三角函數(shù)的兩角和與差[59頁]

1、第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣填一填 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式: C(-):cos(-)=_. C(+):cos(+)=_. S(+):sin(+)=_. S(-):sin(-)=_.,coscos+sinsin,coscos-sinsin,sincos+cossin,sincos-cossin,T(+):tan(+)=_(,+ +k,kZ). T(-):tan(-)=_(,- +k,kZ).,(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2:sin2=_. C2:cos2=_=_=_. T2:tan2=_( +k,且k+ ,kZ).,2

2、sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,2.必備結(jié)論 教材提煉記一記 (1)降冪公式:cos2= ,sin2= (2)升冪公式:1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2. (3)公式變形:tantan=tan()(1tantan). 3.必用技法 核心總結(jié)看一看 (1)常用方法:整體代入法,配湊法. (2)數(shù)學思想:轉(zhuǎn)化化歸思想.,(3)記憶口訣: 余余正正符號異, 正余余正符號同, 二倍角,數(shù)余弦, 找聯(lián)系,抓特點, 牢記憶,用不難.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考判一判 (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.() (2)存在實數(shù),使等式

3、sin(+)=sin+sin成立.() (3)公式tan(+)= 可以變形為tan+tan= tan(+)(1-tantan),且對任意角,都成立.() (4)存在實數(shù),使tan 2=2tan.(),【解析】(1)正確.對于任意的實數(shù),兩角和與差的正弦、余弦公式都成立. (2)正確.如取=0,因為sin0=0, 所以sin(+0)=sin=sin+sin0. (3)錯誤.變形可以,但不是對任意角,都成立. ,+k+ ,kZ. (4)正確.當=k(kZ)時,tan 2=2tan. 答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改編 鏈接教材練一練 (1)(必修4人教AP130例4T(1)改編)sin1

4、08cos42-cos72sin42=. 【解析】原式=sin(180-72)cos42-cos72sin42 =sin72cos42-cos72sin42 =sin(72-42)=sin30= . 答案:,(2)(必修4人教AP137A組T5改編)已知 則cos =_.,【解析】因為 答案：,3.真題小試 感悟考題試一試 (1)(2014上海高考)函數(shù)y=1-2cos2(2x)的最小正周期是. 【解析】y=-2cos2(2x)-1=-cos4x, 所以函數(shù)的最小正周期T= . 答案:,(2)(2014新課標全國卷)函數(shù)f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+) 的最大值為. 【解析】

5、因為f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+) =sin(x+)cos+cos(x+)sin-2sincos(x+) =sin(x+)cos-cos(x+)sin =sinx1.所以f(x)max=1. 答案:1,考點1 化簡與計算 【典例1】(1)(2015合肥模擬)cos(+)cos+ sin(+)sin=() A.sin(+2)B.sinC.cos(+2)D.cos (2)計算tan25+tan35+ tan25tan35=. (3) 的化簡結(jié)果是.,【解題提示】(1)逆用兩角差的余弦公式化簡. (2)觀察式子的特點,逆用兩角和的正切公式計算. (3)應(yīng)用二倍角的正、余弦公式化簡

6、.,【規(guī)范解答】(1)選D.cos(+)cos+sin(+)sin =cos(+)-=cos. (2)因為tan(25+35)= 所以tan25+tan35=tan60(1-tan25tan35) = - tan25tan35, 所以tan25+tan35+ tan25tan35 = - tan25tan35+ tan25tan35= . 答案:,(3)原式= =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|, 因為 所以cos 40,且sin 4cos 4, 所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 答案:-2sin 4,【易錯警示】解答本例(3)有三點容易出

7、錯: (1)想不到應(yīng)用二倍角公式,不能把根號下的式子化為完全平方式. (2)把4與4弧度混淆,導致開方出錯. (3)忽略討論cos4的符號及sin4與cos4的大小而直接開方導致出錯.,【互動探究】對于本例(2),試化簡tan+tan(60-)+ tantan(60-). 【解析】因為tan+(60-)= 所以tan+tan(60-) =tan601-tantan(60-) = - tantan(60-), 故原式= - tantan(60-)+ tantan(60-) = .,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式化簡的要求 (1)能求出值的應(yīng)求出值. (2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少. (3)盡量使項數(shù)最少

8、. (4)盡量使分母不含三角函數(shù). (5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).,2.特殊角的三角函數(shù)值的逆用 當式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時,往往就是“由值變角”的一種提示.可以根據(jù)問題的需要,將常用三角函數(shù)式表示出來,構(gòu)成適合公式的形式,從而達到化簡的目的.,【變式訓練】1.化簡sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-) =. 【解析】原式=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-) =sin(+)+(-) =sin(+). 答案:sin(+),2.(2015西寧模擬)計算: =. 【解析】 =tan(45-15)=tan30= . 答案:,【加固訓練】1.化簡 的結(jié)果是(

