極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程

1、極坐標(biāo)及極坐標(biāo)方程得應(yīng)用1、極坐標(biāo)概述第一個(gè)用極坐標(biāo)來確定平面上點(diǎn)得位置得就是牛頓. 她得流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)，大約于 1671 年寫成 , 出版于 17 6 年。此書包括解析幾何得許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，就是引進(jìn)新得坐標(biāo)系。瑞士數(shù)學(xué)家J、貝努力利于1691 年在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了一篇基本上就是關(guān)于極坐標(biāo)得文章，所以通常認(rèn)為J、貝努利就是極坐標(biāo)得發(fā)現(xiàn)者。 J、貝努利得學(xué)生、赫爾曼在 1729 年不僅正式宣布了極坐標(biāo)得普遍可用，而且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線。在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系 , 就是人們公認(rèn)得最容易接受并且被經(jīng)常采用得方法, 但它并不就是確定點(diǎn)得位置得唯一方法。有些復(fù)雜得曲

2、線用直角坐標(biāo)表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡(jiǎn)單且便于處理，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問題也變得極其簡(jiǎn)單。通過探究極坐標(biāo)在平面解析幾何中得廣泛應(yīng)用, 使我們能夠清楚得認(rèn)識(shí)到，用極坐標(biāo)來解決某些平面解析幾何問題與某些高等數(shù)學(xué)問題比用直角坐標(biāo)具有很大得優(yōu)越性,故本文對(duì)其進(jìn)行了初步探討。國內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面 , 很多學(xué)者對(duì)極坐標(biāo)以及極坐標(biāo)方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，很多學(xué)者對(duì)極坐標(biāo)也有較深得研究. 由此瞧來 ,極坐標(biāo)已應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。1、 極坐標(biāo)系得建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫作極點(diǎn), 引一條射線 , 叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位與角度得正方向 ( 通

3、常取逆時(shí)針方向）。對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn) , 用表示線段得長(zhǎng)度， 表示從到得角度 , 叫點(diǎn)得極徑，叫點(diǎn)得極角 , 有序數(shù)對(duì)就叫點(diǎn)得極坐標(biāo)。這樣建立得坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系 , 記作。若點(diǎn)在極點(diǎn)，則其極坐標(biāo)為 0，可以取任意值。MPOOPxxM圖 -1圖 1 2如圖 2, 此時(shí)點(diǎn)得極坐標(biāo)可以有兩種表示方法：（1)0 ，（2） 0，同理，也就是同一個(gè)點(diǎn)得坐標(biāo)。又由于一個(gè)角加后都就是與原角終邊相同得角，所以一個(gè)點(diǎn)得極坐標(biāo)不唯一. 但若限定 ,，那么除極點(diǎn)外 , 平面內(nèi)得點(diǎn)與極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了.1、 2 曲線得極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中 , 曲線可以用含有這兩個(gè)變數(shù)得方程來表示, 這種方程叫曲線得極坐標(biāo)方程 .

4、求曲線得極坐標(biāo)方程得方法與步驟：1建立適當(dāng)?shù)脴O坐標(biāo)系，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)得坐標(biāo)為；2寫出適合條件得點(diǎn)得集合;3；4化簡(jiǎn)所得方程；5證明得到得方程就就是所求曲線得方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一得極坐標(biāo)方程:yMAPKOFBx圖 3過點(diǎn)作準(zhǔn)線得垂線 , 垂足為，以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，得反向延長(zhǎng)線為極軸，建立極坐標(biāo)系。設(shè)就是曲線上任意一點(diǎn)，連結(jié) , 作，垂足分別為那么曲線就就是集合、設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線得距離 ,得即這就就是橢圓、雙曲線、拋物線得統(tǒng)一得極坐標(biāo)方程 . 其中當(dāng)時(shí) , 方程表示橢圓 , 定點(diǎn)就是它得左焦點(diǎn)，定直線就是它得左準(zhǔn)線。時(shí)，方程表示開口向右得拋物線。時(shí)，方程只表示雙曲線右支 , 定點(diǎn)就是它得右焦點(diǎn)，定直線就是它得

