經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)第2章微分學(xué)及其應(yīng)用.pptx

1、經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué),何良材 編著 重慶大學(xué)出版社,2.1 導(dǎo)數(shù)概念 2.1.1 引例 引例1 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度. 若物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則物體在任何時(shí)刻的速度都等于運(yùn)動(dòng)路程除以運(yùn)動(dòng)時(shí)間但若物體做非勻速直線運(yùn)動(dòng)，且知其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為ss(t)，應(yīng)如何求它在tt0時(shí)的瞬時(shí)速度呢？這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)下述辦法解決： 當(dāng)時(shí)間t從t0變到t0t時(shí)，物體所經(jīng)過(guò)的路程為,第2章 微分學(xué)及其應(yīng)用,于是，在t時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為,引例2 產(chǎn)品總成本的變化率.,設(shè)某產(chǎn)品的總成本C隨產(chǎn)量x而確定，則C是x的函數(shù)，記作CC(x)(x0)，通常稱它為成本函數(shù)試求產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)，總成本的變化率 當(dāng)產(chǎn)量x從x0變化到x0 x

2、時(shí)，總成本取得相應(yīng)的改變量,于是，在產(chǎn)量x由x0變到x0 x時(shí)，總成本的平均變化率為,顯然，當(dāng)x時(shí)，極限值,就可認(rèn)為是產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)總成本的變化率 2.1.2 導(dǎo)數(shù)定義 定義2.1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量x(0)時(shí)，函數(shù)f(x)取得相應(yīng)的增量y=f(x0 x)f(x0)，如果當(dāng)x時(shí)，比值 的極限存在，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把該極限叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x0)，即,也可記作 . 如果此極限不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在x0處不可導(dǎo),由導(dǎo)數(shù)定義還可將求導(dǎo)數(shù)方法概括為以下三步： 算增量：y = f(x0 x)f

3、(x0)； 寫比值： ； 求極限： . 例 求函數(shù) 1) 在點(diǎn)x = 1處的導(dǎo)數(shù),解,2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 如圖2.1所示，設(shè)P(x0，f(x0) 為曲線y = f (x)上一點(diǎn)，當(dāng)自變量在x0處取得增量x時(shí)，在曲線y=f(x)上相應(yīng)得到另一點(diǎn)Q(x0 x)，f (x0 x)，連接這兩點(diǎn)得割線PQ，設(shè)其傾角為，則割線PQ的,斜率為：,圖2.1,即平均變化率 表示割線PQ的斜率 2.1.4 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理2.1 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)反之不真. 例 設(shè) ，判斷f(x)在 x = 0處的連續(xù)性及可導(dǎo)性 解,故 ，又f(0)=0，所以f(x)

4、在x=0處連續(xù). 可知f +(0)f -(0),即 f(x)在 x = 0處不可導(dǎo) 2.2 求導(dǎo)方法 2.2.1 導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)法,例 設(shè)y=f (x)=c (c為常數(shù))，求y 解 因?yàn)閥=f (xx)f(x) =cc=0,所以,即,例 設(shè)y=sin x，求y 解,2.2.2 四則運(yùn)算求導(dǎo)法 定理2.2 設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)在x處可導(dǎo)，則(uv),uv, 在x處可導(dǎo)，且,例 已知 ，求y 解,2.2.3 反函數(shù)求導(dǎo)法 定理2.3 設(shè)函數(shù)x= (y)在某一區(qū)間內(nèi)單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)，且 (y)0，則其反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且 換句話說(shuō)：即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 例 設(shè)y

5、=arcsin x(1x1)，求y 解 因?yàn)閥=arcsin x(x) 與,互為反函數(shù)，由反函數(shù)求導(dǎo)法，得,即,類似地,2.2.4 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 (1)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 定理2.4 設(shè)函數(shù)u= (x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且 設(shè) 則復(fù)合函數(shù),的導(dǎo)數(shù)為 或,例 設(shè)y=(2x1)3，求y 解 設(shè)u=2x1，則y=(2x1) 3可看成由y=u3和u=2x1復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得,例 設(shè)y=sin e-x，求y. 解 (2)隱函數(shù)求導(dǎo)法 求隱函數(shù)F(x，y)=0的導(dǎo)數(shù)，一般是將方程兩端同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，遇到含y的項(xiàng)就把它看成是x的函

