定積分的幾何應(yīng)用 (2)ppt課件

1、二、平面圖形的面積,三、體積,6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,四、平面曲線的弧長(zhǎng),一、元素法,回顧,曲邊梯形求面積的問(wèn)題,一、元素法,面積表示為定積分的步驟如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求極限，得A的精確值,提示,微元法的一般步驟：,這個(gè)方法通常叫做元素法,應(yīng)用方向：,平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等,f上(x) f下(x)dx, 它也就是面積元素.,二、平面圖形的面積,設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成.,因此平面圖形的面積為,在點(diǎn)x處面積增量的近似值為,1.直角坐標(biāo)情形,討論： 由左右兩條曲線xj左(

2、y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？,提示：,面積為,面積元素為j右(y)j左(y)dy,例1 計(jì)算拋物線y2x與yx2所圍成的圖形的面積.,解,(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:,(4)計(jì)算積分,0, 1;,(1)畫圖;,例2 計(jì)算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積.,(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:,(4)計(jì)算積分,(3)確定左右曲線:,-2, 4.,解,(1)畫圖;,例3,因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為 xacost, ybsint,所以,解,橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.,于是,ydx,橢圓在第一象限部分的面積元素為,曲邊扇形,曲邊扇形的

3、面積元素,曲邊扇形是由曲線()及射線, 所圍成的圖形.,曲邊扇形的面積,2.極坐標(biāo)情形,例4 計(jì)算阿基米德螺線a (a0)上相應(yīng)于從0變到2 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.,解,例5 計(jì)算心形線a(1cos)(a0)所 圍成的圖形的面積.,解,曲邊扇形的面積：,三、體積,旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.,1.旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.,1.旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積元素 考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,用圓柱體的體積f(x)2dx作為切

4、片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積,于是體積元素為 dVf(x)2dx.,例6 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h, r)的直線、直線xh及x軸圍成一個(gè)直角三角形. 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體. 計(jì)算這圓錐體的體積.,旋轉(zhuǎn)體的體積：,解,解,軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.,旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為,旋轉(zhuǎn)體的體積：,設(shè)立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b, 立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).,立體的體積元素為,立體的體積為,2.平行截面面積為已知的立體的體積,A(x)dx.,截面面積為A(x)的立體體積：,例9 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角. 計(jì)算這平面截圓柱所得立

5、體的體積.,建立坐標(biāo)系如圖, 則底圓的方程為x2y2R2.,所求立體的體積為,解,立體中過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面為直角三角形, 其面積為,四、平面曲線的弧長(zhǎng),設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程 yf(x) (axb) 給出, 其中f(x)在區(qū)間a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度.,在曲率一節(jié)中, 我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為,這也就是弧長(zhǎng)元素.,因此, 曲線弧的長(zhǎng)度為,直角坐標(biāo)情形,因此, 所求弧長(zhǎng)為,解,曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)：,設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出, 其中(t)、(t)在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,于是曲線弧的長(zhǎng)為,曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)：,參數(shù)方程情形,曲線x(t)、y(t)(t)的弧長(zhǎng)：,例12 求擺線xa(qsinq), ya(1cosq)的一拱(02 )的長(zhǎng)度.,解,于是所求弧長(zhǎng)為,曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)：,弧長(zhǎng)元素為,微元法的提出、思想、步驟.,（注意微元法的本質(zhì)）,求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.,（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）,五、小結(jié),旋轉(zhuǎn)體的體積