(練習(xí))剛體轉(zhuǎn)動.ppt

1、定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題，大致有三種類型題。其解題基本步驟歸納為：首先分析各物體所受力和力矩情況，然后根據(jù)已知條件和所求物理量判斷應(yīng)選用的規(guī)律，最后列方程求解。 第一類：求剛體轉(zhuǎn)動某瞬間的角加速度，一般應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律求解。如質(zhì)點和剛體組成的系統(tǒng)，對質(zhì)點列牛頓運動方程，對剛體列轉(zhuǎn)動定律方程，再列角量和線量的關(guān)聯(lián)方程，并聯(lián)立求解。,解題指導(dǎo),第二類：求剛體與質(zhì)點的碰撞、打擊問題。把它們選作一個系統(tǒng)時，系統(tǒng)所受合外力矩常常等于零，所以系統(tǒng)角動量守恒。列方程時，注意系統(tǒng)始末狀態(tài)的總角動量中各項的正負(fù)。對在有心力場作用下繞力心轉(zhuǎn)動的質(zhì)點問題，可直接用角動量守恒定。 第三類：在剛體所受

2、的合外力矩不等于零時，比如木桿擺動，受重力矩作用，求最大擺角等一般應(yīng)用剛體的轉(zhuǎn)動動能定理求解。對于僅受保守力矩作用的剛體轉(zhuǎn)動問題，也可用機(jī)械能守恒定律求解。,另 外：實際問題中常常有多個復(fù)雜過程，要分成幾個階段進(jìn)行分析，分別列出方程，進(jìn)行求解。,一質(zhì)點m，速度為v，如圖所示，A、B、C 分別為三個參考點,此時m 相對三個點的距離分別為d1 、d2 、 d3,例1,求 此時刻質(zhì)點對三個參考點的動量矩,解,例2 哈雷慧星繞太陽運行時的軌道是一個橢圓，如圖所示，它距離太陽最近的距離是 , 速率 ；它離太陽最遠(yuǎn)時的速率 ，這時它離太陽的距離,解 彗星受太陽引力的作用，而引力通過了太陽，所以對太陽的力矩

3、為零，故彗星在運行的過程中角動量守恒. 于是有,代入數(shù)據(jù)可, 得,求 角及著陸滑行時的速度多大？,解,引力場（有心力）,質(zhì)點的動量矩守恒,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,例 3 發(fā)射一宇宙飛船去考察一 質(zhì)量為 M 、半徑為 R 的行星.當(dāng)飛船靜止于空間距行星中心 4 R 時，以速度v 0發(fā)射一質(zhì)量為 m 的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面,例4在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開始起動時，角速度為零起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為： ,式中 求：(1)t=6s 時電動機(jī)的轉(zhuǎn)速(2)起動后，電動機(jī)在 t=6s 時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(3)角加速度隨時間變化的規(guī)律,(2) 電動機(jī)在

4、6s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為,解 (1) 將 t=6s 代入,(3) 電動機(jī)轉(zhuǎn)動的角加速度為,例5在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動開始時，它的角速度 ，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1 轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？,解 令 ，即 ，積分,得,當(dāng) t=300s 時,由,得,在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù),解:設(shè)盤厚度為h,以盤軸心為圓心取半徑為r, 寬為dr的微圓環(huán),其質(zhì)量為,dm=dv,它對桌面的壓力為:,例6 半徑為R,質(zhì)量為m的均勻圓盤在水平桌面上繞中心軸轉(zhuǎn)動,盤與桌面間的摩擦系數(shù)為 ,求轉(zhuǎn)動中的摩擦力矩的大小.,與桌面間的摩擦力

5、為:,該摩擦力的力矩為:,整個圓盤的摩擦力矩為:,6-1. 關(guān)于剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，下列說法中正確的是: (A) 只取決于剛體的質(zhì)量，與質(zhì)量的空間分布和軸的位置無關(guān). (B) 取決于剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布，與軸的位置無關(guān). (C) 只取決于轉(zhuǎn)軸的位置，與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量的空間分布無關(guān). (D) 取決于剛體的質(zhì)量，質(zhì)量的空間分布和軸的位置.,6-2. 有兩個半徑相同,質(zhì)量相等的細(xì)圓環(huán)A和B,A環(huán)的質(zhì)量分布均勻, B環(huán)的質(zhì)量分布不均勻,它們對通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為JA和JB, 則 (A)JAJB. (B) JAJB. (C) JA=JB. (D) 不能確定JA、JB哪個大.,

6、6-3. 一圓盤饒過盤心且與盤面垂直的軸O以角速度按圖示方向轉(zhuǎn)動,若如圖所示的情況那樣,將兩個大小相等方向相反但不在同一條直線的力F沿盤面同時作用到圓盤上,則圓盤的角速度 :,必然增大. (B) 必然減少. (C) 不會改變. (D) 如何變化,不能確定.,6-4.剛體角動量守恒的充分而必要的條件是 剛體不受外力矩的作用. 剛體所受合外力矩為零. 剛體所受的合外力和合外力矩均為零. 剛體的轉(zhuǎn)動慣量和角速度均保持不變.,6-5. 有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺,可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動, 轉(zhuǎn)動慣量為J, 開始時轉(zhuǎn)臺以勻角速度 0轉(zhuǎn)動,此時有一質(zhì)量為m的人站住轉(zhuǎn)臺中心,隨后人沿半徑向外跑去,當(dāng)

