第九章 二重積分習(xí)題課PPT課件.ppt

1、,習(xí)題課,第九章 二重積分,1,一 基本要求 1. 正確理解 二重積分 2. 了解二重積分的性質(zhì)。 3. 熟練掌握二重積分的計(jì)算方法。 (1)直角坐標(biāo)系下 (2) 極坐標(biāo)系下 (4)問(wèn)題與注意 5 會(huì)用二重積分計(jì)算曲面的面積、立體的體積； 以及平面薄片的質(zhì)量； 二 典型例題 1. 積分換序 2. 選擇坐標(biāo)系,確定積分限 三 課堂練習(xí) 1. 填空 2. 選擇 3. 計(jì)算,第六章 重積分,2,.,.,.,幾何意義：,當(dāng) f (x,y) 0時(shí)，,(1),(1)式表示：,一 基本要求,特殊情況：,若在域 D上,f (x,y) 1,= 域 D 的面積.,存在定理：,定義：,x0y平面上的域D為底的曲頂柱

2、體的體積。,以 z = f (x,y)為曲頂,.,1. 二重積分的定義,3,2. 二重積分的性質(zhì),比較定理:,設(shè) f(x,y), g(x,y) 在有界閉域 D 上可積 :,估值定理:,中值定理:,若在域 D上， f (x,y) g(x,y),s 是,D 的面積，,則點(diǎn)( , )D,除了一般性質(zhì)，,特別要了解比較定理、,估值定理、,中值定理這三個(gè)性質(zhì)。,設(shè) M, m為 f (x,y) 在 D上的最大值和最小值，,設(shè) f (x,y) 在有界閉域 D 上連續(xù)，,4,3. 二重積分的計(jì)算,問(wèn)題：,計(jì)算方法：,化二重積分為二次積分.,(1)根據(jù)什么選擇坐標(biāo)系？,根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)。,(2)根據(jù)

3、什么選擇積分次序？,根據(jù)積分區(qū)域 D 的邊界的特點(diǎn)：,原則：分塊盡可能少，并且積分上、下限簡(jiǎn)單； 容易根據(jù)第一次積分結(jié)果計(jì)算第二次積分。,注意：,(1)無(wú)論在什么坐標(biāo)系下，,轉(zhuǎn)化成二次積分計(jì)算時(shí)，,積分的下限要小于積分的上限。,(2)靈活運(yùn)用二重積分的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。,(3)善于利用被積函數(shù)在對(duì)稱(chēng)積分區(qū)域上的奇偶性 簡(jiǎn)化計(jì)算。具體如下：,5,二、重積分計(jì)算的基本技巧,分塊積分法,利用對(duì)稱(chēng)性,1. 交換積分順序的方法,2. 利用對(duì)稱(chēng)性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3. 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào),4. 利用重積分換元公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,6,典型例題 1. 積分換序,例 1,計(jì)算,.,此

4、題必須換序。 因?yàn)樵瘮?shù)不能用初等函數(shù)表示。,換序：,.,2. 選擇合適的坐標(biāo)系積分,例 2,計(jì)算,極坐標(biāo)系,解：,7,(1)若積分區(qū)域D關(guān)于x 軸,而 f (x,y)是 y 的奇(偶)函數(shù)，,則,0,當(dāng) f (x, y)= f (x,y),當(dāng) f (x, y)= f (x,y),其中D1是D在上半平面的部分.,.,(2)若積分區(qū)域D關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，,而 f (x,y)是x的奇(偶)函數(shù)，,則,0,當(dāng) f (x, y)= f (x,y),當(dāng) f (x,y)= f (x,y),其中D2是D在右半平面的部分.,.,.,(3)若D分別關(guān)于x 軸、y軸對(duì)稱(chēng)，,而 f (x,y)關(guān)于x,y同時(shí)為偶函數(shù)，

5、,則,當(dāng) f (x,y)= f (x,y) 且f (x,y)= f (x,y),其中D3是D在第一象限的部分.,對(duì)稱(chēng)，,*證明,舉例如下,8,例 3,例 4,由對(duì)稱(chēng)性，,設(shè) D1是D在第一象限的部分.,.,D,因積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)；,被積函數(shù),是 y 的奇函數(shù) ,.,.,x =1,9,例5. 計(jì)算二重積分,其中:,(1) D為圓域,(2) D由直線,解: (1) 利用對(duì)稱(chēng)性.,圍成 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,10,(2) 積分域如圖:,將D 分為,添加輔助線,利用對(duì)稱(chēng)性 , 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,11,例6. 計(jì)算二重積分,其中D 是由曲,所圍成的平

6、面域 .,解:,其形心坐標(biāo)為:,面積為:,積分區(qū)域,線,形心坐標(biāo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,12,例7. 計(jì)算二重積分,在第一象限部分.,解: (1),兩部分, 則,其中D 為圓域,把與D 分成,作輔助線,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,13,(2) 提示:,兩部分,說(shuō)明: 若不用對(duì)稱(chēng)性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).,作輔助線,將D 分成,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,14,(1)計(jì)算,其中D分別為:,o,y,a,o,x,y,a,a,D1,D2,o,x,y,2a,D,a,a,2a,D,(a,a),（積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，xy2是x的奇函數(shù)）,I =,（ D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，x

7、y2是y的偶函數(shù)）,.,（ 選什么系？）,(選什么系?),.,.,.,三 課堂練習(xí) 1.填空,0,I =,I =,I =,（ 選極坐標(biāo)系）,(先對(duì) 哪個(gè)變量積分?),(直角系),(先對(duì)x),.,15,8,.,.,1(2),16,2.選擇,(1),則下列關(guān)系式成立的是：,(A) I1 I2,(B) I1 I2,(C) I1 I2,(D) I1 I2,答:（ ）,(2),則 I 滿足（ ）.,(A),(B),(C),(D),(3),(A),(B),(C),(D),1,D,A,B,17,3.計(jì)算,(1),(2),(3),18,謝 謝 使 用,返回首頁(yè),習(xí)題課,.,19,證明：,(1)若積分區(qū)域D關(guān)于

8、x軸對(duì)稱(chēng)，,而 f (x,y)是y的奇(偶)函數(shù)，,則,0,當(dāng) f (x, y)= f (x,y),當(dāng) f (x, y)= f (x,y),其中D1是D在上半平面的部分.,設(shè) D = D1 + D2,其中D2是D在下半平面的部分.,D2,D1,a,b,x0,(x0),(x0),因?yàn)橛駾關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，,取定x=x0時(shí)，,相應(yīng)的D的,邊界上的點(diǎn)必互為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。,縱坐標(biāo)滿足：,原式右邊,定積分性質(zhì),證畢.,20,設(shè)D是矩形域： x , 1 y 1 .則,8,（D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，siny是y的奇函數(shù).）,.,解：,1(2),證畢.,21,則在極坐標(biāo)下的二次積分為,.,圖形,2,y = x,D,1,1,x =2,.,.,.,曲邊扇形,解：,即得答案.,(3),證畢.,22,交換二次積分的積分順序：,.,解：,1,2,1,x+y =1,D,答案,.,.,(4),證畢.,.,23,解：,.,.,(5),洛必達(dá)法則,證畢.,24,用二重積分估值定理,區(qū)域D圖形:,區(qū)域D面積 : s =2,解答(2),.,25,解答(3),.,26,解答:,3.計(jì)算 (1),而且必為一個(gè)常數(shù)。,只須求A.,將上式兩端在 D 上作二重積分:,A =,因?yàn)?f (x,y) 連續(xù)，,.,.,27,解答:,3 (2),