第74講 幾何證明與計(jì)算(K字型的妙用)

1、第二輪復(fù)習(xí)第74講 幾何證明與計(jì)算（“K”字型的妙用） 三角形和四邊形作為初中幾何的核心知識(shí)，是近幾年重慶中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，試卷呈現(xiàn)的有關(guān)幾何題問題的計(jì)算、證明與探究，能較好地考察學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力，?？嫉闹R(shí)包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四邊形性質(zhì)與判定，線段中垂線、角平分線的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識(shí)，靈活地掌握輔助線的做法是解決這類問題的關(guān)鍵。學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 學(xué)會(huì)識(shí)別、構(gòu)造“K”字型，積累作輔助線的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)2. 經(jīng)歷識(shí)別、構(gòu)造基本圖形的過程，提高綜合分析問題的能力學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)用“K”字型的性質(zhì)解決問題學(xué)習(xí)難點(diǎn)： “K”字型的構(gòu)造學(xué)習(xí)過程：一、溫故知新觀察下列基本

2、圖形，你能得出什么結(jié)論？ABCDE（1）如圖，已知：點(diǎn)B、C、D在同一直線上，ACEC，ABBD，EDDB.追問1：這個(gè)圖形有什么特征？追問2：若AC=CE，若ACCE，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？ABCDE（2）如圖，已知：ABC=ACE=D，問：A、ECD 有何關(guān)系？（3）“K”字型呈現(xiàn)形式：二、自主練習(xí)：1如圖，等邊ABC的邊長為9，BD=3，ADE=60度，則AE長為 . 2如圖，F(xiàn)是正方形ABCD的邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BF的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)E，連接BE，F(xiàn)E，則EBF的度數(shù)是（ ）.A45 B50 C60 D不確定 三、經(jīng)典例題：例： 如圖，在中，過點(diǎn)C作AC的垂線CE，且CE=CA

3、，連接AE、BE. （1）若，求四邊形ABCE的面積； （2）若，求證.四、贏在中考：1小明課間把老師的三角板的直角頂點(diǎn)放在黑板的兩條平行線a、b上（如圖），已知2=35，則1的度數(shù)為（）.A55 B35 C45 D125 2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)在x軸上，對角線AC，BD交于點(diǎn)M，OM=，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 3正方形ABCD中，E是對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFCE交AB于點(diǎn)F若BF=2，BC=6，求FE的長. 五、感悟數(shù)學(xué)：六、課后作業(yè)：1 如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù) y = 的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù) y = 的圖象上，

4、且OAOB ，tanB= ，則k的值 2. 如圖，在中，點(diǎn)B在軸上，且，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，AB=3BC，雙曲線經(jīng)過A點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過C點(diǎn)，則的值為（ ） A12 B9 C6 D33如圖， 矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)C、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，再在其右側(cè)作正方形DEFG、FPQR（如圖所示），頂點(diǎn)F、R在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)E、Q在x軸的正半軸上，則點(diǎn)R的坐標(biāo)為 4已知：在ABCD中，AECD，垂足為E，點(diǎn)M為AE上一點(diǎn)，且ME=AB，AM=CE，連接CM并延長交AD于點(diǎn)F（1）若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求證：ABC是等腰三角形（2）求證：AFM=3BCF德中命制人

5、：鄧宏書 審稿人：劉加勇 “K”字型的妙用參考答案二、自主練習(xí)：17 2. 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何圖形問題【分析】過E作HIBC，分別交AB、CD于點(diǎn)H、I，證明RtBHERtEIF，可得IEF+HEB=90，再根據(jù)BE=EF即可解題【解答】解：如圖所示，過E作HIBC，分別交AB、CD于點(diǎn)H、I，則BHE=EIF=90，E是BF的垂直平分線EM上的點(diǎn)，EF=EB，E是BCD角平分線上一點(diǎn)，E到BC和CD的距離相等，即BH=EI，RtBHE和RtEIF中，RtBHERtEIF（HL），HBE=IEF，HBE+HEB=90，IEF+HEB=90，B

6、EF=90，BE=EF，EBF=EFB=45故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形角平分線和對角線重合的性質(zhì)，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)三、經(jīng)典例題：【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）易求得AC的長，即可求得BC，AC的長，根據(jù)四邊形ABCE的面積=SABC+SACE即可解題；（2）作EDAB，EFBC延長線于F點(diǎn)，易證BAC=ECF，即可證明ABCCFE，可得EF=BC，再根據(jù)等腰三角形底邊三線合一即可求得AD=BD，即可解題【解答】解：（1）ACCE，CE=CA，AC=CE=AE=，tanBAC

7、=，BAC=30，BC=AC=，AB=BC=，四邊形ABCE的面積=SABC+SACE=ABBC+ACCE=+=+1；（2）作EDAB，EFBC延長線于F點(diǎn)，則四邊形BDEF為矩形，EF=BD，ACB+ECF=90，ACB+BAC=90，BAC=ECF，在ABC和CFE中，ABCCFE，（AAS）EF=BC，ABE中，AE=BE，EDAB，AD=BD，AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，即AB=2BC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性質(zhì)，本題中求證ABCCFE是解題的關(guān)鍵四、贏在中考：1.【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；余角和補(bǔ)角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)ACB=90，2=3