5、右準(zhǔn)線。若允許, 方程就表示整個(gè)雙曲線。1、 3 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)得互化把直角坐標(biāo)系得原點(diǎn)作為極點(diǎn) , 軸得正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同得長(zhǎng)度單位，設(shè)就是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，其直角坐標(biāo) , 極坐標(biāo)就是，從點(diǎn)作，由三角函數(shù)定義，得、yMyOxNx圖 1- 進(jìn)一步有注：在一般情況下 , 由確定角時(shí) , 可根據(jù)點(diǎn)所在得象限取最小角。 極坐標(biāo)在平面解析幾何中得應(yīng)用、 1 極坐標(biāo)法求到定點(diǎn)得線段長(zhǎng)度解析幾何中涉及到某定點(diǎn)得線段長(zhǎng)度時(shí)，可以考慮利用極坐標(biāo)法求解。但就是絕大多數(shù)解析幾何問題中題設(shè)條件就是以直角坐標(biāo)方程形式給出得, 在求解過程中運(yùn)算繁瑣復(fù)雜，將此類問題轉(zhuǎn)化為用極坐標(biāo)方程求解，十分簡(jiǎn)潔，收

6、到良好得效果。巧設(shè)極點(diǎn), 建立極坐標(biāo)系就是解決問題得關(guān)鍵.21以定點(diǎn)為極點(diǎn)如果題設(shè)條件與結(jié)論中，涉及到過某定點(diǎn)得線段長(zhǎng)度問題，應(yīng)該取該點(diǎn)為極點(diǎn)，先將直角坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，施行平移公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式，化普通方程為極坐標(biāo)方程求解。例 1 設(shè)等腰得頂角為，高為 , 在 內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，到三邊 得距離分別為，并且滿足關(guān)系，求點(diǎn)得軌跡。ADPEOxFB圖 21解： 如圖 2所示，以為極點(diǎn) , 得平分線為極軸 , 建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)為，則由得化簡(jiǎn)得化成直角坐標(biāo)方程為這就是以為圓心，以為半徑得圓, 所求得軌跡就是該圓在等腰內(nèi)部得部分.1.2 以原點(diǎn)為極點(diǎn)如果題設(shè)條件或結(jié)論中涉及到直角坐標(biāo)系原點(diǎn)

7、得線段長(zhǎng)度時(shí) , 應(yīng)選取原點(diǎn)為極點(diǎn) , 應(yīng)用互化公式，將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程求解。例 2 已知橢圓，直線 : ，就是上一點(diǎn) , 射線交橢圓于 , 又點(diǎn)在上，且滿足，當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí) , 求點(diǎn)得軌跡方程，并說明軌跡就是什么曲線。解： 如圖 22 所示，以為極點(diǎn) , 為極軸，建立極坐標(biāo)系。則由互化公式知橢圓得極坐標(biāo)方程為（ 1)直線得極坐標(biāo)方程為(2)，則由（ 1）式知由 (2 ）式知又，有所以即點(diǎn)得軌跡就是以為中心 , 長(zhǎng)軸、短軸分別為且長(zhǎng)軸平行與軸得橢圓, 去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。yLPRQOx圖 2.1 以焦點(diǎn)為極點(diǎn)凡涉及圓錐曲線得焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度得問題，應(yīng)選取焦點(diǎn)為極點(diǎn)（橢圓左焦點(diǎn) , 雙曲線

