醫(yī)學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)6方差分析3-01

1、方差分析(ANOVA)（analysis of variance)統(tǒng)計(jì)分析目的 t、Z檢驗(yàn) 方差分析一、方差分析的基本思想變異的分解：即將總變異按設(shè)計(jì)類型不同， 分解成兩個(gè)或者多個(gè)組成部分，然后將各部分的變異與隨機(jī)誤差進(jìn)行比較，以判斷各部分的變異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。例9.1 為研究大豆對(duì)缺鐵性貧血的恢復(fù)作用，某研究者進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：選取已做成貧血模型的大鼠36只，隨機(jī)等分為3組，每組12只，分別用三種不同的飼料喂養(yǎng)：不含大豆的普通飼 料、含10%大豆飼料和含15%大豆飼料。喂養(yǎng) 一周后，測(cè)定大鼠紅細(xì)胞數(shù)(1012/L)，試分析喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠貧血恢復(fù)情況是否 不同？表 9.1喂養(yǎng)三種不同

2、飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)(10 12/L)普通飼料10%大豆飼料15%大豆飼料合計(jì)4.784.656.804.656.925.913.984.447.284.046.167.513.445.997.51X3.776.677.743.655.298.194.914.707.154.795.058.185.316.015.534.055.677.795.164.688.03ni12121236 ( n ) X i52.5366.2387.62206.38( X )X ii X 24.385.527.305.73 ( X )234.2783373.2851647.73121255.2946( X 2 )

3、總變異全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)大小不等，這種變異稱為總變異，其 大小可用觀察值與總均數(shù)的離均差平方和表示，記為SS總SS總MS總= ( X總SS= n- X )2n總 =N -1總x ：表示每一個(gè)個(gè)體的觀察值(j =1，2， ，ni)。x ：總均值表 9.1喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)(10 12/L)普通飼料10%大豆飼料15%大豆飼料合計(jì)4.784.656.804.656.925.913.984.447.284.046.167.513.445.997.51X3.776.677.743.655.298.194.914.707.154.795.058.185.316.015.534.055.677.79

4、5.164.688.03ni12121236 ( n ) X i52.5366.2387.62206.38( X )X ii X 24.385.527.305.73 ( X )234.2783373.2851647.73121255.2946( X 2 ) 組內(nèi)變異2處理組內(nèi)個(gè)體變異和測(cè)量誤差，每個(gè)處理組內(nèi)觀察值之間的差異，其大小可用各處理組內(nèi)部每個(gè)觀察值與 組均數(shù)的離均差平方和表示，記為SS組內(nèi)。SS組內(nèi)= ( X- X i )n組內(nèi) =N - kMS組內(nèi) =SS組內(nèi)n組內(nèi)表 9.1喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)(10 12/L)普通飼料10%大豆飼料15%大豆飼料合計(jì)4.784.656.8

5、04.656.925.913.984.447.284.046.167.513.445.997.51X3.776.677.743.655.298.194.914.707.154.795.058.185.316.015.534.055.677.795.164.688.03ni12121236 ( n ) X i52.5366.2387.62206.38( X )X ii X 24.385.527.305.73 ( X )234.2783373.2851647.73121255.2946( X 2 )來自不同總體的樣本均數(shù)間存在差異的原因有以 下兩個(gè)方面： 隨機(jī)因素引起的差異抽樣誤差、測(cè)量誤差 處理

6、因素引起的差異樣本所屬總體的均數(shù)存在實(shí)質(zhì)性差異問題：是如何排除隨機(jī)因素的干擾，利用樣本信息對(duì) 總體均數(shù)間是否存在差異作出推斷。 組間變異不同處理組樣本均數(shù)之間的差異稱為組間變異。其大小其大小可用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和 表示，記為SS組間SS組間= ni( X i- X )2n組間 =k-1v組間=MSc組間-=1SS組間n組間xi ：第i組的均值ni ：第i組的樣本含量為ni引起組間變異的原因:一方面是隨機(jī)誤差（個(gè)體變異和測(cè)量誤差）， 另一方面是各組總體均數(shù)之間存在差異。變異的分解 總變異SS總= ( x -x )2n總 =N -1 組間變異v組間= c -1SS組間= nii(xi-