8、5求出3的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出1=3，代入即可得出答案【解答】解：ACB=90，2=35，3=1809035=55，ab，1=3=55故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義，解此題的關(guān)鍵是求出3的度數(shù)和得出1=3，題目比較典型，難度適中2. 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】過點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作MFx軸于點(diǎn)F，MPy軸，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出MB=MA，可證明AMPBMF，就可以得出PM=MF，就可以證明四邊形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出OF的值，再由AOBPBECF，從而得出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)【

9、解答】解：過點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)M作MFx軸于點(diǎn)F，連結(jié)EM，MFO=CEO=AOB=APM=90，四邊形POFM是矩形，PMF=90，四邊形ABCD是正方形，PABC=AMB=90，AM=BM，OAB=EBC，AMP=BMF，AMPBMF（AAS），PM=FM，PA=BF，四邊形POFM是正方形，OP=OF=3 ，A（0，2），OA=2，AP=BF=3-2=1，OB=3+1=4，在AOB和BEC中，AOBBEC（AAS），OB=CE=4 ，AO=BE=2OE=4+2=6，C（6，4）故答案為：（6，4）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行線等分線段定

10、理的運(yùn)用，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求證四邊形POFM是正方形是關(guān)鍵3. 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】連接CF，由正方形的性質(zhì)得出B=90，再由EFCE，證得MEFNCE，得出CEF為等腰直角三角形，求得EF=CF，再由勾股定理求得CF即可【解答】解：連接CF,過點(diǎn)E作MNAD，交邊AB于點(diǎn)M，邊CD于點(diǎn)N.如圖所示：四邊形ABCD為正方形，可得四邊形AMND為矩形，MN=AD=CDDNE=90，BDC=45，DN=ENME=CNEFCE，CEF=90，MEF=ECN且FME=ENC=90MEFNCE（ASA），EF=CECEF為等腰直角三角形，EF=

11、CF，由勾股定理得：CF=2，EF=2=2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)與判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵六、課后作業(yè)：1. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得，根據(jù)tanB=，可得，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案【解答】解：作ADx軸于點(diǎn)D，作BCx軸于點(diǎn)C，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)是（x，y），C=D=90AOB=90，BOC+AOD=90，AOD+OAD=90，BOC=OAD，又D=C，OADBOC，tanB=，y=AD=OC，x=O

12、D=BC，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上，xy=OCBC=2，k=OCBC=23=6，故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式2.【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】過點(diǎn)A作AEx軸于E，過點(diǎn)C作CFx軸于F，由A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，且在雙曲線y=上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到線段的長度，利用三角形相似得到點(diǎn)的坐標(biāo)，列方程求解【解答】解：過點(diǎn)A作AEx軸于E，過點(diǎn)C作CFx軸于F，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，且在雙曲線y=上，A（2，2m），ABC=90，ABC+CBF=ABC+BAC=90，ABC=FCB

13、，ABEBCF，=3，CF=1，BF=，C（1，1），雙曲線y=經(jīng)過C點(diǎn)，1=m，m=3，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的判定和性質(zhì)，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，構(gòu)造直角三角形3. 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】綜合題【分析】過D作DMx軸，F(xiàn)Nx軸，RIFN，RHx軸，由ABCD為矩形，利用對稱性得三角形OBC為等腰直角三角形，繼而得到三角形CDM為等腰直角三角形，即兩三角形相似，且相似比為1：2，設(shè)OB=OC=a，則有CM=DM=2a，表示出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出a的值，確定出D坐標(biāo)，得出DM與OM長，利用AAS得到三角

14、形DME與三角形EFN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到ME=FN，DM=EN，設(shè)F縱坐標(biāo)為b，代入反比例解析式得到橫坐標(biāo)為，由OM+ME+EN表示出ON，即為橫坐標(biāo)，列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出F坐標(biāo)，得到ON，F(xiàn)N的長，同理得到三角形RFI與三角形RQH全等，設(shè)R縱坐標(biāo)為c，由ON+NH表示出橫坐標(biāo)，將R坐標(biāo)代入反比例解析式求出c的值，即可確定出R坐標(biāo)【解答】解：過D作DMx軸，F(xiàn)Nx軸，RIFN，RHx軸，ABCD為矩形，A與D在反比例圖象上，且AB=2BC，BCD=90，OBC=OCB=45，MCD=MDC=45，BOCCMD，且相似比為1：2，設(shè)OC=OB=a，則

15、CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a，D（3a，2a），將D坐標(biāo)代入反比例y=中得：6a2=6，即a2=1，解得：a=1（負(fù)值舍去），DM=2，OM=3，DEFG為正方形，DE=EF，DEF=90，MDE+MED=90，MED+NEF=90，MDE=NEF，在DME和ENF中，DMEENF（AAS），DM=EN=2，F(xiàn)N=ME，設(shè)F（，b），則FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2，可得5+b=，即b2+5b6=0，即（b+6）（b1）=0，解得：b=1或b=6（舍去），F(xiàn)（6，1），即ON=6，F(xiàn)N=1，同理RFIRQH，設(shè)RH=RI=NH=c，即R（6+c，c），將R坐標(biāo)代入y=中得：c（6+c）=6，即c2+6c+9=（c+3）2=15，解得：c=3+或c=3（舍去），則R（3+，3+）故答案為：（3+，3+）【點(diǎn)評(píng)】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了方程的思想，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵4. 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題【分析】（1）易證ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根據(jù)