小波分析的圖像壓縮

1、小波分析的圖像壓縮1. 引言小波變換技術(shù)已廣泛地應用于圖形、圖像處理、語音處理、視頻處理以及數(shù)字信號處理等領(lǐng)域。由于小波變換的良好特性，使其在眾多實際應用中都能得到很好的應用，并取得比原有技術(shù)更好的實際效果。小波變換在圖像處理中有著非常重要的應用，包括圖像壓縮、圖像去噪、圖像融合、圖像分解、圖像增強等。小波分析是建立在傅立葉分析的思想方法之上的，是傅立葉分析的發(fā)展與延拓。除了連續(xù)小波(CWT)、離散小波(DWT)，還有小波包(Wavelet Packet)和多維小波。本文從基于小波分析的圖像壓縮入手，系統(tǒng)的介紹了小波分析和研究了二維小波分析及小波包在圖像壓縮中應用。2. 小波分析的基本理論2.

2、1 傅立葉變換與小波變換的比較小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它自產(chǎn)生以來，就一直與傅立葉分析密切相關(guān)。它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅立葉分析，二者是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同：（1）傅立葉變換的實質(zhì)是把能量有限信號分解到以為正交基的空間上去；小波變換的實質(zhì)是把能量有限信號分解到（j=1，2，J）和所構(gòu)成的空間上去。（2）傅立葉變換用到基本函數(shù)只有，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有不唯一性，同一個工程問題用不同的小波函數(shù)進行分析有時結(jié)果相差甚遠。小波函數(shù)的選用是小波分析應用到實際中的一個難點問題（也是小波分析研究的一個熱點問題），目前往

3、往是通過經(jīng)驗或不斷的試驗（對結(jié)果進行對照分析）來選擇小波函數(shù)。（3）在頻域中，傅立葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅立葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式。例如，但在時域中，傅立葉變換沒有局部化能力，即無法從信號的傅立葉變換中看出在任一時間點附近的性態(tài)。事實上，是關(guān)于頻率為的諧波分量的振幅，在傅立葉展開式中，它是由的整體性態(tài)所決定的。（4）在小波分析中，尺度a的值越大相當于傅立葉變換中的值越小。（5）在短時傅立葉變換中，變換系數(shù)主要依賴于信號在片段中的情況，時間寬度是（因為是由窗函數(shù)唯一確定，所以是一個定值）。在小波變換中，變換系數(shù)主要依賴于

4、信號在片段中的情況，時間寬度是，該時間寬度是隨著尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。（6）若用信號通過濾波器來結(jié)實，小波變換與短時傅立葉變換不同之處在于：對短時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率，即，C為常數(shù)，亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等Q結(jié)構(gòu)（Q為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且有）。小波分析屬于時頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號分析是建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)上的，由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時域，要么完全在頻域，因此無法表述信號的時頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了分析和處

5、理非平穩(wěn)信號，人們對傅立葉分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了一系列新的信號分析理論：短時傅立葉變換、Gabor變換、時頻分析、小波變換、分數(shù)階傅立葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計量理論和調(diào)幅-調(diào)頻信號分析等。其中，短時傅立葉變換和小波變換也是應傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號處理的要求而產(chǎn)生的。短時傅立葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)g（t）的一個短時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)（偽平穩(wěn)）的，并移動分析窗函數(shù)，使 在不同的有限時間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時傅立葉變換是一種單一分辨率的信號分析方法，因為它使用一個固定的短時窗函數(shù)。因而短時傅立

6、葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號的時間尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽為分析信號的顯微鏡，利用連續(xù)小波變換進行動態(tài)系統(tǒng)故障檢測與診斷具有良好的效果。小波變換提出了變化的時間窗，當需要精確的低頻信息時，采用長的時間窗，當需要精確的高頻信息時，采用短的時間窗。且小波變換用的不是時間-頻率域，

7、而是時間-尺度域。尺度越大，采用越大的時間窗，尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻率成反比。2.2 連續(xù)小波變換2.2.1一維連續(xù)小波變換定義：設，其傅立葉變換為，當滿足允許條件（完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件） (2.2)時，我們稱為一個基本小波或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得 (2.3)稱其為一個小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為 (2.4)其重構(gòu)公式（逆變換）為 (2.5)由于基小波生成的小波在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以還應該滿足一般函數(shù)的約束條件 (2.6)故是一個連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式，在原點必須等于0，即

