數(shù)學(xué)期望的引例2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),主講：柯大觀 電話：86689930（辦） 手機(jī)短號：674706 Email: 辦公地點(diǎn)：溫州醫(yī)學(xué)院茶山校區(qū)4A417 公共郵箱：， 公共郵箱密碼：09shenggong,數(shù)學(xué)期望的引例2,Mathematical Expectation,博弈論經(jīng)典案例囚徒困境：,兩個(gè)小偷A(chǔ)和B聯(lián)合犯事、私入民宅被警察抓住。警方將兩人分別置于不同的兩個(gè)房間內(nèi)進(jìn)行審訊，警方給出的政策是：如果一個(gè)犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了贓物，于是證據(jù)確鑿，兩人都被判有罪。如果另一個(gè)犯罪嫌疑人也作了坦白，則兩人各被判刑8年；如果另一個(gè)犯罪嫌人沒有坦白而是抵賴，則以妨礙公務(wù)罪（因已有

2、證據(jù)表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被減刑8年，立即釋放。如果兩人都抵賴，則警方因證據(jù)不足不能判兩人的偷竊罪，但可以私入民宅的罪名將兩人各判入獄1年。問每個(gè)小偷的最佳策略是什么？,方 差 的 引 入,E( X1 )=5,E( X2 )=5,設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：,兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大， 如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品2理想。,方差（Variance）的定義,定義,均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）,設(shè) 是一隨機(jī)變量，如果 存在，則稱 為 的方差，記作 或,即,方差的計(jì)算公式,Proof.,一維隨機(jī)變量的方差,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為,離散型,連續(xù)型

3、,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為 f (x),其中,方 差 的 計(jì)算,E( X1 )=5,E( X2 )=5,例 設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：,求D(X1) ,D(X2),解,0-1分布的方差,分布律,方差,其中,二項(xiàng)分布的方差,If X B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p ),分布律,方差,X B ( n, p ),其中,推導(dǎo)？,泊松分布的方差,分布律,方差,推導(dǎo)？,均勻分布的方差,分布密度,方差,指數(shù)分布的方差,分布密度,方差,常見分布及其期望和方差列表,分布名稱 數(shù)學(xué)期望E（X） 方差D（X）,0-1分布,二項(xiàng)分布,泊松分布,均勻分布

4、,正態(tài)分布,指數(shù)分布,方差的計(jì)算步驟,Step 1: 計(jì)算期望 E(X),Step 2: 計(jì)算 E(X2),Step 3: 計(jì)算 D(X),離散型,連續(xù)型,離散型,連續(xù)型,方差的性質(zhì),證明,隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化,若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)=s2(X)都存在，且s(X)0，則隨機(jī)變量 稱為標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。 對于任意標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量X*， 有 E(X*)=0, D(X*)=1.,二維隨機(jī)變量的方差,(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,二維隨機(jī)變量的方差,(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度,分別為,求,.,練一練,解 因?yàn)?相互獨(dú)立，所以,而,所以,例 已知

5、一批玉米種子的發(fā)芽率是75，播種時(shí) 每穴種三粒，求每穴發(fā)芽種子粒數(shù)的數(shù)學(xué)期望、 方差及均方差.,.,設(shè)發(fā)芽種子數(shù)為 X，則 X 服從二項(xiàng)分布，且,解,設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)， 每次射擊命中的概率為0.4，求 X 的數(shù)學(xué)期望。,練一練,所以,所以這種動物的平均壽命為10年，標(biāo)準(zhǔn)差為10年.,解,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,解 X的密度函數(shù)為,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,所以,而,所以,解 X的密度函數(shù)為,練一練,設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,所以,證畢,證明,證畢,證明,原點(diǎn)矩與中心矩,定義1 設(shè)隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望存在

6、（k為正整數(shù)），則稱E(Xk)為X的k階原點(diǎn)矩，記作uk(X)，即 uk(X)= E(Xk) 一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望，u1(X)= E(X). 定義2 設(shè)隨機(jī)變量X的函數(shù)X-E(X)k的數(shù)學(xué)期望存在（k為正整數(shù)），則稱EX-E(X)k為X的k階中心矩，記作mk(X)，即 mk(X)= EX-E(X)k 一階中心矩恒等于0， m1(X) 0; 二階中心矩就是方差，m2(X)=D(X).,協(xié)方差 Covariance,定義 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的函數(shù)X-E(X)Y-E(Y)的數(shù)學(xué)期望存在，則稱其為X與Y的協(xié)方差，記作cov(X,Y)，即 cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y). 亦即 cov(X

7、,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 這是因?yàn)?cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) =EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y).,協(xié)方差 Covariance,定理 若X，Y相互獨(dú)立，則cov(X,Y)=0. 因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y), 所以 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) =E(X)E(Y)-E(X)E(Y) =0. 若cov(X,Y)=0，則稱X和Y不相關(guān)。 “X與Y相互獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”什么關(guān)系？,例 設(shè)X和Y在區(qū)域D=(X,Y): x2

8、+y21內(nèi)服從均勻分布，試證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨(dú)立的。 證： 由已知，X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)=1/. X與Y不相關(guān)。,協(xié)方差的性質(zhì),（1）cov(X,Y)=cov(Y,X); （2）cov(X,c)=0; cov(X,X)=D(X); （3）cov(aX,bY)=abcov(X,Y) ，a，b為常數(shù) （4）cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z); （5）,相關(guān)系數(shù) Correlation coefficient,定義 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，則將X與Y標(biāo)準(zhǔn)化得到的隨機(jī)變量 的協(xié)方差cov(X*,Y*)稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作R(X,Y)， 即 R(X