經濟管理數(shù)學第2章微分學及其應用.pptx

1、經濟管理數(shù)學,何良材 編著 重慶大學出版社,2.1 導數(shù)概念 2.1.1 引例 引例1 變速直線運動的瞬時速度. 若物體作勻速直線運動，則物體在任何時刻的速度都等于運動路程除以運動時間但若物體做非勻速直線運動，且知其運動規(guī)律為ss(t)，應如何求它在tt0時的瞬時速度呢？這個問題可以通過下述辦法解決： 當時間t從t0變到t0t時，物體所經過的路程為,第2章 微分學及其應用,于是，在t時間內物體的平均速度為,引例2 產品總成本的變化率.,設某產品的總成本C隨產量x而確定，則C是x的函數(shù)，記作CC(x)(x0)，通常稱它為成本函數(shù)試求產量為x0個單位時，總成本的變化率 當產量x從x0變化到x0 x

2、時，總成本取得相應的改變量,于是，在產量x由x0變到x0 x時，總成本的平均變化率為,顯然，當x時，極限值,就可認為是產量為x0個單位時總成本的變化率 2.1.2 導數(shù)定義 定義2.1 設函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，當自變量x在x0處取得增量x(0)時，函數(shù)f(x)取得相應的增量y=f(x0 x)f(x0)，如果當x時，比值 的極限存在，則稱函數(shù)f(x)在點x0處可導，并把該極限叫做函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)，記作f (x0)，即,也可記作 . 如果此極限不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在x0處不可導,由導數(shù)定義還可將求導數(shù)方法概括為以下三步： 算增量：y = f(x0 x)f

3、(x0)； 寫比值： ； 求極限： . 例 求函數(shù) 1) 在點x = 1處的導數(shù),解,2.1.3 導數(shù)的幾何意義 如圖2.1所示，設P(x0，f(x0) 為曲線y = f (x)上一點，當自變量在x0處取得增量x時，在曲線y=f(x)上相應得到另一點Q(x0 x)，f (x0 x)，連接這兩點得割線PQ，設其傾角為，則割線PQ的,斜率為：,圖2.1,即平均變化率 表示割線PQ的斜率 2.1.4 函數(shù)可導與連續(xù)的關系 定理2.1 若函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，則y=f(x)在點x0處連續(xù)反之不真. 例 設 ，判斷f(x)在 x = 0處的連續(xù)性及可導性 解,故 ，又f(0)=0，所以f(x)

4、在x=0處連續(xù). 可知f +(0)f -(0),即 f(x)在 x = 0處不可導 2.2 求導方法 2.2.1 導數(shù)定義求導法,例 設y=f (x)=c (c為常數(shù))，求y 解 因為y=f (xx)f(x) =cc=0,所以,即,例 設y=sin x，求y 解,2.2.2 四則運算求導法 定理2.2 設函數(shù)u(x)與v(x)在x處可導，則(uv),uv, 在x處可導，且,例 已知 ，求y 解,2.2.3 反函數(shù)求導法 定理2.3 設函數(shù)x= (y)在某一區(qū)間內單調、連續(xù)、可導，且 (y)0，則其反函數(shù)y=f(x)在對應區(qū)間內可導，且 換句話說：即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù). 例 設y

5、=arcsin x(1x1)，求y 解 因為y=arcsin x(x) 與,互為反函數(shù)，由反函數(shù)求導法，得,即,類似地,2.2.4 復合函數(shù)求導法 (1)復合函數(shù)求導 定理2.4 設函數(shù)u= (x)在點x處可導，函數(shù)y=f(u)在對應點處可導，則復合函數(shù)y=f (x)在點x處可導，且 設 則復合函數(shù),的導數(shù)為 或,例 設y=(2x1)3，求y 解 設u=2x1，則y=(2x1) 3可看成由y=u3和u=2x1復合而成，由復合函數(shù)求導法則得,例 設y=sin e-x，求y. 解 (2)隱函數(shù)求導法 求隱函數(shù)F(x，y)=0的導數(shù)，一般是將方程兩端同時對自變量x求導，遇到含y的項就把它看成是x的函