8、 (2.7)為了使信號重構(gòu)的實現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，處理完全重構(gòu)條件外，還要求小波的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件： (2.8)式中0AB從穩(wěn)定性條件可以引出一個重要的概念。定義（對偶小波） 若小波滿足穩(wěn)定性條件（2.8）式，則定義一個對偶小波，其傅立葉變換由下式給出： （2.9）注意，穩(wěn)定性條件（2.8）式實際上是對（2.9）式分母的約束條件，它的作用是保證對偶小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。值得指出的是，一個小波的對偶小波一般不是唯一的，然而，在實際應用中，我們又總是希望它們是唯一對應的。因此，尋找具有唯一對偶小波的合適小波也就成為小波分析中最基本的問題。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：（1）線

9、性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和（2）平移不變性：若f（t）的小波變換為，則的小波變換為（3）伸縮共變性：若f（t）的小波變換為，則f（ct）的小波變換為，（4）自相似性：對應不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。小波變換的冗余性事實上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：（1）由連續(xù)小波變換恢復原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號f（t）的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應的。（2）小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇（例如，它們可

10、以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的）。小波變換在不同的（a，b）之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。2.2.2 高維連續(xù)小波變換對，公式 (2.10)存在幾種擴展的可能性，一種可能性是選擇小波使其為球?qū)ΨQ，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ，（2.11）并且其相容性條件變?yōu)椋?.12）對所有的。 （2.13）這里，=，其中且，公式（2.6）也可以寫為（2.14）如果選擇的小波不是球?qū)ΨQ的，但可以用旋轉(zhuǎn)進行同樣的擴展與平移。例如，在二維時，可定義（2.15）這里，相容條件變?yōu)椋?.16）該等式對應的重

11、構(gòu)公式為（2.17）對于高于二維的情況，可以給出類似的結(jié)論。2.3 離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間變量t的。這一點與我們以前習慣的時間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)：這里，且，是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?(2.18)通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散公式分別取作，這里，擴展步長是固定值，為方便起見，總是假定（由于m可取正也可取負，所以這個假定無關(guān)緊要）。

12、所以對應的離散小波函數(shù)即可寫作（2.19）而離散化小波變換系數(shù)則可表示為（2.20）其重構(gòu)公式為（2.21）C是一個與信號無關(guān)的常數(shù)。然而，如何選擇和，保證重構(gòu)信號的精度。顯然，網(wǎng)格點應盡可能密（即和盡可能?。?，因為如果網(wǎng)格點越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號重構(gòu)的精確度也就會越低。實際計算中不可能對全部尺度因子值和位移參數(shù)值計算CWTa,b值，加之實際的觀測信號都是離散的，所以信號處理中都是用離散小波變換(DWT)。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按2的冪次進行離散。最有效的計算方法是s.Mallat于1988年發(fā)展的快小波算法(又稱塔式算法)。對任一信號，離散小波變換第一步

13、運算是將信號分為低頻部分(稱為近似部分)和離散部分(稱為細節(jié)部分)。近似部分代表了信號的主要特征。第二步對低頻部分再進行相似運算。不過這時尺度因子已經(jīng)改變,依次進行到所需要的尺度。除了連續(xù)小波(CWT)、離散小波(DWT)，還有小波包（Wavelet Packet）。2.4 小波包分析多分辨分析可以對信號進行有效的時頻分解，但由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進行指數(shù)等間隔劃分（具有等Q結(jié)構(gòu)）。小波包分析能夠為信號提供一種更精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分辨率分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信

14、號的特征，自適應地選擇相應頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應用價值。關(guān)于小波包分析的理解，我們這里以一個三層的分解進行說明，其小波包分解樹如圖圖1 小波包分解樹圖1中，A表示低頻，D表示高頻，末尾的序號數(shù)表示小波分解的層樹（也即尺度數(shù)）。分解具有關(guān)系：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。小波包算法包括小波包的分解算法和重構(gòu)算法。3. 小波用于圖像壓縮的實現(xiàn)3.1 基于小波變換的圖像局部壓縮基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π盘栠M行分解，驅(qū)除信號點之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次要系數(shù)，