9、) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】選C.原式=,2.化簡： =_. 【解析】 答案：,3.計算 =_. 【解析】因為tan(20+40)= 所以tan 20+tan 40= (1-tan 20tan 40), 所以原式= 答案：-,考點2 三角函數(shù)求值 【典例2】(1)(2015臨沂模擬)計算 的值為() (2)計算:4sin40-tan40=. (3)(2015成都模擬)計算cos40(1+ tan10)=.,【解題提示】(1)利用誘導公式化大角為小角,然后逆用二倍角公式求值. (2)切化弦,通分化簡求值. (3)切化弦,通分,注意逆用兩角和

10、與差的三角函數(shù)公式.,【規(guī)范解答】(1)選A.原式=,答案：1,【一題多解】解答本例(2)，你還有其他解法嗎？ 解答本例(2)還可有如下解法： 原式=4sin 40- 答案：,【規(guī)律方法】給角求值問題的三個變換技巧 (1)變角:分析角之間的差異,巧用誘導公式把大角統(tǒng)一到小角上來,或把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和. (2)變名:盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱,?；覟榍? (3)變式:觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡. 提醒:“變式”時常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.,【變式訓練】(2015南寧模擬)計算： =_. 【解析】 答案：2,【

11、加固訓練】1.(2015昆明模擬)計算： =( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 【解析】選D.,2.(2015三明模擬)計算： _,【解析】原式 答案：,考點3 三角函數(shù)的條件求值 知考情 利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱點,常與平面向量的知識相結(jié)合,題型是三種類型都有,但近幾年常以解答題的形式出現(xiàn).,明角度 命題角度1:與平面向量相結(jié)合的條件求值 【典例3】(2014陜西高考改編)設(shè)0 ,向量a=(sin2, cos),b=(1,-cos),若ab=0,則sin2+cos2=. 【解題提示】先由向量的運算得到sin與cos的關(guān)系,再由此關(guān)系式確定方向,求sin

12、2+cos2的值.,【規(guī)范解答】因為ab=0,所以sin2-cos2=0,即2sincos =cos2.因為(0, ),所以2sin=cos,即tan= , 所以sin2+cos2= 答案:,命題角度2：三角函數(shù)的給值求值 【典例4】(2014江蘇高考)已知( ,),sin = (1)求sin( +)的值. (2)求cos( -2)的值. 【解題提示】(1)先由條件求cos 的值，再求sin( +)的值. (2)由sin ,cos 的值，先求sin 2,cos 2的值,再求 cos( -2)的值.,【規(guī)范解答】(1)由題意cos = 所以sin( +)=sin cos +cos sin ,命題

13、角度3：和函數(shù)相結(jié)合的條件求值 【典例5】(2014廣東高考)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+ )，xR， 且 (1)求A的值. (2)若f()+f()= ,(0, )，求f( ). 【解題提示】(1)屬于給角求值問題，把 代入解析式求得A. (2)利用兩角和與差的正弦和誘導公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.,【解析】(1)由 (2)f()+f()=,悟技法 1.與向量有關(guān)的求值問題的解法 三角函數(shù)的求值問題常與向量的坐標運算有關(guān)聯(lián),這類問題需要先用向量公式進行運算后,再用三角公式進行化簡和求值. 2.給值求值問題的解法 已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子,再觀察已知條件與所求值的式子之間的

14、聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手),最后將已知條件及其變形代入所求式子,化簡求值.,3.和三角函數(shù)相結(jié)合的條件求值的解法 該類問題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡函數(shù)解析式,然后把已知條件代入函數(shù)解析式化簡并求相關(guān)的值,變形成要求的式子并代入前面所求的值計算.,通一類 1.(2013江西高考改編)若 則cos2=. 【解析】因為 所以cos= cos2=2cos2-1= 答案:-,2.(2015大同模擬)已知向量a=(4,5cos),b=(3,-4tan). 若ab,且(0, ),則cos(2- )=.,【解析】因為ab，所以ab0， 即12-20cos tan 0，所以12-20sin 0，即s

15、in 因為(0， )，所以cos 所以sin 22sin cos ，cos 21-2sin2 所以cos(2- )cos 2cos +sin 2sin 答案：,3.(2014四川高考改編)已知函數(shù)f(x)=sin(3x+ ).若是第二象 限角，f( )= cos(+ )cos 2，求cos -sin 的值.,【解析】由已知，有sin(+ )= cos(+ )cos 2, 所以sin cos +cos sin = (cos cos -sin sin )(cos2-sin2), 即sin +cos = (cos -sin )2(cos +sin ). 當sin +cos =0時，由是第二象限角， 知=2k+ (kZ), 此時cos -sin =cos -sin =- .,當sin +cos 0時，有(cos -sin )2= ，由是第二象 限角，知cos -sin 0，此時cos -sin =- 綜上，cos -sin =- 或cos -sin =-,自我糾錯10 條件求值問題 【典例】(2015南京模擬)已知sin（x- ）= ,x(,2)， 則 =_.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:解題