7、人到達(dá)轉(zhuǎn)臺邊緣時, 轉(zhuǎn)臺的角速度為 :,(A) J 0/(J+mR2) . (B) J 0/(J+m)R2. (C) J 0/(mR2) . (D) 0.,6-6 均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動，如圖所示，今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺動到豎立位置的過程中,角速度 ，角加速度 .(填“從小到大”，“從大到小” 或“保持不變”),從小到大,從大到小,6-8 一個作定軸轉(zhuǎn)動的輪子,對軸的轉(zhuǎn)動慣量J = 2.0kg m2,正以角速度 0勻速轉(zhuǎn)動,現(xiàn)對輪子加一恒定的力矩M =7.0 m N,經(jīng)過時間t= 8.0s時輪子的角速度 = 0,則 0= .,6-7 如圖

8、所示，一勻質(zhì)細(xì)桿AB,長為l,質(zhì)量為m. A端掛在一光滑的固定水平軸上, 細(xì)桿可以在豎直平面內(nèi)自由擺動.桿從水平位置由靜止釋放開始下擺,當(dāng)下擺 時,桿的角速度為 .,6-9 一飛輪以角速度 0繞軸旋轉(zhuǎn), 飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1;另一靜止飛輪突然被同軸地嚙合到轉(zhuǎn)動的飛輪上,該飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量為前者的二倍,嚙合后整個系統(tǒng)的角速度 = .,6-10 如圖所示， 滑塊A、重物B和滑輪C的質(zhì)量分別為mA 、mB 和mC， 滑輪的半徑R， 滑輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=mCR 2/2滑塊A與桌面間、 滑輪與軸承之間均無摩擦,繩的質(zhì)量可不計, 繩與滑輪之間無相對滑動，滑塊A的加速度a= .,例7 質(zhì)量為 的物

9、體 A 靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質(zhì)量為 的圓柱形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為 的物體 B 上. 滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計. 問：（1） 兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？,解 （1）隔離物體分別對物體A、B 及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運用牛頓第二定律 、轉(zhuǎn)動定律列方程 .,第三節(jié) 轉(zhuǎn)動定律,令 ，得,棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O 的力矩。,重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。,解：,例3 一根長為l 質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以

10、在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 角時的角加速度和角速度。( ),重力力矩為：,例 一根長為 l ，質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)直棒，可繞軸 O 在豎直平 面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置,解,由動能定理,求 它由此下擺 角時的 ,此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解,例題2 一根質(zhì)量為m、長為 l 的均勻細(xì)棒OA （如圖），可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時其中點C和端點A的速度。,解 先對細(xì)棒OA 所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心點C，方向豎直下；軸和棒之間沒 有摩擦力，軸對棒作用的支承力 垂直于棒和 軸 的接觸 面且通過

11、O點，在棒的下擺過程中，此力 的方向和大小是隨時改變的。,在棒的下擺過程中，對轉(zhuǎn)軸O而言，支撐力N通 過O點，所以支撐力N的力矩等于零，重力G的力矩則 是變力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒轉(zhuǎn)過一極小的角位移d 時，重力矩所作的元功是,在使棒從水平位置下擺到豎直位置過程中，重力矩所作的功是,由此得,棒在水平位置時角速度0=0, 下擺到豎直位置時角速度=,由轉(zhuǎn)動動能定理得,所以細(xì)棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速度分別為,由此得,所以細(xì)棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速度分別為,例 7： 如圖一質(zhì)量為M 長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)量皆為m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿

12、垂直的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉(zhuǎn)到與水平方向成角時,桿的角速度是多少?,1. 研究對象:桿+球+地球=系統(tǒng),重力mg保守內(nèi)力; 彈力其功為零,2. 分析系統(tǒng)受力及力的功:,3. 取重力勢能零點:水平位置,4. 運動過程中系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒的條件:,解:,例8 一長為 l , 質(zhì)量為 的竿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動 . 一質(zhì)量為 、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支點為 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問子彈的初速率為多少 ?,解 把子彈和竿看作一個系統(tǒng) .子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒,射入竿后，以子彈、細(xì)桿和 地球為系統(tǒng) ，機(jī)械能守恒 .,第四節(jié) 角動量定理 角動量守恒定律,例 9:如