7、 x )2n組間 =k-1 組內(nèi)變異SS組內(nèi)= ( x -ix )2n組內(nèi) =N - k三種變異的關(guān)系：線性可加性SS總= SS組間+ SS組內(nèi)v總 =v組間+ v組內(nèi)如果各樣本均數(shù)來自同一總體，即各組之間無差別，則組間變異與組內(nèi)變異均只反映隨機(jī)誤差。如果無隨機(jī)誤差，則：MS組間= MS組內(nèi)這時(shí)若計(jì)算組間均方與組內(nèi)均方的比值：F = MS組間MS組內(nèi)F 值應(yīng)接近于 1反之，若各樣本均數(shù)不是來自同一總體，組間變異應(yīng)較大，F(xiàn) 1 。那么，要大到多大程度才有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義呢？本世紀(jì)20年代英國著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher 推導(dǎo)出在無效假設(shè)H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)量 F 的分布規(guī)律，1934年G.W.S

8、nedecor以Fisher的名字命名這一分布，稱為 F 分布，通過查 F 界值表， 即可得 P 值，按 P 值大小作出推斷結(jié)論，故方差分析又稱為 F 檢驗(yàn)。方差分析的基本思想根據(jù)資料的設(shè)計(jì)類型，即變異的不同來源將全部觀察值總變異分解為兩個(gè)或多個(gè)部分。分別將各部分的變異與隨機(jī)誤差進(jìn)行比較，通過F值以及相應(yīng)的P值來判斷均數(shù)間的差別是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。SS總SS組間SS誤差MS組間MS誤差F = MS組間MS誤差方差分析的應(yīng)用條件： 各樣本來自正態(tài)總體； 方差齊性； 獨(dú)立性；方差分析用途：多個(gè)樣本均數(shù)比較 成組設(shè)計(jì)的單因素方差分析 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的兩因素方差分析二、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)(成組設(shè)計(jì))的方差分析

9、單因素方差分析(One-Way ANOVA)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)對(duì)照組 受試對(duì)象隨機(jī)化原則實(shí)驗(yàn)組1。實(shí)驗(yàn)組n單因素方差分析各組平均值之間的差別是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，這種多個(gè)樣本均數(shù)的比較可用單因素方差分析。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析的計(jì)算按照表表 9.2完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析計(jì)算表變異來源SSnMSF總變異 X 2 - C( X)2cN - 1ij組間(處理)j- Ci=1nic - 1SSTR/n TRMSTR/ MSe組內(nèi)(誤差)SST- SSTRN - cSSe/n e例9.1 為研究大豆對(duì)缺鐵性貧血的恢復(fù)作用，某研究者進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：選取已做成貧血模型的大鼠36只，隨機(jī)等分為3組，每組12只，分別用三種

10、不同的飼料喂養(yǎng)：不含大豆的普通飼 料、含10%大豆飼料和含15%大豆飼料。喂養(yǎng) 一周后，測(cè)定大鼠紅細(xì)胞數(shù)(1012/L)，試分析喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠貧血恢復(fù)情況是否 不同？表 9.1喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)(10 12/L)普通飼料10%大豆飼料15%大豆飼料合計(jì)4.784.656.804.656.925.913.984.447.284.046.167.513.445.997.51X3.776.677.743.655.298.194.914.707.154.795.058.185.316.015.534.055.677.795.164.688.03ni12121236 ( n ) X

11、i52.5366.2387.62206.38( X )X ii X 24.385.527.305.73 ( X )234.2783373.2851647.73121255.2946( X 2 )(1) 建立檢驗(yàn)假設(shè)H0：m1 = m2= m3(喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)相同 )H1： m1、m2、m3喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)不全相同a =0.05(2) 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Fe2F = MS組間= 26.0629 = 42.9231n1 =nTR= 2,nM=Sn組內(nèi)=0.607233(3) 確定 P 值，作出推斷結(jié)論表9.3例9.1資料的方差分析表變異來源SSnMSFP總變異72.16