6、數(shù)y(x)，同時(shí)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，然后從所得的關(guān)系式中解出y，就得到所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例 求由方程 所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y與y(0) 解 將xyexey=0兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，ey是x的復(fù)合函數(shù)于是有 解出y，得,又將x=0代入方程xyexey=0，得y=0. 所以 . *(3)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 具體做法是：先取對(duì)數(shù)，然后按隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo). 例 設(shè) ，求y 解 方程兩邊取自然對(duì)數(shù),由隱函數(shù)求導(dǎo)法則，將上式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得 解出y，得 即,2.2.5 初等函數(shù)求導(dǎo)公式 (1)導(dǎo)數(shù)基本公式,(2)函數(shù)和差積商求導(dǎo)法則,(3)反函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)y=f(x)是x= (y)的反

7、函數(shù)，則 即 (4)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè)y=f(u)，u= (x)，則復(fù)合函數(shù)y=f (x)的導(dǎo)數(shù)為,或 2.2.6 高階導(dǎo)數(shù)求法 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)從高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，要求函數(shù)y=f(x)的高階導(dǎo)數(shù)，只要反復(fù)運(yùn)用求導(dǎo)方法，逐階求導(dǎo)即可 例 求y=x32x23x7的各階導(dǎo)數(shù) 解,例 求y=sin x的n階導(dǎo)數(shù) 解,所以 同理,2.3 微分 2.3.1 微分概念 引例1 一正方形金屬板因受熱而膨脹，其面積A=A(x)=x2，當(dāng)邊長(zhǎng)由x變到x+x，求面積改變量A的近似值,圖2.3,解 相應(yīng)的面積改變量為 第一部分2xx是x的線性函數(shù)，其系數(shù)2x正好是A=x的導(dǎo)數(shù)，即圖23中畫斜

8、線的那兩個(gè)矩形面積之和；第二部分(x)，因 ，所以(x)是x的高階無(wú)窮小，即圖2.3中畫網(wǎng)線的小正方形的面積,定義2.2 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)f (x)，則 f (x)x叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的微分，記作dy,或df(x)，即,或,例 求函數(shù)y=x21當(dāng)x由1變到1.01時(shí)的增量y與微分dy 解 因?yàn)?2.3.2 微分的幾何意義 函數(shù)y=f(x)的微分dy的幾何意義是：函數(shù)y=f(x)的圖形在(x，f(x)點(diǎn)處所引切線在區(qū)間x，x +x上的縱坐標(biāo)的增量 2.3.3 微分的運(yùn)算,例 設(shè)y=x2ln x2cos x，求dy 解：,2.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 2.4.1 微分中值定理 定理

9、2.5 (拉格朗日中值定理) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得,推論1 設(shè) f(x)=0，則 f(x)=C,x(a,b) 推論2 設(shè) f(x)=g (x),則 f(x)-g(x)=C,x(a,b) 2.4.2 羅彼達(dá)法則,也可寫成 f (b) -f (a)=f () (b-a) (ab) (2.11),例 求 . 解,定理2.6 (羅彼達(dá)法則) 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足下列條件：,例 求 解,2.4.3 函數(shù)的性態(tài) (1)函數(shù)的增減性 定理2.7 設(shè)函數(shù)f(x) 在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo) )若在(a，b)內(nèi)f (x

10、)，則f(x)在a，b上單調(diào)增加 )若在(a，b)內(nèi)f (x)，則f(x)在a，b上單調(diào)減少 例 討論函數(shù)y=f(x)=x-x的增減性 解,令 解之，有x= - 1，1 當(dāng)- x - 或 x+時(shí)，有y，從而函數(shù)在區(qū)間(- ，-)和(1，+)內(nèi)單調(diào)增加,當(dāng)- 1x1時(shí)，y 0，從而函數(shù)在區(qū)間 (- 1，1)內(nèi)單調(diào)減少，如圖2.7所示.,圖2.7,(2)函數(shù)的極值 定義2.3 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如對(duì)于這鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x都有f(x)f(x0)，則稱f(x0)是f(x)的一個(gè)極大值如對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x都有 f(x) f(x0) ，則稱f(x0)是f(x)的一個(gè)極小值 定理2.8

11、(極值判定定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f (x0)=, 1)若x x0時(shí)，f(x)；x x0時(shí)，f(x)，則f (x)在x0處取得極大值 2)若x x0時(shí)，f(x)； x x0時(shí)，f(x)，則f (x)在x0處取得極小值,3)若在x0的兩側(cè)，f (x)保持同號(hào)，則f(x)在x0處沒有取得極值 例 求函數(shù)f(x)=(x-)2(x-) 3的極值 解 第一步：求導(dǎo)數(shù) 第二步：求駐點(diǎn)，令f (x)=，即 解得駐點(diǎn),第三步：判極值，列表2.1討論f (x)的符號(hào)變化，確定f(x)的極值. 由表2.1可知，f (x)有： 極大值f()=，極小值 f (x)在x=的兩側(cè)均單調(diào)增加，所以

