高等數(shù)學(xué)習(xí)題：極限導(dǎo)數(shù)微分習(xí)題

1、極限與連續(xù)1、設(shè)，均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有（ D ）（A）對任意n成立； （B）對任意n成立；（C）極限不存在； （D）極限不存在。2、設(shè)數(shù)列單調(diào)增，單調(diào)減，且，則（ A ）（A）、均收斂 （B）收斂，發(fā)散（C）發(fā)散，收斂 （D）、均發(fā)散3、設(shè)，證明數(shù)列收斂，并求4、設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求此極限。 用歸納法證,進(jìn)一步證,再證5(1) (2)6、當(dāng)時，與是同階無窮小，則n= 4 。7、若時，與是等價無窮小，則= -4 。8.當(dāng)時，是同階無窮小，則= 3 。6、當(dāng)時，是比高階的無窮小,而是比高階的無窮小，則n= 2 (1,3) 。9設(shè)當(dāng)時,都是無窮小,則當(dāng)時,下列表達(dá)式中不一定為無窮小的是

2、(A) (A) (B) (C) (D)10、設(shè)在處連續(xù)，則 1 ， 2 。11、設(shè)在處連續(xù)，則= -2 。12、設(shè)，則在 0 處間斷，其類型是 第一類 間斷點。13、= （ D ）（A）2 （B）0 （C） （D）不存在但也不為14、設(shè)，則是的 C （A）連續(xù)點 （B）第一類（非可去）間斷點（C）可去間斷點 （D）第二類間斷點15、設(shè)函數(shù)，則（ D ）（A），都是的第一類間斷點； （B），都是的第二類間斷點；（C）是的第一類間斷點，是的第二類間斷點； （D）是的第二類間斷點，是的第一類間斷點。16函數(shù)的間斷點 是第 一 類間斷點.17、= 2 。18。 19、 20、極限= 。21、= 。22

3、、= 。23、討論函數(shù)的連續(xù)性,，并判定其間斷點的類型。導(dǎo)數(shù)定義1、設(shè)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù)( D )（A）在處左極限不存在 （B）有跳躍間斷點（C）在處左極限不存在 （D）有可去間斷點2、設(shè)，且在處連續(xù)， ，則 D （A） （B） （C）0 （D）不存在3、設(shè)=，則在內(nèi)（ C ）（A）處處可導(dǎo) （B）恰有一個不可導(dǎo)點（C）恰有兩個不可導(dǎo)點 （D）至少有三個不可導(dǎo)點4、設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是 。5、設(shè)函數(shù)，其中在處連續(xù)，則是在處可導(dǎo)的( A )（A）充分必要條件 （B）必要但非充分條件（C）充分但非必要條件 （D）既非充分也非必要條件6、設(shè)函數(shù)，且存在，試確定常數(shù)7

4、、設(shè)，則使存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n為( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）38、已知函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，則在處 D （A）不可導(dǎo) （B）可導(dǎo)且（C）取得極大值 （D）取得極小值9、設(shè)函數(shù)= （1）求的表達(dá)式；（2）討論的連續(xù)性和可導(dǎo)性。導(dǎo)數(shù)計算1、若，其中可導(dǎo)，則= 。2、設(shè)，其中可導(dǎo)，則= 。3、，求 4、設(shè)函數(shù)由方程所確定，則= 。5、設(shè)函數(shù)是由方程確定的隱函數(shù)，求6、設(shè)函數(shù)是由方程確定的隱函數(shù)，二階可導(dǎo),求7、設(shè)，求8、，求，9、設(shè)，則= 。10、設(shè)，當(dāng)時，= 或 。11。設(shè)求12、設(shè)，則 。13、已知，則= 。14、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線在處的法線與軸交點的橫坐標(biāo)是（ A