15、以達到壓縮的效果，但該方法在處理過程中并不能提供時域的信息，在我們比較關(guān)心時域特性的時候顯得無能為力。但是這種應用的需求是很廣泛的，比如遙感測控圖像，要求在整幅圖像有很高壓縮比的同時，對熱點部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對某個局部的細節(jié)部分有很高的分辨率，單純的頻域分析的方法顯然不能達到這個要求，雖然可以通過對圖像進行分快分解，然后對每塊作用不同的閾值或掩碼來達到這個要求，但分塊大小相對固定，有失靈活。在這個方面，小波分析的就優(yōu)越得多，由于小波分析固有的時頻特性，我們可以在時頻兩個方向?qū)ο禂?shù)進行處理，這樣就可以對我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。以下是利用小波變化的時頻局部化

16、特性，通過一個局部壓縮的例子顯示小波變換在應用這類問題上的優(yōu)越性。clcload woman;m=300%使用sym4小波對信號進行一層小波分解cA,cH,cV,cD=dwt2(X,sym4);%二維離散小波變換%cA ：低頻分量， cH：水平高頻分量%cV：垂直高頻分量 cD：對角高頻分量codca1=wcodemat(cA,m);%對變換信號的偽彩色編碼codch1=wcodemat(cH,m);codcv1=wcodemat(cV,m);codcd1=wcodemat(cD,m);codx=codca1,codch1;codcv1,codcd1;%將四個系數(shù)圖像組合為一個圖像subplo

17、t(121);image(wcodemat(X,m),colormap(map);axis squaretitle(原始圖像);subplot(122);image(codx),colormap(map);axis squaretitle(一層分解后各層系數(shù)圖像);運行結(jié)果如圖從圖上可以看到，經(jīng)過一層分解后，小波域的各層系數(shù)中，低頻分量包含了圖片的大部分信息，水平高頻分量、垂直高頻分量及對角高頻分量都包含的信息相對較少，因此可以通過對水平高頻分量、垂直高頻分量及對角高頻分量這些局部細節(jié)的系數(shù)進行處理，從而達到局部壓縮的目的。接著把圖像中部的細節(jié)系數(shù)都置1，代碼為rca1=cA;rch1=cH;

18、rcv1=cV;rcd1=cD;%將三個細節(jié)系數(shù)的中部置0rch1(33:97,33:97)=zeros(65,65);%可以根據(jù)圖像進行修改rcv1(33:97,33:97)= zeros(65,65);rcd1(33:97,33:97)= zeros(65,65);codrca1=wcodemat(rca1,m);codrch1=wcodemat(rch1,m);codrcv1=wcodemat(rcv1,m);codrcd1=wcodemat(rcd1,m);%將處理后的系數(shù)圖像組合為一個圖像codrx=codrca1,codrch1;codrcv1,codrcd1;%重建處理后的系數(shù)r

19、x=idwt2(rca1,rch1,rcv1,rcd1,sym4);%反變換subplot(121);image(wcodemat(rx,m),colormap(map);axis squaretitle(壓縮圖像);subplot(122);image(codrx),colormap(map);axis squaretitle(處理后各層系數(shù)圖像);運行代碼結(jié)果如下圖。 從圖中可以看到，把圖像中部的細節(jié)系數(shù)都置0后，從壓縮圖像中可以很明顯地看出有用的圖片信息更加清晰了。本例只是為了演示小波分析應用在圖像局部壓縮的方法，在實際的應用中，可能不會只做一層變換，而且作用閾值的方式可能也不會是將局部

20、細節(jié)系數(shù)全部清除，更一般的情況是在N層變換中通過選擇零系數(shù)比例或能量保留成分作用不同的閾值，實現(xiàn)分片的局部壓縮。而且，作用的閾值可以是方向相關(guān)的，即在三個不同方向的細節(jié)系數(shù)上作用不同的閾值。3.2 利用二維小波分析進行圖像壓縮下面通過對一個圖像信號利用二維小波分析對圖像進行壓縮作為例子。由于圖像經(jīng)作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應的頻率是不相同的。高分辨率（即高頻）子圖像上大部分點的數(shù)值都接近于0，越是高頻這種現(xiàn)象越明顯。對一個圖像來說，表現(xiàn)一個圖像最主要的部分是低頻部分，所以一個最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。圖像壓縮可按

