《多重比較方差檢驗》PPT課件.ppt

1、8.2 多重比較,8.2.1 效應差的置信區(qū)間 如果方差分析的結(jié)果因子A顯著，則等于說有充分理由認為因子A各水平的效應不全相同，但這并不是說它們中一定沒有相同的。就指定的一對水平Ai與Aj，我們可通過求i - j的區(qū)間估計來進行比較。,由于 ，故 由此給出i - j的置信水平為1-的置信區(qū)間為 (8.2.1) 其中 是 2的無偏估計。,這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間基本一致，區(qū)別在于這里 2的估計使用了全部樣本而不僅僅是兩個水平Ai, Aj下的觀測值。,例8.2.1 繼續(xù)例8.1.2， ，fe=21，取0.05 ，則t1-/2( fe )= t0.975(21)=2.0796， 于是

2、可算出各個置信區(qū)間為 可見第一個區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言認為1 小于2，其它二個區(qū)間包含0點，雖然從點估計角度看水平均值估計有差別，但這種差異在0.05水平上是不顯著的。,8.2.2 多重比較問題 對每一組(i, j)， (8.2.1) 給出的區(qū)間的置信水平都是1 ，但對多個這樣的區(qū)間，要求其同時成立，其聯(lián)合置信水平就不再是1 了。,譬如，設E1 , , Ek是k個隨機事件，且有 P(Ei)=1，i=1 ,k ，則其同時發(fā)生的概率 這說明它們同時發(fā)生的概率可能比1 小很多。 為了使它們同時發(fā)生的概率不低于1，一個辦法是把每個事件發(fā)生的概率提高到1 /k. 這將導致每個置信區(qū)間

3、過長，聯(lián)合置信區(qū)間的精度很差，一般人們不采用這種方法。,在方差分析中，如果經(jīng)過F檢驗拒絕原假設，表明因子A是顯著的，即r個水平對應的水平均值不全相等，此時，我們還需要進一步確認哪些水平均值間是確有差異的，哪些水平均值間無顯著差異。 同時比較任意兩個水平均值間有無明顯差異的問題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性水平同時檢驗如下r(r1)/2個假設： （8.2.2）,直觀地看，當H0ij成立時， 不應過大，因此，關(guān)于假設(8.2.2)的拒絕域應有如下形式 諸臨界值應在（8.2.2）成立時由P(W)= 確定。下面分重復數(shù)相等和不等分別介紹臨界值的確定。,8.2.3 重復數(shù)相等場合的T法 在重復數(shù)相等

4、時，由對稱性自然可以要求諸cij相等，記為c. 記 ，則由給定條件不難有,于是當 (8.2.2) 成立時，1= r = ，可推出 其中 ，稱為t化極差統(tǒng)計量，其分布可由隨機模擬方法得到。 于是 , 其中q1(r, fe)表示q(r, fe)的1 分位數(shù)，其值在附表8中給出。,重復數(shù)相同時多重比較可總結(jié)如下：對給定的的顯著性水平 ，查多重比較的分位數(shù)q(r,fe)表，計算 ，比較諸 與c的大小，若 則認為水平Ai與水平Aj間有顯著差異，反之，則認為水平Ai與水平Aj間無明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。,例8.2.2 繼續(xù)例8.1.2，若取 =0.05，則查表知q1-0.0

5、5(3, 21)=3.57，而 。所以 ，認為1與2有顯著差別 ，認為1與3無顯著差別 ，認為2與3有顯著差別 這說明： 1與3之間無顯著差別，而它們與2之間都有顯著差異。,8.2.4 重復數(shù)不等場合的S法,在重復數(shù)不等時，若假設 (8.2.2) 成立，則 或 從而可以要求 ，在此要求下可推出,可以證明 ， 從而 亦即,例8.2.3 在例8.1.4中，我們指出包裝方式對食品銷量有明顯的影響，此處r=4, fe =6, ，若取 =0.05 ，則F0.95(3,6)=4.76。注意到m1= m4=2，m2= m3=3，故,由于 這說明A1 , A2 , A3間無顯著差異，A1 , A2與A4有顯著

6、差異，但 A4與A3 的差異卻尚未達到顯著水平。綜合上述，包裝A4銷售量最佳。,P387 3、4,Bonferroni法 SNK法 Tukey法,8.3 方差齊性檢驗,在進行方差分析時要求r個方差相等，這稱為方差齊性。理論研究表明，當正態(tài)性假定不滿足時對F檢驗影響較小,即F檢驗對正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗對方差齊性的偏離較為敏感。所以r個方差的齊性檢驗就顯得十分必要。 所謂方差齊性檢驗是對如下一對假設作出檢驗： （8.3.1）,很多統(tǒng)計學家提出了一些很好的檢驗方法，這里介紹幾個最常用的檢驗，它們是：,Hartley檢驗，僅適用于樣本量相等的場合；,Bartlett檢驗，可用于樣本量