5、 ）（A） （B） （C） （D）15. 設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù),求曲線在點處的切線方程. 16、已知曲線的極坐標(biāo)方程是，求該曲線上對應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。 17、一飛機(jī)在離地面2km的高度，以200km/h的速度水平飛行到某目標(biāo)上空，以便進(jìn)行航空攝影。試求飛機(jī)飛到該目標(biāo)正上方時，攝影機(jī)轉(zhuǎn)動的角速度。 y 2km o x18、落在平靜水面上的石頭產(chǎn)生同心圓形波紋。若最外一圈半徑的增大率總是6m/s，問2秒末受到擾動的水面面積的增大率為多少？微分1、函數(shù)在點處可導(dǎo)，且，則當(dāng)時，是 B （A）與等價的無窮小 （B）與同階但非等價的無窮小 （C）比低階的無窮小 （D）比高階的無窮小

6、2、若，當(dāng)時，是關(guān)于的（ C ）。（A）高階無窮小 （B）低階無窮小 （C）同階無窮小 （D）等價無窮小3、設(shè)，則 。4、函數(shù)由確定，則 。5、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時，相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為0.1，則= ( D )（A）-1 （B）0.1 （C）1 （D）0.5中值定理1、設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，試證至少存在一個,使得2、設(shè)在上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：，使得5、已知函數(shù)在上連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，且,證明：（1）存在，使；（2）存在兩個不同的點，使(1)零點定理;(2)在,并利用(1)的結(jié)果6、設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo)，則(

7、 B )（A）當(dāng)時，必有（B）當(dāng)存在時，必有（C）當(dāng)時，必有（D）當(dāng)存在時，必有7、以下四個命題中，正確的是（ C ）（A）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界；（B）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界；（C）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界；（D）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界。8，則（ B ）（A）當(dāng)時，使；（B）對，有； （C）當(dāng)時，使；（D），使.9、函數(shù)在處的帶Lagrange余項的三階Talor公式為 。10、函數(shù)在處的帶Lagrange余項一階Talor公式為 。11、函數(shù)在處的三階帶拉格郎日余項的泰勒公式為 。12、的麥克勞林公式中項的系數(shù)是 。LHospital法則1、當(dāng)時，與為等價無窮小，則C= 。2、當(dāng)時，與是等價

8、無窮小，則 。3、設(shè)，則當(dāng)= 時，在處連續(xù)。4、 5、 6、 7、 8、 9、求 =導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)減少。2、方程在（）內(nèi)恰有 A （A）一個實根 （B）二個實根 （C）三個實根 （D）五個實根3、函數(shù)在（）內(nèi)的零點個數(shù)為 A （A） 0 （B）1 （C）2 （D）34、當(dāng)取下列哪個值時，函數(shù)恰有兩個不同的零點。（ B ）（A）2 （B）4 （C）6 （D）85、設(shè)對，有，且在內(nèi)，則在內(nèi)（ C ）。（A） （B）（C） （D）6、設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有（ C ）（A）一個極小值點和兩個極大值點； （B）兩個極小值點和一個極大值點；（C）兩個極小值點和兩個極大

9、值點； （D）三個極小值點和一個極大值點。 O 7.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)， 的圖形如圖所示，則導(dǎo) 函數(shù)的圖形為（ D ） （A） （B） （C） （D）8、設(shè)，下列命題中正確的是（ B ）（A）是極大值，是極小值； （B）是極小值，是極大值；（C）是極大值，也是極大值； （D）是極小值，也是極小值。9、求證：當(dāng)時，10、試證：當(dāng)時，11. 設(shè) ,求證 .12、試確定方程的根的個數(shù)，并指出每一根所在的范圍。13、試就的不同取值，討論方程的實根的個數(shù)。14、討論曲線與的交點個數(shù)。15.試證：（1）設(shè)，方程在時存在唯一的實根；（2）當(dāng)時，是無窮小量，且是與等價的無窮小量。16、在橢圓上求一點，使得它與另外兩點，構(gòu)成的三角形的面積最小。17、求曲線的切線，使切線與直線所圍成的圖形的面積最大。18、設(shè)某銀行中的總存款量與銀行付給儲戶年利率的平方成正比。若銀行以20%的年利率把總存款的90%貸出，問銀行給儲戶的年利率定為多少，它才能獲得最大利潤？19、設(shè)曲線 ，則該曲線 （A）沒有漸近線 （B）僅有水平漸近線（C）僅有垂直漸近線 （D）既有水平漸近線，又有垂直漸近線20、曲線的斜漸近線方程