固體物理第五章習(xí)題.ppt

1、1,第五章 習(xí)題,2,1. 晶格常數(shù)為a的一維晶體中，電子的波函數(shù)為（1） （2） ，f是某一函數(shù)，求電子在以上狀態(tài)中的波矢。,3,由固體物理教程（5.14）式,求解,可知，在一維周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)滿足,由此得,于是,（1）,因此得,4,若只取布里淵區(qū)內(nèi)的值：,則有,（2）,令,得,由上式知,所以有,由此得在布里淵區(qū)內(nèi)的值為k=0。,5,2. 一維周期勢(shì)場(chǎng)為,其中a=4b，W為常數(shù)，試畫出此勢(shì)能曲線，并求出勢(shì)能的平均值。,6,圖：一維周期勢(shì)場(chǎng),求解,7,由圖所示，由于勢(shì)能有周期性。因此只有一個(gè)周期內(nèi)求平均即可，于是得,8,3. 用近自由電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個(gè)禁帶寬度。

2、,9,根據(jù)教科書（5.35）式知禁帶寬度的表達(dá)式為Eg=2|Vn|，其中Vn是周期勢(shì)場(chǎng)V(x)付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)可由固體物理教程（5.22）式,求解,求得,第一個(gè)禁帶寬度為,10,第二禁帶寬度為,11,5. 對(duì)簡立方結(jié)構(gòu)晶體，其晶格常數(shù)為a。 （1）用緊束縛方法求出對(duì)應(yīng)非簡并s態(tài)電子能帶； （2）分別畫出第一布里淵區(qū)110方向的能帶、電子的平均速度、有效質(zhì)量以及沿110方向有恒定電場(chǎng)時(shí)的加速度曲線。,12,求解,非簡并s態(tài)電子的能帶,式中Rn是晶格參考格點(diǎn)的最近鄰格矢。 對(duì)于簡單立方晶體，任一格點(diǎn)有6個(gè)最近鄰，取參考格點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 0, 0)， 6個(gè)最近鄰坐標(biāo)為,簡單立方晶體非簡并s

3、態(tài)電子的能帶則為,13,（2）在110方向上 能帶變成,其中,在110方向上，在第一布里淵區(qū)內(nèi)，電子的能帶如圖所示,14,電子的平均速度,平均速度曲線,15,有效質(zhì)量曲線,電子的有效質(zhì)量,16,在110方向上有恒定電場(chǎng)情況下，電子受的力,電子的加速度,設(shè)電場(chǎng)方向與110方向相反，加速度曲線則如圖,17,7用緊束縛方法處理體心立方晶體，求出 (1) s態(tài)電子的能帶為,(2) 畫出第一布里淵區(qū)111方向的能帶曲線； (3) 求出帶底和帶頂電子的有效質(zhì)量.,18,(1)用緊束縛方法處理晶格的s態(tài)電子，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，其能帶的表示式為,解答,是最近鄰格矢,對(duì)體心立方晶格，取參考格點(diǎn)的坐

4、標(biāo)為（0, 0, 0） 則個(gè)最近鄰格點(diǎn)的坐標(biāo)為,19,將上述8組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得,20,(2) 在111方向上,其中,且第一布里淵區(qū)邊界在,于是能帶化成,第一布里淵區(qū)111方向的能帶曲線,21,(3) 由能帶的表示式及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng) kx=ky=kz=0時(shí)，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能帶底，電子有效質(zhì)量為,同理可得,其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)全為零,22,而在布里淵區(qū)邊界上的,處是能帶頂，電子的有效質(zhì)量為,其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)也全為零,23,13平面正三角形結(jié)構(gòu)，相鄰原子間距為a，試求 (1) 正格矢和倒格矢； (2) 畫出第一和第二布里淵區(qū)，求第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓半徑,24,(1

5、) 正格原胞的基矢如圖所示取為,解答,i和j是相互垂直的單位矢量,取單位矢量k垂直與i和j,構(gòu)成的體積,則,倒格原胞的基矢為,25,(2) 選定一例格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)的最近鄰倒格矢有6個(gè)，它們是：b1, b2, (b1+b2),這6個(gè)倒格矢中垂線圍成區(qū)間構(gòu)成了兩部分：以原點(diǎn)為對(duì)稱心正六邊形是第一布里淵區(qū)正六邊形外的6個(gè)三角形部分是第二布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓半徑,26,19證明迪阿哈斯范阿耳芬效應(yīng)的周期為,其中是kz=0平面在費(fèi)密球上所截出的面積,27,由熱力學(xué)可知，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B增加dB時(shí)，磁場(chǎng)H所作的功,解答,即系統(tǒng)內(nèi)能的微分,其中Vc是晶體體積,由電磁學(xué)可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)和磁化率的

6、關(guān)系是,28,由(1)，(2)兩式可得,其中0是真空中的磁導(dǎo)率由上式可以看出，磁化率隨磁場(chǎng)的倒數(shù)作振蕩，應(yīng)是系統(tǒng)內(nèi)能微商U/B隨1/B作振蕩的反映,當(dāng)不存在磁場(chǎng)時(shí)，能態(tài)在波矢空間分布是均勻的當(dāng)由磁場(chǎng)存在時(shí)，能態(tài)重新分布，磁場(chǎng)的作用使電子的量子態(tài)高度簡并，此時(shí)電子的狀態(tài)密度為,29,令,則電子系統(tǒng)的能量,對(duì)上式求微分,30,可見，每當(dāng)時(shí)，U/B將成為極大值，磁化率將變成極小值 設(shè)B=Bi時(shí)， 對(duì)應(yīng)磁化率的一個(gè)極小值，相鄰的一個(gè)極小值對(duì)應(yīng)B=Bi+1,因?yàn)?所以,式中有一項(xiàng),31,上式的(1/B)是一個(gè)固定的常量，這說明，每當(dāng)兩個(gè)1/B的間距(周期)等于這一常量時(shí)，磁化率 曲線就多一個(gè)極小也就是說，磁化率以磁場(chǎng)倒數(shù) （1/B）作振蕩 因?yàn)閗z=0的平面在費(fèi)密球上截得的圓面積 費(fèi)密能 所以有,其中我們假設(shè)Bi+1大于Bi，由以上兩式可得,32,20從E=E0到E=EF能帶都為,其中mx, my, mz都是大于零常數(shù)求電子能態(tài)密度,其中n為單位體積內(nèi)的電子數(shù),33,由已知條件可將波矢空間內(nèi)電子能帶滿足的方程化為,解答,將上式與橢球公式,比較可知在波矢空間內(nèi)電子等能面是一橢面， 與橢球的體積4abc/3比較可得到