。三重積分的計算方法例題：補例1：計算三重積分，其中為平面與三個坐標面圍成的閉區(qū)域。解1“投影法” 1.畫出及在xoy面投影域D. 2. “穿線”X型

4、D：3.計算 解2“截面法”1.畫出。2. 過點z作垂直于z軸的平面截得。是兩直角邊為x,y的直角三角形，3.計算 補例2：計算，其中是和z=1圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”1.畫出及在xoy面投影域D. 由消去z，得即D： 2. “穿線”， X型 D： 3.計算注：可用柱坐標計算。解2“截面法”1.畫出。 2. 過點z作垂直于z軸的平面截得： 用柱坐標計算 3.計算 補例3：化三重積分為三次積分，其中：所圍成的閉區(qū)域。解：1.畫出及在xoy面上的投影域D. 由 消去z，得即D： 2.“穿線” X型 D：3計算 注：當為已知的解析式時可用柱坐標計算。補例4：計算，其中為所圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”1.畫出及在xoy面投影域D， 用柱坐標計算 由 化的邊界曲面方程為：z=6-r2，z=r2.解 D： 即“穿線” 3計算 。解2“截面法”1.畫出。如圖：由圍成。 2. 由z=r與z=2圍成； ，： ： 由z=2與z=圍成； ，：3.計算 = 注：被積函數(shù)z是柱坐標中的第三個變量，不能用第二個坐標r代換。補例5：計算，其中由不等式，所確定。解：用球坐標計算。由得的邊界曲面的球坐標方程：P，連結(jié)OP=，其與z軸正向的夾角為，OP=。P在xoy面的投影為，連結(jié)，其與x軸正向的夾角為。：，= =三重積分的計算方法練習1. 計算，其中是旋轉(zhuǎn)面與平面z=2