8、右焦點(diǎn) ), 應(yīng)用圓錐曲線統(tǒng)一得極坐標(biāo)方程求解。例 3 設(shè)為拋物線得頂點(diǎn) , 為焦點(diǎn)，且為過得弦。已知。圖 2解 : 如圖 3 所示 , 以為極點(diǎn)，得反向延長(zhǎng)線為極軸，建立極坐標(biāo)系。則拋物線得極坐標(biāo)方程為于就是2、 2極坐標(biāo)簡(jiǎn)解與角有關(guān)得解析幾何題含有已知角或公共頂點(diǎn)得一類解析幾何題, 運(yùn)用極坐標(biāo)系 ( 或化直角坐標(biāo)系為極坐標(biāo)系 ) 進(jìn)行解題，?？杀芊本秃?jiǎn), 化難為易 , 達(dá)到事半功倍得效果。下面分類舉例說明。2. 。含有已知角，角頂點(diǎn)為極點(diǎn)例已知在得兩邊上， =，得面積為，求得中點(diǎn)得軌跡方程.AQMoPBx圖 2解：以為極點(diǎn)，為極軸，建立極坐標(biāo)系, 如圖 4 所示，設(shè)，則即（ 1)因?yàn)樗?

9、2 ）（ )得（4）（）代入（ 4) 并化簡(jiǎn) , 得即為所求。 2。2 含有已知角 , 坐標(biāo)軸平移，化角頂點(diǎn)為極點(diǎn)例 已知曲線 : ，頂點(diǎn)（ 2,0 ），點(diǎn)就是上得動(dòng)點(diǎn), 就是以為斜邊得等腰直角三角形,頂點(diǎn)按順時(shí)針排列 , 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求得最大值及點(diǎn)得坐標(biāo)。yyCBOAx (x)圖 2- 解： 曲線化為： , 以點(diǎn)為新坐標(biāo)系原點(diǎn)，則曲線為以 點(diǎn)為 極點(diǎn) ，軸 得 正方 向?yàn)?極軸 , 建立 極坐 標(biāo)系 。 如 圖 2 所示 ，則 曲線 為 ( ）設(shè)，則（ )(2 ）代入（ 1）得即所以點(diǎn)得軌跡方程為即（ )故當(dāng)過（ 3) 得圓心時(shí) , 得最大值為 , 此時(shí)點(diǎn)得坐標(biāo)為、2、 極坐標(biāo)法證明幾何定理

10、在平面幾何證明中 , 極坐標(biāo)法就是一種重要得方法, 應(yīng)用十分廣泛，下面以部分平面幾何中著名定理為例，談?wù)剺O坐標(biāo)法在證明中得應(yīng)用.2.3. 應(yīng)用圓心就是 , 半徑就是得圓得方程來證明例 6求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊乘積得與等于兩條對(duì)角線得乘積( 托列迷定理）。證明 : 如圖2-6 ，以為極點(diǎn)，得延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系。設(shè)圓得半徑為,則：、三點(diǎn)都在上,AD12a cos 1, BD22a cos 2 ,CD32a cos 3另由正弦定理得AB2a sin12 ，BC2a sin 23，AC2a sin13AB CDBC DA4a2sin 12cos 3 sin23 cos 12a2 sin 12

11、3sin123sin231 sin231 AB13D2OxC圖 26。應(yīng)用極點(diǎn)在圓上，圓心為得方程證明例 7 自圓上一點(diǎn)引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓得其它三交點(diǎn)共線 ( 沙爾孟定理 ) 。P 2A3P3A2C 3 C2OCP1xC 1A1圖 2-7證明：如圖 2-7 ，分別就是得直徑，分別就是得交點(diǎn)，以為極點(diǎn)，得延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系 , 為簡(jiǎn)便計(jì)，設(shè) , 極軸與得交角分別為，則所以()(2 ）( )設(shè)，則由（ 1) 、( ）得11 cos 112 cos 22積化和cos11cos222取，得，代入 (1 ）中，得、點(diǎn)坐標(biāo)為、同理應(yīng)用輪換得點(diǎn)坐標(biāo)為 , 點(diǎn)坐標(biāo)為、顯然三點(diǎn)坐標(biāo)滿足法線式方程故三點(diǎn)共線 , 命題獲證。2.3 。3 應(yīng)用圓得極坐標(biāo)方程、兩點(diǎn)或直線方程與法線式方程證明例 8求證 : 三角形外接圓上任一點(diǎn)在三邊上得射影共線（西摩松定理）。A1B3POxB 2B 1A3A 2圖 8證明 : 如圖