12、f(x)在x=處無(wú)極值,*(3)曲線的凹向性與拐點(diǎn) 定義2.4 若曲線弧位于(a，b)上每一點(diǎn)處切線的上方，就稱曲線在(a，b)上是上凹的(或凹的，或凹向向上)；若曲線弧位于(a，b)上每一點(diǎn)處切線的下方，就稱曲線在(a，b)上是下凹的(或凸的，或凹向向下)；且曲線上上凹與下凹部分的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn) 根據(jù) f(x)的符號(hào)給出判定函數(shù)圖形的凹向性及拐點(diǎn)的法則 定理2.9 設(shè)函數(shù) f(x)在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) 1)如在(a，b)上有 f(x)，則函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上凹,2)如在(a，b)上有 f(x)，則函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲線向下凹 3)如x0(a，b)使 f(x0)=0

13、，且在x0附近 f(x)變號(hào)，則點(diǎn)(x0，f(x0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，若在x0附近 f(x)不變號(hào)，則點(diǎn)(x0，f(x0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn) 例 求曲線y=x4x3的增減區(qū)間、極值、凹向區(qū)間及拐點(diǎn)，并描出圖形 解,為便于判定函數(shù)的增減區(qū)間、極值、凹向區(qū)間及拐點(diǎn)，將上述各根x1=，x2=23，x3= 依次插入函數(shù)定義域(，+)，將其分成四個(gè)區(qū)間，列出表2.2討論,由表2.2知：減區(qū)間為(，)，增區(qū)間為(，)；上凹區(qū)間為 ，下凹區(qū)間為 ；拐點(diǎn)為 ；極小點(diǎn)為x=，極小值為y()=，見圖2.9,圖2.9,2.4.4 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 (1)最值應(yīng)用問(wèn)題 求函數(shù)最值的做法如下： 1

14、求使 f (x)=和 f (x)不存在的x值，并求出相應(yīng)于這些x的函數(shù)值； 2計(jì)算端點(diǎn)函數(shù)值 f(a)與 f(b)； 3比較 f(a) ， f(b)和1中求出的函數(shù)值的大小，其中最大者就是函數(shù)在a，b上的最大值；最小者就是最小值 例 (節(jié)約原材料問(wèn)題) 要做一個(gè)容積為V的圓柱形罐頭筒，如何設(shè)計(jì)才能使所花材料最省?,解 要使材料最省，就是要罐頭筒的總表面積最小設(shè)罐頭筒的底半徑為r，高為h，如圖2.13所示，它的側(cè)面積為2rh，底面積為r2，因此總表面積為 由體積公式V=r2h，有 所以,圖2.13,令S=，得駐點(diǎn) 由于 ,因此S在 處取得極小值，也就是最小值這時(shí)相應(yīng)的高為,(2)邊際分析 邊際成

15、本 設(shè)C= C(x)是某產(chǎn)品的總成本函數(shù)，其中x為產(chǎn)品量，則稱總成本C對(duì)產(chǎn)量x的導(dǎo)數(shù)C(x)為產(chǎn)量x單位時(shí)的邊際成本相應(yīng)曲線稱為邊際成本,于是，當(dāng)所做罐頭筒的高和底直徑相等時(shí)所花材料 最省。,曲線，常記作MC邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際成本C(x)近似地等于在產(chǎn)量x單位的水平上再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的成本或者說(shuō)，C(x)近似地等于第x個(gè)單位產(chǎn)品的成本. 邊際收益 設(shè)R= R(x)是某產(chǎn)品的總收益函數(shù)，其中x為產(chǎn)量，則稱R對(duì)產(chǎn)量x的導(dǎo)數(shù)R(x)為產(chǎn)量x單位時(shí)的邊際收益相應(yīng)曲線稱為邊際收益曲線，常記作MR邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際收益R(x)近似地等于在產(chǎn)量x單位的水平上再生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品所增加

16、的收益或者說(shuō)，R(x)近似地等于第x個(gè)單位產(chǎn)品的收益,邊際利潤(rùn) 設(shè)L= L(x)是某產(chǎn)品的總利潤(rùn)函數(shù)，其中x為產(chǎn)品量，則稱總利潤(rùn)L對(duì)產(chǎn)量x的導(dǎo)數(shù)L(x)為產(chǎn)量x單位時(shí)的邊際利潤(rùn)相應(yīng)曲線稱為邊際利潤(rùn)曲線，常記作ML邊際利潤(rùn)的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際利潤(rùn)L(x)近似地等于在產(chǎn)量x單位的水平上再生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品所增加的利潤(rùn)或者說(shuō)，L(x)近似地等于第x個(gè)單位產(chǎn)品的利潤(rùn) 邊際需求 設(shè)Q= Q(P)是某商品的需求函數(shù)，其中P為商品的價(jià)格,則稱需求量Q對(duì)價(jià)格P的導(dǎo)數(shù)Q(P)為價(jià)格P單位時(shí)的邊際需求，相應(yīng)曲線稱為邊際需求曲線，常記作MQ邊際需求的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際需求Q(P)近似地等于價(jià)格在P貨幣單位的水平,上，再

