同濟大學第六版高等數(shù)學上下冊課后習題答案10-2

1、習題 10-2 1. 設L為xOy面內直線x=a上的一段, 證明: . 證明 設L是直線x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 則L: x=a, y=t, t從b1變到b2. 于是 . 2. 設L為xOy面內x軸上從點(a, 0)到(b, 0)的一段直線, 證明. 證明L: x=x, y=0, t從a變到b, 所以 . 3. 計算下列對坐標的曲線積分: (1), 其中L是拋物線y=x2上從點(0, 0)到點(2, 4)的一段弧; 解 L: y=x2, x從0變到2, 所以 . (2), 其中L為圓周(x-a)2+y2=a2(a0)及x軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界(按逆時針方

2、向繞行); 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=a+acos t, y=asin t , t從0變到p, L2: x=x, y=0, x從0變到2a, 因此 . (3), 其中L為圓周x=Rcost, y=Rsint上對應t從0到的一段弧; 解 . (4), 其中L為圓周x2+y2=a2(按逆時針方向繞行); 解 圓周的參數(shù)方程為: x=acos t, y=asin t, t從0變到2p, 所以 . (5), 其中G為曲線x=kq, y=acosq, z=asinq上對應q從0到p的一段弧; 解 . (6), 其中G是從點(1, 1, 1)到點(2, 3, 4)的一段直線; 解 G的參數(shù)方

3、程為x=1+t, y=1+2t, z=1+3t, t從0變到1. . (7), 其中G為有向閉折線ABCA , 這里的A, B, C依次為點(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 G=AB+BC+CA, 其中 AB: x=x, y=1-x, z=0, x從1變到0, BC: x=0, y=1-z, z=z, z從0變到1, CA: x=x, y=0, z=1-x, x從0變到1,故 . (8), 其中L是拋物線y=x2上從(-1, 1)到(1, 1)的一段弧. 解 L: x=x, y=x2, x從-1變到1, 故 4. 計算, 其中L是: (1)拋物線y=x2上從

4、點(1, 1)到點(4, 2)的一段弧; 解 L: x=y2, y=y, y從1變到2, 故 . (2)從點(1, 1)到點(4, 2)的直線段; 解 L: x=3y-2, y=y, y從1變到2, 故 (3)先沿直線從點(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直線到點(4, 2)的折線; 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=1, y=y, y從1變到2, L2: x=x, y=2, x從1變到4,故 . (4)沿曲線x=2t2+t+1, y=t2+1上從點(1, 1)到(4, 2)的一段弧. 解 L: x=2t2+t+1, y=t2+1, t從0變到1, 故 . 5. 一力場由沿橫軸正方向

5、的常力F所構成, 試求當一質量為m的質點沿圓周x2+y2=R2按逆時針方向移過位于第一象限的那一段時場力所作的功. 解 已知場力為F=(|F|, 0), 曲線L的參數(shù)方程為 x=R cos q, y=R sin q, q從0變到, 于是場力所作的功為 . 6. 設z軸與力方向一致, 求質量為m的質點從位置(x1, y1, z1)沿直線移到(x2, y2, z2)時重力作的功. 解 已知F=(0, 0, mg). 設G為從(x1, y1, z1)到(x2, y2, z2)的直線, 則重力所作的功為 . 7. 把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分, 其中L為: (1)在xOy面內沿直線從點(0, 0)到(1, 1); 解 L的方向余弦, 故 . (2)沿拋物線y=x2從點(0, 0)到(1, 1); 解 曲線L上點(x, y)處的切向量為t=(1, 2x), 單位切向量為 , 故 . (3)沿上半圓周x2+y2=2x從點(0, 0)到(1, 1). 解 L的方程為, 其上任一點的切向量為 , 單位切向量為 , 故 . 8. 設G為曲線x=t , y=t2, z=t3上相