偏微分方程數(shù)值解期末試題及答案

1、偏微分方程數(shù)值解試題(06B)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)一（10分）、設(shè)矩陣對稱，定義，.若,則稱稱是的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）.矩陣對稱（不必正定），求證是的駐點(diǎn)的充要條件是：是方程組 的解解: 設(shè)是的駐點(diǎn),對于任意的,令, (3分),即對于任意的,特別取,則有,得到. (3分) 反之,若滿足,則對于任意的,因此是的最小值點(diǎn). (4分)評分標(biāo)準(zhǔn):的展開式3分, 每問3分,推理邏輯性1分二（10分）、 對于兩點(diǎn)邊值問題：其中建立與上述兩點(diǎn)邊值問題等價(jià)的變分問題的兩種形式：求泛函極小的形式和形式的變分方程。解: 設(shè)為求解函數(shù)空間,檢驗(yàn)函數(shù)空間.取,乘方程兩端,積分應(yīng)用分部積分得到 (3分) ,

2、即變分問題的形式. (3分) 令,則變分問題的形式為求,使 (4分)評分標(biāo)準(zhǔn):空間描述與積分步驟3分,變分方程3分,極小函數(shù)及其變分問題4分,三（20分）、對于邊值問題（1）建立該邊值問題的五點(diǎn)差分格式（五點(diǎn)棱形格式又稱正五點(diǎn)格式），推導(dǎo)截?cái)嗾`差的階。（2）取，求邊值問題的數(shù)值解（寫出對應(yīng)的方程組的矩陣形式，并求解）（3）就和的一般情況寫出對應(yīng)方程組的系數(shù)矩陣（用分塊矩陣表示）。解: (1) 區(qū)域離散,差分格式為 (5分)應(yīng)用展開得到,截?cái)嗾`差為,其階為 (3分)(2) 未知量為,矩陣形式為,其中 (4分)求解得到解為 (3分)A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0

3、,-1,-1,4L = 2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333(3) 矩陣為, (5分)評分標(biāo)準(zhǔn):第1問8分,格式4分,截?cái)嗾`差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分四（20分）、對于初邊值問題（1）建立向前差分格式（最簡顯格式），推導(dǎo)截?cái)嗾`差的主項(xiàng)，指出誤差階;（2）寫出差分格式的矩陣形式（即的形式），用矩陣方法分析格式的穩(wěn)定性（3）建立六點(diǎn)對稱格式(格式) 并寫出計(jì)算形式，應(yīng)

4、用方法（分離變量法）分析格式的穩(wěn)定性。解:(1) 區(qū)域離散,格式為 , (5分)應(yīng)用展開得到,誤差主項(xiàng)為,階為 (3分) (2) , (4分)穩(wěn)定條件為 (3分)(3) 格式為, (3分)低階項(xiàng)歸入中,格式是無條件穩(wěn)定的. (2分)五（10分）、逼近的三層差分格式分析格式的穩(wěn)定性解:計(jì)算形式為 (2分)此為三層格式,化為兩層格式.令,則有 (4分) 令,代入格式,消去公因子,得到 (2分) 放大矩陣為,特征方程為,的充要條件為方程有相同的復(fù)根或一對共扼復(fù)根,即.考慮到的變化,穩(wěn)定條件為 (2分)六（10分）、建立波動(dòng)方程的初值問題的顯格式，推導(dǎo)截?cái)嗾`差,推導(dǎo)格式穩(wěn)定的必要條件.解:差分格式為, (3分)截?cái)嗾`差為,階為 (3分)分析穩(wěn)定性必要條件 (4分)七（10分）、對于二維拋物型方程建立差分格式，指出截?cái)嗾`差階，分析格式的穩(wěn)定性。解: 差分格式為 (4分)誤差階為 (3分)放大因子為,恒穩(wěn)定. (3分)八.用方法求邊值問題的第次近似,基函數(shù)解:(1)邊界條件齊