17、增加一個(gè)貨幣單位所增加的需求量也稱P=P(Q)的導(dǎo)數(shù)P(Q)為邊際價(jià)格它近似地等于銷售量在Q的水平上，再增加一個(gè)單位的銷售量所增加的價(jià)格 例 已知某商品的成本函數(shù)和收益函數(shù)各為： 其中x是商品的銷售量，試求該商品的邊際成本、邊際收益和邊際利潤(rùn) 解 邊際成本是成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故商品的邊際成本為：,邊際收益是收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故商品的邊際收益為 因利潤(rùn)函數(shù)等于收益函數(shù)減去成本函數(shù)，即 邊際利潤(rùn)是利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故商品的邊際利潤(rùn)為： 實(shí)際上,(3)彈性分析 1) 定義2.5 設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處可導(dǎo)，稱兩個(gè)相對(duì)改變量 之比值，當(dāng)x時(shí)的極限(如存在的話)為函數(shù)y=f(x)在x處的彈性(或相對(duì)變化率)

18、，記為，有,即,2)幾個(gè)常用經(jīng)濟(jì)量的彈性 需求彈性 需求函數(shù)是受多因素(如該商品的價(jià)格、消費(fèi)者的收入水平，其他代用品價(jià)格等)的影響，這里僅考慮價(jià)格這一主要因素，設(shè)商品需求函數(shù)為Q=Q(P)，,且在P處可導(dǎo)(其中P為價(jià)格、Q為需求量)，則稱 為該商品在P處的需求彈性，或稱需求Q對(duì)價(jià)格P的彈性.,例 設(shè)某商品需求量對(duì)價(jià)格的函數(shù)關(guān)系為 試求需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義 解 根據(jù)需求彈性定義：有,即 其經(jīng)濟(jì)意義：表示當(dāng)價(jià)格P上漲(或下跌)1%時(shí)，需求量Q近似減少(或增加)1.1P% 收入彈性 設(shè)R=R(x)是某產(chǎn)品的總收益函數(shù)(其中x為產(chǎn)量)，且在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱,為該產(chǎn)品在點(diǎn)x處的收入彈

19、性，其經(jīng)濟(jì)意義的解釋留給讀者完成 例 設(shè)某種商品的銷售額R與價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系為,試求，當(dāng)價(jià)格P=1.00元與1.50元水平時(shí)，銷售額函數(shù)的彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義 解 由彈性定義有,當(dāng) P=1.00元時(shí)， ； 當(dāng) P=1.50元時(shí)， .,其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)價(jià)格在1.00元水平時(shí)，價(jià)格上漲1，該商品的銷售額還可增加0.48；但當(dāng)價(jià)格在1.50元水平時(shí)，價(jià)格上漲1%，該商品的銷售額將下降0.047 成本彈性 設(shè)C=C(x)是某產(chǎn)品的總成本函數(shù)(其中x為產(chǎn)品量)，且在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱,為該商品在點(diǎn)x處的成本彈性其經(jīng)濟(jì)意義的解釋留給讀者 函數(shù)彈性的圖解法 設(shè)函數(shù)y=f(x) 的曲線已作出，A(x0，y

20、0)為該曲線上一點(diǎn)，由彈性定義有,由圖2.17知： 其中1為過(guò)A點(diǎn)的切線AB與x軸的夾角又,圖2.17,其中2為OA與x軸的夾角，結(jié)合以上三式得 從而得出y=f(x) 在x0處彈性的幾何圖解法步驟： 第一步,作出y=f(x) 的曲線； 第二步,過(guò)曲線上點(diǎn)A(x0，y0)分別作切線AB與線段OA，得到其與x軸夾角1與2； 第三步,按公式 求出彈性,2.5 多元函數(shù)微分學(xué) 2.5.1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念,(1)二元函數(shù)的連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)的研究基礎(chǔ)是多元函數(shù)這里以二元函數(shù)為主 定義2.6 設(shè)某研究過(guò)程中有三個(gè)變量x，y，z，若當(dāng)變量x，y在其變化范圍內(nèi)任取一對(duì)數(shù)值時(shí)，變量z按照一定法則總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱z叫x，y的二元函數(shù)，記作,定