7、相等或不等 的場合，但是每個樣本量不得低于5；,修正的Bartlett檢驗，在樣本量較小或較 大、相等或不等場合均可使用。,8.3.1 Hartley檢驗,當各水平下試驗重復次數(shù)相等時，即m1=m2=mr=m,Hartley提出檢驗方差相等的檢驗統(tǒng)計量： （8.3.2） 這個統(tǒng)計量的分布無明顯的表達式，但在諸方差相等條件下，可通過隨機模擬方法獲得H分布的分位數(shù)，該分布依賴于水平數(shù)r 和樣本方差的自由度f=m1，因此該分布可記為H (r，f)，其分位數(shù)表列于附表10上。,直觀上看，當H0成立，即諸方差相等（12 =22=r2）時，H的值應接近于1，當H的值較大時，諸方差間的差異就大，H愈大，諸方

8、差間的差異就愈大，這時應拒絕 (8.3.1)中的H0。由此可知，對給定的顯著性水平 ，檢驗H0的拒絕域為 W=H H1(r, f ) （8.3.3） 其中H1(r, f )為H分布的1 分位數(shù)。,例8.3.1 有四種不同牌號的鐵銹防護劑（簡稱防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見表8.3.1。 這是一個重復次數(shù)相等的單因子試驗。我們考慮用方差分析方法對之進行比較分析，為此，首先要進行方差齊性檢驗。,本例中，四個樣本方差可由表8.3.1中諸Qi求出，即 由此可得統(tǒng)計量H的值 在 =0.05時，由附表10查得H0.95(4,9) =6.31，由于H6.31，所以應該保留原假設H0，即認為四個總體方差

9、間無顯著差異。,8.3.2 Bartlett檢驗,在單因子方差分析中有r個樣本，設第i個樣本方差為： 由于幾何平均數(shù)總不會超過算術(shù)平均數(shù)，故有GMSeMSe , 其中 等號成立當且僅當諸si2彼此相等，若諸si2間的差異愈大，則此兩個平均值相差也愈大。,由此可見，在比值GMSe/MSe較大時，就意味著諸樣本方差差異較大，從而檢驗（8.3.1）表示的一對假設的拒絕域應是 W=ln GMSe/MSe d （8.3.4） Bartlett證明了，檢驗的拒絕域為 W=B 1- 2 (r-1) （8.3.8） 考慮到這里2分布是近似分布，在諸樣本量mi均不小于5時使用上述檢驗是適當?shù)摹?例8.3.2 為

10、研究各產(chǎn)地的綠茶的葉酸含量是否有顯著差異，特選四個產(chǎn)地綠茶，其中A1制作了7個樣品， A2制作了5個樣品， A3與A4各制作了6個樣品，共有24個樣品，按隨機次序測試其葉酸含量，測試結(jié)果如表8.3.3所示。,為能進行方差分析，首先要進行方差齊性檢驗，從表8.3.3中數(shù)據(jù)可求得s12=2.14, s22=2.83, s32=2.41, s42=1.12，再從表8.3.4上查得MSe =2.09，由(8.3.6)，可求得 再由(8.3.7)，還可求得Bartlett檢驗統(tǒng)計量的值 對給定的顯著性水平 =0.05，查表知0.952 (41) =7.815。由于B7.815，故應保留原假設H0，即可認

11、為諸水平下的方差間無顯著差異。,8.3.3 修正的Bartlett檢驗,針對樣本量低于5時不能使用Bartlett檢驗的缺點，Box提出修正的Bartlett檢驗統(tǒng)計量 （8.3.9） 其中B與C如（8.3.7）與（8.3.6）所示，且,在原假設H0：12 =22=r2成立下，Box還證明了統(tǒng)計量 的近似分布是F分布F(f1, f2)，對給定的顯著性水平 ，該檢驗的拒絕域為 （8.3.10） 其中f2的值可能不是整數(shù)，這時可通過對F分布的分位數(shù)表施行內(nèi)插法得到分位數(shù)。,例8.3.3 對例8.3.2中的綠茶葉酸含量的數(shù)據(jù)，我們用修正的Bartlett檢驗再一次對等方差性作出檢驗。 在例8.3.2中已求得：C=1.0856，B=0.9