函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案

1、函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（自學(xué)引導(dǎo)：這節(jié)課我們主要任務(wù)就是通過對單調(diào)性的研究，然后會運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解決題目.這節(jié)課的特點(diǎn)是符號較多，希望同學(xué)們課下做好預(yù)習(xí).）1、理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)內(nèi)容和函數(shù)單調(diào)性的幾何意義；2、掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：定義法和圖象法；3、熟練的掌握用定義法證明函數(shù)單調(diào)性及其步驟.課前引導(dǎo)：函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)有什么意義？二、【自學(xué)內(nèi)容和要求及自學(xué)過程】觀察教材第27頁圖1.3-2，閱讀教材第27-28頁“思考”上面的文字，回答下列問題（自學(xué)引導(dǎo)：理解“上升”、“下降”的本質(zhì)內(nèi)涵，歸納出增函數(shù)的定義）你能描述上面函數(shù)的圖像特征嗎？該怎樣理解“上升”

2、、“下降”的含義？對于二次函數(shù)y=x2，列出表(1)，完成表(1)并體會圖象在y軸右側(cè)上升；x-3-2-101234f(x)=x2結(jié)論：函數(shù)y=x的圖象，從左向右看是（上升、下降）的；函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是的，在y軸右側(cè)是的；函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是的，在y軸右側(cè)是的；按從左向右的方向看函數(shù)的圖象，意味著圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大；圖象是上升的意味著圖象上點(diǎn)的（橫、縱）坐標(biāo)逐漸變大，也就是對應(yīng)的函數(shù)值隨著逐漸增大.也就是說從左向右看圖象上升，反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而；“下降”亦然；在區(qū)間(0，+)上，任取x1、x2，且x1x2,那么就有y1y2(),也

3、就是有f(x1) f(x2).這樣可以體會用數(shù)學(xué)符號刻畫圖象上升.閱讀教材第28頁“思考”下面的內(nèi)容，然后回答下列問題（自學(xué)引導(dǎo)：同學(xué)們要理解增函數(shù)的定義，符號比較多，要一一的理解）數(shù)學(xué)上規(guī)定：函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù).請給出增函數(shù)定義.增函數(shù)的定義中，把“當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)”，這樣行嗎?增函數(shù)的定義中，“當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)”反映了函數(shù)值有什么變化趨勢?函數(shù)圖象有何特點(diǎn)?增函數(shù)的幾何意義是什么？結(jié)論：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函

4、數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；增函數(shù)的定義：由于當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，即都是相同的不等號“”，也就是說前面是“”，后面也是“x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等號“”，即前面是“”，后面也是“”,步調(diào)一致.因此我們可以簡稱為：步調(diào)一致增函數(shù)；增函數(shù)反映了函數(shù)值隨自變量的增大而增大；從左向右看,圖象是上升的；增函數(shù)幾何意義是從左向右看,圖象是（上升、下降）的；（自學(xué)引導(dǎo)：類比增函數(shù)的定義，切實(shí)理解減函數(shù)的含義.）思考：類比增函數(shù)的定義，請你給出減函數(shù)的定義； 函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有單調(diào)性，說明了函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的圖象有什么變化趨勢？結(jié)論：一般地，設(shè)

5、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為：步調(diào)不一致減函數(shù).減函數(shù)的幾何意義：從左向右看,圖象是的.函數(shù)值變化趨勢：函數(shù)值隨著自變量的增大而減??；函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上，函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大（減?。?，幾何意義：從左向右看,圖象是（）（上升、下降）的；閱讀教材第29頁第一段，然后回答下列問題你能理解“嚴(yán)格的單調(diào)性”所包含的含義嗎？試述之.三、講授新課1.引例：觀察y=x2的圖象，回答下列問題（投影1）問題1：函數(shù)y=x2的圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，說明什么？隨著x的

6、增加，y值在增加。問題2：怎樣用數(shù)學(xué)語言表示呢？設(shè)x1、x20，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).當(dāng)x1x2時(shí)，f(x1) f(x2).(學(xué)生不一定一下子答得比較完整，教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī)予以啟發(fā))。結(jié)論：這時(shí)，說y1= x2在0，+上是增函數(shù)。（同理分析y軸左側(cè)部分）由此可有：2.定義：（投影2）一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1x2時(shí)都有f(x1) f(x2).那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（increasing function）。如果對于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2).那么就

7、是f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)(decreasing function)。如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函說y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；（2）注意區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1,x2的任意性；（3）函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念。1、 說明1）。單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；2）。若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，則圖象在D上的部分從左到右呈趨勢 若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，則圖象在D上的部分從左到右呈趨勢3）。單

8、調(diào)區(qū)間一般不能并2、 判斷單調(diào)性的方法：定義；導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增則增，異增則減；圖象3、 常用結(jié)論：兩個(gè)增（減）函數(shù)的和為_；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是_；奇函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有_的單調(diào)性；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域上有_的單調(diào)性；（III）例題分析例1.下圖是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性（課本P34例1）。問題3：y=f(x)在區(qū)間，上是減函數(shù)；在區(qū)間，上是增函數(shù)，那么在兩個(gè)區(qū)間的公共端點(diǎn)處，如：x=-2,x=-1,x=3處是增函數(shù)還是減函數(shù)？分析：函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因此沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題；另一方面，中學(xué)階段研究的是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對于閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)而言，只要在開區(qū)間單調(diào)，則它在閉區(qū)間也單調(diào)。因此在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以（要注意端點(diǎn)是否在定義域范圍內(nèi)）。說明：要了解函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖上進(jìn)行觀察是一種常用而又粗略的方法。嚴(yán)格地說，它需要根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明。例2證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)。證明：設(shè)任意x1、x2R，且x1x2.則f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2