6、數(shù)y(x)，同時利用復合函數(shù)的求導法則，然后從所得的關系式中解出y，就得到所求隱函數(shù)的導數(shù),例 求由方程 所確定隱函數(shù)的導數(shù)y與y(0) 解 將xyexey=0兩邊同時對x求導數(shù)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，ey是x的復合函數(shù)于是有 解出y，得,又將x=0代入方程xyexey=0，得y=0. 所以 . *(3)對數(shù)求導法 具體做法是：先取對數(shù)，然后按隱函數(shù)求導法則求導. 例 設 ，求y 解 方程兩邊取自然對數(shù),由隱函數(shù)求導法則，將上式兩邊同時對x求導得 解出y，得 即,2.2.5 初等函數(shù)求導公式 (1)導數(shù)基本公式,(2)函數(shù)和差積商求導法則,(3)反函數(shù)求導法則 設y=f(x)是x= (y)的反

7、函數(shù)，則 即 (4)復合函數(shù)求導法則 設y=f(u)，u= (x)，則復合函數(shù)y=f (x)的導數(shù)為,或 2.2.6 高階導數(shù)求法 二階及二階以上的導數(shù)，統(tǒng)稱為高階導數(shù)從高階導數(shù)的定義可知，要求函數(shù)y=f(x)的高階導數(shù)，只要反復運用求導方法，逐階求導即可 例 求y=x32x23x7的各階導數(shù) 解,例 求y=sin x的n階導數(shù) 解,所以 同理,2.3 微分 2.3.1 微分概念 引例1 一正方形金屬板因受熱而膨脹，其面積A=A(x)=x2，當邊長由x變到x+x，求面積改變量A的近似值,圖2.3,解 相應的面積改變量為 第一部分2xx是x的線性函數(shù)，其系數(shù)2x正好是A=x的導數(shù)，即圖23中畫斜

8、線的那兩個矩形面積之和；第二部分(x)，因 ，所以(x)是x的高階無窮小，即圖2.3中畫網線的小正方形的面積,定義2.2 若函數(shù)y=f(x)在點x處有導數(shù)f (x)，則 f (x)x叫做函數(shù)y=f(x)在點x處的微分，記作dy,或df(x)，即,或,例 求函數(shù)y=x21當x由1變到1.01時的增量y與微分dy 解 因為,2.3.2 微分的幾何意義 函數(shù)y=f(x)的微分dy的幾何意義是：函數(shù)y=f(x)的圖形在(x，f(x)點處所引切線在區(qū)間x，x +x上的縱坐標的增量 2.3.3 微分的運算,例 設y=x2ln x2cos x，求dy 解：,2.4 導數(shù)的應用 2.4.1 微分中值定理 定理

9、2.5 (拉格朗日中值定理) 設函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點，使得,推論1 設 f(x)=0，則 f(x)=C,x(a,b) 推論2 設 f(x)=g (x),則 f(x)-g(x)=C,x(a,b) 2.4.2 羅彼達法則,也可寫成 f (b) -f (a)=f () (b-a) (ab) (2.11),例 求 . 解,定理2.6 (羅彼達法則) 設函數(shù)f(x)，g(x)滿足下列條件：,例 求 解,2.4.3 函數(shù)的性態(tài) (1)函數(shù)的增減性 定理2.7 設函數(shù)f(x) 在a，b上連續(xù)，在(a，b)內可導 )若在(a，b)內f (x

10、)，則f(x)在a，b上單調增加 )若在(a，b)內f (x)，則f(x)在a，b上單調減少 例 討論函數(shù)y=f(x)=x-x的增減性 解,令 解之，有x= - 1，1 當- x - 或 x+時，有y，從而函數(shù)在區(qū)間(- ，-)和(1，+)內單調增加,當- 1x1時，y 0，從而函數(shù)在區(qū)間 (- 1，1)內單調減少，如圖2.7所示.,圖2.7,(2)函數(shù)的極值 定義2.3 設函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內有定義，如對于這鄰域內任一點x都有f(x)f(x0)，則稱f(x0)是f(x)的一個極大值如對于這個鄰域內任一點x都有 f(x) f(x0) ，則稱f(x0)是f(x)的一個極小值 定理2.8