12、3935組間變異52.1258226.062942.92310.01組內(nèi)變異20.0381330.6072n1按n1=2 ，n 2=33 查附表11 ， 方差分析用F 界值表，得 F0.01,2,33 =5.34，P0.01，按a=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為喂養(yǎng)三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)的總體均數(shù)不全相同。 。以上結(jié)論表明，總的來說三種不同飼料的大鼠紅細(xì)胞數(shù)的總體均數(shù)有差別，但不能認(rèn)為任何兩組紅細(xì)胞數(shù)的總體均數(shù)有差別，只能說可能至少有紅細(xì)胞數(shù)的總體均數(shù)有差別。如果需要進(jìn)一步明確哪些組均數(shù)間有差別，哪些組均數(shù)間沒有差別，還需要作均數(shù)間的兩兩比較。Question :當(dāng)隨機(jī)對(duì)照只有兩

13、組時(shí)，我們以前是用成組t檢驗(yàn)，這時(shí)能用方差分析嗎？計(jì)量F與t檢驗(yàn)所得統(tǒng)計(jì)量t 有如下關(guān)系：F=t2三、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)(配伍組設(shè)計(jì))的兩因素方差分析(Two-Way ANOVA)將全部受試對(duì)象按某種或某些特征分為若干個(gè)區(qū)組(block)或稱配伍組，使每個(gè)區(qū)組內(nèi)研究對(duì)象的 特征盡可能相近。每個(gè)區(qū)組內(nèi)的觀察對(duì)象與研究因 素的水平數(shù)相等。分別使每個(gè)區(qū)組內(nèi)的觀察對(duì)象隨 機(jī)地接受研究因素某一水平的處理。配伍組設(shè)計(jì)：概念：將條件相同或者相近實(shí)驗(yàn)對(duì)象配成一組是配對(duì)的擴(kuò)大。優(yōu)點(diǎn)：是每個(gè)區(qū)組內(nèi)的k個(gè)實(shí)驗(yàn)單位有較好的均衡性，比完全隨機(jī)設(shè)計(jì)更容易覺察到處理間的差別。例9.2 利用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)研究不同溫度對(duì)家兔血糖濃度的

14、影響，某研究者進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：將24只家兔按窩別配成6個(gè)區(qū)組，每組4只，分別 隨機(jī)分配到溫度15、20、25、30的4 個(gè)處理組中，測(cè)量家兔的血糖濃度值(mmol/L)，結(jié)果如下表9.4所示，分析4種溫度下測(cè)量家兔的血糖濃度值是否不同？表 9.4四種溫度下測(cè)量家兔的血糖濃度值(mmol/L)溫度()窩別X j15202530n j182.2282.3090.14112.76491.862110.1083.17100.78140.624108.673100.15110.30120.55120.494112.87474.2082.43100.66110.31491.90580.5797.90115

15、.76103.56499.456102.7781.2090.30138.544103.20ni666624( n ) X i550.01537.30618.19726.282431.78( X )Xi91.6789.55103.03121.05101.32 ( X )( Xi 2 )51470.998748829.183864501.033789092.9434253894.1596( X 2隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)(randomized block design)可以考察兩個(gè)因素的作用。 因素A稱為處理因素 因素B稱為區(qū)組因素-是可能對(duì)實(shí)驗(yàn)效應(yīng)產(chǎn)生影響的主要非處理因素。SS總SS組間SS配伍間SS誤差M

16、S組間MS配伍間MS誤差F = MS因素MS誤差變異的分解SST= SSA+ SSB+ SSenT=n A+n B+neSS總= x2(x)2-Nv 總 = N -12 xij SS處理=jr- Cv處理 =k -12 xij SS區(qū)組 =i- Ccv區(qū)組 =b -1SS誤差= SS總- SS處理- SS區(qū)組v誤 = v總- v組間- v組內(nèi)F處理= MS處理MS誤差隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析的計(jì)算表表 9.5隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析表變異來源SSnMSF總變異 X 2 - CN1處理組( X )2n - Ck1SSnMSMSii處理處理處理誤差jj區(qū)組( X )2n- Cb1SSnMSMS區(qū)組區(qū)組區(qū)組