21、如下程序進行處理。clcload woman;subplot(121);image(X);colormap(map)title(原始圖像);axis square%對圖像用sym4小波進行2層小波分解c,s=wavedec2(X,2,sym4);% c-各層分量,s-各層分量長度%提取小波分解結(jié)構(gòu)中第一層低頻系數(shù)和高頻系數(shù)ca1=appcoef2(c,s,sym4,1);%得到第一層近似各系數(shù)ch1=detcoef2(h,c,s,1);%得到水平系數(shù)cv1=detcoef2(v,c,s,1);%得到垂直系數(shù)cd1=detcoef2(d,c,s,1);%得到對角系數(shù)%分別對各頻率成分進行重構(gòu)a1

22、=wrcoef2(a,c,s,sym4,1);%重構(gòu)近似系數(shù)h1=wrcoef2(h,c,s,sym4,1);v1=wrcoef2(v,c,s,sym4,1);d1=wrcoef2(d,c,s,sym4,1);c1=a1,h1;v1,d1;%顯示分解后各頻率成分的信息subplot(122);image(c1);colormap(map);axis squaretitle(分解后低頻和高頻信息);運行結(jié)果得圖下面介紹進行圖像2次壓縮處理的方法。首先保留小波分解第一層低頻信息，并對第一層信息進行量化編碼后調(diào)整圖像的高度，進行第一次圖像壓縮；然后保留小波分解第層層低頻信息，并對第二層信息進行量化編

23、碼后調(diào)整圖像的高度，進行第二次圖像壓縮。具體代碼實現(xiàn)如下。ca1=appcoef2(c,s,sym4,1);ca1=wcodemat(ca1,300); %對第一層信息進行量化編碼ca1=0.5*ca1;subplot(121);image(ca1);colormap(map);axis squaretitle(第一次壓縮);ca2=appcoef2(c,s,sym4,2);ca2=wcodemat(ca2,300); %對第二層信息進行量化編碼ca2=0.25*ca2; %改變圖像的高度subplot(122);image(ca2);colormap(map);axis squaretitl

24、e(第二次壓縮);運行結(jié)果如下圖。比較壓縮前后圖片信息，如下圖及表1所示。 表1NameSizeBytes壓縮前圖片信息256x256第一次壓縮后圖片信息131x131第二次壓縮后圖片信息69x6938088從表1可以看出，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，此時壓縮效果較好，壓縮比較?。?/2）；第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分（即小波分解第二層的低頻部分），其壓縮稍微大一點（為1/4），壓縮效果在視覺上還可以，圖像損失的信息不實太多。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng)過其他處理即可獲得較好的壓縮效果。3.3 基于小波包變換的圖像壓縮小波

25、分析之所以在信號處理中有著強大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時候更為靈活。全局閾值化方法作用的信息粒度太大，不夠精細，所以很難同時獲得高的壓縮比和能量保留成分，在作用的分層閾值以后，性能明顯提高，因為分層閾值更能體現(xiàn)信號固有的時頻局部特性。但是小波分解仍然不夠靈活，分解出來的小波樹只有一種模式，不能完全地體現(xiàn)時頻局部化信息。而壓縮的核心思想既是盡可能去處各小波域系數(shù)之間的信息關(guān)聯(lián)，最大限度體現(xiàn)時頻局部化的信息，因此，實際的壓縮算法多采用小波包算法，而小波樹的確定則是根據(jù)不同的信息論準則，以達到分解系數(shù)表達的信息密度最高。下面通過一個例子來說明小波包分析在圖像壓縮中的應用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進行比較。load woman;nbc=size(map,1);%得到信號的閾值，保留層數(shù)，小波樹優(yōu)化標準thr,sorh,keepapp,crit=ddencmp(cmp,wp,X);%通過以上得到的參數(shù)對信號進行壓縮xd,treed,perf0,perfl2=wpdencmp(X,sorh,4,sym4,crit,thr*2,keepapp);colorma