11、(極值判定定理) 設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內可導，且f (x0)=, 1)若x x0時，f(x)；x x0時，f(x)，則f (x)在x0處取得極大值 2)若x x0時，f(x)； x x0時，f(x)，則f (x)在x0處取得極小值,3)若在x0的兩側，f (x)保持同號，則f(x)在x0處沒有取得極值 例 求函數(shù)f(x)=(x-)2(x-) 3的極值 解 第一步：求導數(shù) 第二步：求駐點，令f (x)=，即 解得駐點,第三步：判極值，列表2.1討論f (x)的符號變化，確定f(x)的極值. 由表2.1可知，f (x)有： 極大值f()=，極小值 f (x)在x=的兩側均單調增加，所以

12、f(x)在x=處無極值,*(3)曲線的凹向性與拐點 定義2.4 若曲線弧位于(a，b)上每一點處切線的上方，就稱曲線在(a，b)上是上凹的(或凹的，或凹向向上)；若曲線弧位于(a，b)上每一點處切線的下方，就稱曲線在(a，b)上是下凹的(或凸的，或凹向向下)；且曲線上上凹與下凹部分的分界點稱為該曲線的拐點 根據 f(x)的符號給出判定函數(shù)圖形的凹向性及拐點的法則 定理2.9 設函數(shù) f(x)在(a，b)內具有二階導數(shù) 1)如在(a，b)上有 f(x)，則函數(shù)y=f(x)對應的曲線向上凹,2)如在(a，b)上有 f(x)，則函數(shù)y=f(x)對應的曲線向下凹 3)如x0(a，b)使 f(x0)=0

13、，且在x0附近 f(x)變號，則點(x0，f(x0)是曲線y=f(x)的拐點，若在x0附近 f(x)不變號，則點(x0，f(x0)不是曲線y=f(x)的拐點 例 求曲線y=x4x3的增減區(qū)間、極值、凹向區(qū)間及拐點，并描出圖形 解,為便于判定函數(shù)的增減區(qū)間、極值、凹向區(qū)間及拐點，將上述各根x1=，x2=23，x3= 依次插入函數(shù)定義域(，+)，將其分成四個區(qū)間，列出表2.2討論,由表2.2知：減區(qū)間為(，)，增區(qū)間為(，)；上凹區(qū)間為 ，下凹區(qū)間為 ；拐點為 ；極小點為x=，極小值為y()=，見圖2.9,圖2.9,2.4.4 導數(shù)在經濟分析中的應用 (1)最值應用問題 求函數(shù)最值的做法如下： 1

14、求使 f (x)=和 f (x)不存在的x值，并求出相應于這些x的函數(shù)值； 2計算端點函數(shù)值 f(a)與 f(b)； 3比較 f(a) ， f(b)和1中求出的函數(shù)值的大小，其中最大者就是函數(shù)在a，b上的最大值；最小者就是最小值 例 (節(jié)約原材料問題) 要做一個容積為V的圓柱形罐頭筒，如何設計才能使所花材料最省?,解 要使材料最省，就是要罐頭筒的總表面積最小設罐頭筒的底半徑為r，高為h，如圖2.13所示，它的側面積為2rh，底面積為r2，因此總表面積為 由體積公式V=r2h，有 所以,圖2.13,令S=，得駐點 由于 ,因此S在 處取得極小值，也就是最小值這時相應的高為,(2)邊際分析 邊際成

15、本 設C= C(x)是某產品的總成本函數(shù)，其中x為產品量，則稱總成本C對產量x的導數(shù)C(x)為產量x單位時的邊際成本相應曲線稱為邊際成本,于是，當所做罐頭筒的高和底直徑相等時所花材料 最省。,曲線，常記作MC邊際成本的經濟意義是：邊際成本C(x)近似地等于在產量x單位的水平上再生產一個單位產品所增加的成本或者說，C(x)近似地等于第x個單位產品的成本. 邊際收益 設R= R(x)是某產品的總收益函數(shù)，其中x為產量，則稱R對產量x的導數(shù)R(x)為產量x單位時的邊際收益相應曲線稱為邊際收益曲線，常記作MR邊際收益的經濟意義是：邊際收益R(x)近似地等于在產量x單位的水平上再生產一個單位的產品所增加

