高中數(shù)學(xué) 1.1.1 集合的含義與表示素材 新人教A版必修

1、1.1.1集合的含義與表示其他版本的例題與習(xí)題1.(人教實(shí)驗(yàn)B版)用描述法表示下列集合:(1)-1,1;(2)大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合；（3)在平面內(nèi)，線段AB的垂直平分線.解：（1)這個(gè)集合的一個(gè)特征性質(zhì)可以描述為絕對(duì)值等于1的實(shí)數(shù)，即x=1.于是這個(gè)集合可以表示為x|x|=1.（2)這個(gè)集合的一個(gè)特征性質(zhì)可以描述為x3,且x=2n,nN.于是這個(gè)集合可以表示為x|x3，且x=2n,nN.(3)設(shè)點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線上任一點(diǎn)，點(diǎn)P和線段AB都在平面內(nèi)，則這個(gè)集合的特征性質(zhì)可以描述為PA=PB.于是這個(gè)集合可以表示為點(diǎn)P平面PA=PB.2.(北師大版)用列舉法表示下列集合：（1)由大于

2、3小于10的整數(shù)組成的集合；（2)方程-9=0的解的集合.解：（1)由大于3小于10的整數(shù)組成的集合用列舉法可表示為4,5,6,7,8,9;(2)方程-9=0的解的集合用列舉法可表示為-3,3.3.(北師大版)用描述法表示下列集合：（1)小于10的所有有理數(shù)組成的集合；（2)所有偶數(shù)組成的集合.解：（1)小于10的所有有理數(shù)組成的集合用描述法可表示為xQx10;(2)偶數(shù)是能被2整除的數(shù)，可以寫(xiě)成x=2n(nZ)的形式，因此，偶數(shù)的集合用描述法可表示為x|x=2n,nZ.4.（北師大版)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?)小于20的素?cái)?shù)組成的集合；（2)方程-4=0的解的集合；（3)由大于3小于9

3、的實(shí)數(shù)組成的集合；（4)所有奇數(shù)組成的集合.解：（1)2,3,5,7,11,13,17,19；（2)2,2；（3)x|3x0的所有解組成的集合；（2)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)P的集合；（3)方程組的解集；（4)拋物線2x3上的點(diǎn)的集合；（5)1,4,7,10,13；（6)-2,-4,-6,-8,-10,-12.思路分析：集合的元素可以是實(shí)數(shù)也可以是幾何圖形,特別是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)是與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)一一對(duì)應(yīng)的,在用描述法表示集合時(shí),要“先定元,再定性”.解：(1)x|x20；(2)P|PO|=r(O是定點(diǎn),r是定長(zhǎng))；(3) ；(4)(x,y)|2x3；(5)x|x=3n2,n5；(6

4、)x|x=2n,n6.2.已知集合A=x|+2x+1=0,aR:（1)若A中只有一個(gè)元素，求a的值；（2)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍；（3)若A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍.解：（1)當(dāng)a=0時(shí)，原方程變?yōu)?x+1=0，此時(shí)x=，符合題意；當(dāng)a0時(shí)，方程+2x+1=0為一元二次方程，=44a=0即a=1時(shí)，原方程的解為x=1，符合題意.所以a=0或a=1時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素.（2)若A中至多有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)元素或A中沒(méi)有元素.當(dāng)A中沒(méi)有元素時(shí)，解得a1；當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，a=0或解得a=0或a=1.故當(dāng)a=0或a1時(shí)，A中至多有一個(gè)元素.（3)若A中至少有一個(gè)元素

5、，即A中有一個(gè)或兩個(gè)元素.當(dāng)A中有兩個(gè)元素時(shí),由解得a1且a0;當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，a=0或解得a=0或a=1.故當(dāng)a1時(shí)，A中至少有一個(gè)元素.3.集合A=x|x=2k,kZ,B=x|x=2k+1,kZ,C=x|x=4k+1,kZ.又aA,bB,求a+b與集合A,B,C之間的關(guān)系.解：由aA,bB,設(shè)a=2k,kZ；+1，Z.則)+1,且Z, a+bA,a+bB,a+bC. ax+b(a,bR),A=x|yx=0,xR,B=x|yax=0,xR,若3A，1A，試用列舉法表示集合B.解：集合A=x|yx=0,xR，即為方程yx=0的解集；集合B是方程yax=0的解集.因?yàn)?A,1A，所以3,1

6、是方程axx+b=0的兩個(gè)根，故a+1=3+1=2,b=(3)1=3，y+4x3=0，解得它的兩個(gè)根是-2-,-2+.故B=-2-,-2+.5.由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A滿足條件：若aA，a1，則A.（1)若2A，求集合A；（2)證明：非空集合A中至少有三個(gè)不同元素.（1)解： aA，a1，則A， 當(dāng)2A時(shí)，有=1A；由11，有=A；由1，有=2A.如此循環(huán)可知集合A中共有三個(gè)元素1，2， A=1,2.（2)證明： 集合A非空，故存在aA，a1，有A且1，即a0時(shí)，有=A，于是A且1，即a1a時(shí)，有=aA，即如此循環(huán)出現(xiàn)三個(gè)數(shù)a，A.若a=，則方程a+1=0無(wú)實(shí)根；若=，則方程a+1=0無(wú)實(shí)根；若a=

7、，則方程a+1=0無(wú)實(shí)根. a，A且互不相等，故集合A中至少有三個(gè)不同元素.課外拓展康托與集合論(北師大版)翻開(kāi)高中數(shù)學(xué)課本，首先映入眼簾的數(shù)學(xué)概念是集合.研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中稱為集合論.它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個(gè)極其獨(dú)特的地位，而且其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域.如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無(wú)比輝煌的大廈，那么可以說(shuō)集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石.其創(chuàng)始人康托也以其集合論的成就被譽(yù)為對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一.康托（Cantor,G.F.P.，18451918)，德國(guó)數(shù)學(xué)家，生于俄羅斯圣彼得堡，自幼對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣.1867年，22歲的康托獲博士學(xué)位，以后一直在哈雷大學(xué)任教，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.人們把康托最早提出集合論思想的那一天1873年12月7日定為集合論誕生日.他把集合理解為：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的)事物合并起來(lái)，看作一個(gè)整體.其中各事物稱為該集合的元素.不到30歲的康托向神秘的“無(wú)窮”宣戰(zhàn)，他靠著智慧和汗水，成功地證明了一條直線上的點(diǎn)能夠