13、圖長為l 的均勻細(xì)棒,一端懸于o點,另一端自由下垂,緊靠o 點有一擺線長為l 的單擺,擺球質(zhì)量為m ,現(xiàn)將單擺拉到水平位置后,由靜止釋放,設(shè)擺球在其平衡位置與擺做彈性碰撞后擺 球恰好靜止,試求: 細(xì)棒的質(zhì)量M; 細(xì)棒碰撞后擺動的最大角度,(一)單擺下落過程(AB):,1.研究對象:擺 球+地球=系統(tǒng),重力mg保守力力; 繩的張力T其功為零,2.分析系統(tǒng)受力及力的功:,3.取零點勢能:B點,4. AB過程系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒條件:,(二)單擺與棒碰撞過程(在B點):,1. 研究對象:擺 球+棒+地球=系統(tǒng),2. 設(shè)轉(zhuǎn)軸正向垂直向里;,3. 因為系統(tǒng)做彈性碰撞,故碰撞過程機(jī)械能和角動量皆守恒,設(shè)棒碰

14、撞后的瞬時角速度為,例8:如圖長為 l ，質(zhì)量為 m的均勻直棒靜止在一光滑的水平面上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個質(zhì)量為m 的小球以水平速度 vo 射垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞。求碰撞后球的速度v和棒的角速度。,解:,定轉(zhuǎn)軸正向指上；,以子彈和桿為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒動能守恒。,8. 如圖所示，一根質(zhì)量為M 、長為2l 的均勻細(xì)棒，可以在豎直平面內(nèi)繞通過其中心的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，開始時細(xì)棒靜止于水平位置. 今有一質(zhì)量為m 的小球，以速度 垂直向下落到了棒的端點，設(shè)小球與棒的碰撞為完全彈性碰撞. 試求碰撞后小球的回跳速度 及棒繞軸轉(zhuǎn)動的角速度 .,解 分析可知,以棒和小球組成的系統(tǒng)的角

15、動量守恒.,由于碰撞前棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以碰撞前系統(tǒng)的角動量就是小球的角動量 ;,由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒獲得的角速度為 ，所以碰撞后系統(tǒng)的角動量為,由角動量守恒定律得,由題意知，碰撞是完全彈性碰撞，所以碰撞前后系統(tǒng)的動能守恒，即,聯(lián)立以上兩式，可得小球的速度為,棒的角速度為,要保證小球回跳 ，則必須保證 .,討論:,例1 質(zhì)點與質(zhì)量均勻的細(xì)棒相撞(如圖),解：過程1 質(zhì)點與細(xì)棒相碰撞 碰撞過程中系統(tǒng)對o 點 的合力矩為,設(shè)，完全非彈性碰撞,求：棒擺的最大角度,所以，系統(tǒng)對o點的角動量守恒。 即，,例3-11. 質(zhì)量為M、長為2l的均質(zhì)細(xì)棒，在豎直平面內(nèi)可繞中心軸轉(zhuǎn)動.開始棒處于水平位

16、置，一質(zhì)量為m的小球以速度u垂直落到棒的一端上.設(shè)碰撞為彈性碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度.,解：由系統(tǒng)角動量守恒,機(jī)械能守恒定律,解得,解法二,取向上為y正方向,設(shè)碰撞時間為t,由動量定理：,角動量原理：,消去t,由機(jī)械能守恒定律,解得,例11 一質(zhì)量為M長度為L的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開始時桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的橡皮泥以速度v 和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求: 1. 碰撞后系統(tǒng)的角速度；2. 碰撞后桿子能上擺的最大角度。,解：碰撞過程角動量守恒,上擺過程機(jī)械能守恒，得：,注意：橡皮泥和桿子的零勢點取得不同。,例2 已知：細(xì)棒如圖,求：任意位置

17、時，軸給細(xì)棒的作用力,解：設(shè)任意位置時，細(xì)棒角速度為,設(shè)軸給細(xì)棒的作用力為 Fn Ft,作細(xì)棒受力圖,(3),聯(lián)立得解,例10:如圖長為 L 的均勻直棒其質(zhì)量為M,上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質(zhì)量為m ,以水平速度vo 射入桿的懸點下距離為 d 處而不復(fù)出。,(1)子彈剛沖入桿中時桿的角速度為多大?,（2）子彈沖入桿的過程中(經(jīng)歷時間為t),桿的上端受軸的水平和豎直分力各多大?,(3)要想使桿不受軸水平力,則子彈應(yīng)在何處擊中桿?,解:,1. 定轉(zhuǎn)軸正向指外，建立直角坐標(biāo)系如圖；,2. 隔離物體分析力；,（1）子彈沖入桿的過程中，以子彈和桿為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒。,設(shè)子彈剛沖入桿中，子彈和桿共同的角速度為，則由角動量守恒定律可得,（2）子彈沖入桿的過程中，子彈受桿的阻力,桿受子彈的沖力:,對桿用質(zhì)心運動定律:,X方向:,桿受軸水平方向的分力:,Y方向:,桿受軸豎直方向的分力:,(3)當(dāng)桿不受軸水平方向的分力時:,例2 一個飛輪的質(zhì)量為69kg ，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。現(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。摩擦系數(shù)為0.46。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？（J = mR2 ）,解：飛輪制動時有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。,例3-7. 一半徑為R、質(zhì)量為m的均勻