16、的收益或者說，R(x)近似地等于第x個單位產品的收益,邊際利潤 設L= L(x)是某產品的總利潤函數(shù)，其中x為產品量，則稱總利潤L對產量x的導數(shù)L(x)為產量x單位時的邊際利潤相應曲線稱為邊際利潤曲線，常記作ML邊際利潤的經濟意義是：邊際利潤L(x)近似地等于在產量x單位的水平上再生產一個單位的產品所增加的利潤或者說，L(x)近似地等于第x個單位產品的利潤 邊際需求 設Q= Q(P)是某商品的需求函數(shù)，其中P為商品的價格,則稱需求量Q對價格P的導數(shù)Q(P)為價格P單位時的邊際需求，相應曲線稱為邊際需求曲線，常記作MQ邊際需求的經濟意義是：邊際需求Q(P)近似地等于價格在P貨幣單位的水平,上，再

17、增加一個貨幣單位所增加的需求量也稱P=P(Q)的導數(shù)P(Q)為邊際價格它近似地等于銷售量在Q的水平上，再增加一個單位的銷售量所增加的價格 例 已知某商品的成本函數(shù)和收益函數(shù)各為： 其中x是商品的銷售量，試求該商品的邊際成本、邊際收益和邊際利潤 解 邊際成本是成本函數(shù)的導數(shù)，故商品的邊際成本為：,邊際收益是收益函數(shù)的導數(shù)，故商品的邊際收益為 因利潤函數(shù)等于收益函數(shù)減去成本函數(shù)，即 邊際利潤是利潤函數(shù)的導數(shù)，故商品的邊際利潤為： 實際上,(3)彈性分析 1) 定義2.5 設函數(shù)y=f(x)在x處可導，稱兩個相對改變量 之比值，當x時的極限(如存在的話)為函數(shù)y=f(x)在x處的彈性(或相對變化率)

18、，記為，有,即,2)幾個常用經濟量的彈性 需求彈性 需求函數(shù)是受多因素(如該商品的價格、消費者的收入水平，其他代用品價格等)的影響，這里僅考慮價格這一主要因素，設商品需求函數(shù)為Q=Q(P)，,且在P處可導(其中P為價格、Q為需求量)，則稱 為該商品在P處的需求彈性，或稱需求Q對價格P的彈性.,例 設某商品需求量對價格的函數(shù)關系為 試求需求量Q對價格P的彈性，并說明其經濟意義 解 根據需求彈性定義：有,即 其經濟意義：表示當價格P上漲(或下跌)1%時，需求量Q近似減少(或增加)1.1P% 收入彈性 設R=R(x)是某產品的總收益函數(shù)(其中x為產量)，且在點x處可導，則稱,為該產品在點x處的收入彈

19、性，其經濟意義的解釋留給讀者完成 例 設某種商品的銷售額R與價格P之間的函數(shù)關系為,試求，當價格P=1.00元與1.50元水平時，銷售額函數(shù)的彈性，并說明其經濟意義 解 由彈性定義有,當 P=1.00元時， ； 當 P=1.50元時， .,其經濟含義是：當價格在1.00元水平時，價格上漲1，該商品的銷售額還可增加0.48；但當價格在1.50元水平時，價格上漲1%，該商品的銷售額將下降0.047 成本彈性 設C=C(x)是某產品的總成本函數(shù)(其中x為產品量)，且在點x處可導，則稱,為該商品在點x處的成本彈性其經濟意義的解釋留給讀者 函數(shù)彈性的圖解法 設函數(shù)y=f(x) 的曲線已作出，A(x0，y

20、0)為該曲線上一點，由彈性定義有,由圖2.17知： 其中1為過A點的切線AB與x軸的夾角又,圖2.17,其中2為OA與x軸的夾角，結合以上三式得 從而得出y=f(x) 在x0處彈性的幾何圖解法步驟： 第一步,作出y=f(x) 的曲線； 第二步,過曲線上點A(x0，y0)分別作切線AB與線段OA，得到其與x軸夾角1與2； 第三步,按公式 求出彈性,2.5 多元函數(shù)微分學 2.5.1 偏導數(shù)與全微分概念,(1)二元函數(shù)的連續(xù)性 偏導數(shù)的研究基礎是多元函數(shù)這里以二元函數(shù)為主 定義2.6 設某研究過程中有三個變量x，y，z，若當變量x，y在其變化范圍內任取一對數(shù)值時，變量z按照一定法則總有確定的數(shù)值與之對應，則稱z叫x，y的二元函數(shù)，記作,定