17、誤差誤差SS總 - SS處理 - SS區(qū)組n總-n處理-n區(qū)組SS誤差n 誤差（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)1) H0：4個(gè)總體均數(shù)全相等，即4種溫度下家兔血糖濃度值相同H1：4個(gè)總體均數(shù)不全相等，即4種溫度下家兔血糖濃度值不等或不全相等a=0.052) H0：6個(gè)總體均數(shù)全相等，即不同窩別家兔血糖 濃度相同H1：6個(gè)總體均數(shù)不全相等，即不同窩別家兔血糖濃度不全相同a =0.05(2) 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F處理= MS處理MS誤差= 1247.5174 = 8.2717n-n150.8167n處理= k -1 = 3誤差 =n總-n處理區(qū)組 = 15F區(qū)組= MS區(qū)組MS誤差= 298.2549 = 1.97

18、76n-n150.8167n區(qū)組= b -1 =6 -1 = 5誤差 =n總 -n處理區(qū)組 = 15(3) 確定 P 值，作出推斷結(jié)論表 9.6例 9.2 資料的方差分析表變異來源SSnMSFP總變異7496.077623處理組(溫度)3742.552131247.51748.27170.05誤差2262.251115150.8167在隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析時(shí)，研究者感興趣的是研究因素。但是區(qū)組效應(yīng)是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義也是相當(dāng)重要，它表明了區(qū)組劃分是否成功。當(dāng)設(shè)計(jì)方案配對(duì)設(shè)計(jì)時(shí)，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分 析所算得處理因素統(tǒng)計(jì)量F與配對(duì)t檢驗(yàn)所得統(tǒng)計(jì)量t 有如下關(guān)系：F=t2小結(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析SS總

19、= SS組間+ SS組內(nèi)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析SS總= SS誤差+SS處理+SS區(qū)組四、多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較方差分析結(jié)果：各組均數(shù)間差別的總的信息。是否表示任意兩個(gè)均數(shù)之間有差別？欲了解具體哪兩個(gè)總體均數(shù)有差別-t檢驗(yàn)？由于涉及的對(duì)比組數(shù)大于2，此時(shí)，若仍用t檢驗(yàn)對(duì)各種組合下的兩兩均數(shù)之間進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，則會(huì)增大第一類錯(cuò)誤的概率，即可能把本來無差別的兩個(gè)總體均數(shù)判為有差別。因此，多重比較時(shí)不宜再用前述 檢驗(yàn)分別作兩兩比較。見教材P99模擬實(shí)驗(yàn)四、多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較多個(gè)均數(shù)間的多重比較多個(gè)均數(shù)間的多重比較(multiple comparison) SNK-q 檢驗(yàn)用于多

20、樣本均數(shù)間每?jī)蓚€(gè)均數(shù)的比較 Dunnett-t 檢驗(yàn)用于對(duì)照組與各處理組的比較1. SNK-q 檢驗(yàn)用于多樣本均數(shù)間每?jī)蓚€(gè)均數(shù)的比較q = xA - xBsdsd=MS誤差211n+ nAB n= n e例9.3 對(duì)例9.1中若要了解具體哪兩個(gè)總體均數(shù)不等則需進(jìn)一步作兩兩比較。將三組樣本均數(shù)從大到小排列，并編上組次： 組次123均數(shù)7.305.524.38組別 15%大豆飼料10%大豆飼料普通飼料 33 個(gè)樣本均數(shù)的多重比較共需作 =23!=2!(3 - 2)!3 次比較表 9.9例 9.1 資料的 SNK 法檢驗(yàn)計(jì)算表對(duì)比組兩均數(shù)之差兩均數(shù)之差對(duì)比組內(nèi)q 界值A(chǔ) 與BX A - XB標(biāo)準(zhǔn)誤q包含組數(shù) PSX A - X Ba0.050.01(1)(2)(3)(4)=(2)(3)(5)(6)(7)(8)1