線性代數(shù)課件--05矩陣的初等變換與初等矩陣.ppt

1、課件,1,線 性 代 數(shù) 電子教案之五,課件,2,主要內(nèi)容,第五講 矩陣的初等變換與初等矩陣,矩陣的初等變換的概念；,階梯形矩陣的概念；,矩陣等價的概念；,三種初等矩陣，初等矩陣與初等變換的聯(lián)系.,基本要求,熟悉掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩 陣，知道矩陣等價的概念；,知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián) 系，掌握用初等變換求可逆矩陣的逆陣的方法.,課件,3,一、概念的引入,第一節(jié) 矩陣的初等變換,引例 用消元法求解線性方程組,解,析：為了引入概念，在消元的過程中，把方程組看作一個整體，不是著眼于某一個方程的變形，而是著眼于整個方程組變成另一個方程組.,3,課件,4,2,為消去 做準(zhǔn)

2、備,課件,5,3,至此消元完畢，為了求出方程組的解，再只需用 “回代”的方法即可：,課件,6,于是解得,其中 可任意取值.,若令 ，則方程組的解為,課件,7,說明,求解線性方程組可分為消元與回代兩過程。消元 過程的實質(zhì)，就是通過一系列方程組的同解變換 找到一個形式上較簡單的方程組，然后進(jìn)行回代， 這里方程組的同解變換是指下列三種變換：,對調(diào)兩個方程；,以不為零的數(shù)乘某一個方程；,把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.,從原方程組 同解變換到方程組 的過程可見， 除去代表未知數(shù)的文字外，矩陣與方程組是一一 對應(yīng)的.換言之，方程組有沒有解，有什么樣解完 全由各方程組的系數(shù)和常數(shù)項連同它們相互位置 所成

3、數(shù)表，即增廣矩陣所決定.而且，對方程組作 同解變換，相當(dāng)于對它的增廣矩陣作相應(yīng)的變換.,Go,課件,8,由此可知，方程組的三種同解變換很自然地要引 入到矩陣上，導(dǎo)出矩陣矩陣的三種初等行變換.,同時，必須注意，原方程組能同解變換成什么樣 的最簡單方程組，就是相當(dāng)于增廣矩陣在初等行 變換下能變成什么樣的最簡單矩陣（行最簡形矩 陣）.,就本例來說，四個未知數(shù)劃分為自由未知數(shù) 和 非自由未知數(shù),課件,9,二、初等變換定義和記號,1. 定義,下面三種變換稱為矩陣的初等行變換,（1）對調(diào)兩行；,說明,把上述的定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的 初等列變換的定義.,矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等

4、變換.,（2）以數(shù) 乘某一行中的所有元素；,（3）把某一行所有元素的 倍加到另一行對應(yīng)的 元素上去.,課件,10,2. 記號,對調(diào) 兩行，記作,對調(diào) 兩列，記作,第 行乘 ，記作,第 列乘 ，記作,第 行的 倍加到第 行上，記作,第 列的 倍加到第 列上，記作,課件,11,3. 初等變換的逆變換,變換 的逆變換為,變換 的逆變換為,變換 的逆變換為,課件,12,三、矩陣等價,1. 定義,2. 矩陣之間的等價關(guān)系具有的性質(zhì),反身性,對稱性,傳遞性,課件,13,四、階梯形矩陣,首先用矩陣的初等行變換來解方程組(1)，并 把其過程與消元法過程一一對照.,Go,2. 行階梯形矩陣,其特點(diǎn)是：可畫出一條

5、階梯 線，線的下方全為0；每個臺 階只有一行，臺階數(shù)即是非 非零行的行數(shù)；階梯線的豎 線后面的第一個元素為非零 元，稱為首非零元.,行階梯形矩陣:自上而下，每個非零行的首非零元 前面的零的個數(shù)依次增加；零行在最下方.,說明,課件,14,3. 行最簡形矩陣,其特點(diǎn)是:是階梯形矩陣；非 零行的第一個非零元（首非 零元）為；首非零元所在 的列的其它元素都為,結(jié)論,對于任何矩陣，總可經(jīng)過有限次初等行變換 把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的.,一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的.,課件,15,4. 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,其特點(diǎn)是: 左上角是一個單位 矩陣，其余元素全為0.,結(jié)

6、論：對于 矩陣 ，總可經(jīng)過初等變換把它化為標(biāo)準(zhǔn)形,課件,16,例1 下列四個矩陣中，哪些是行最簡形？,解,矩陣 和 是行最簡形矩陣.,課件,17,例2 設(shè) ，把 化成行最簡形.,解,將 元化為1,課件,18,將 元化為1,這已是階梯形矩陣,再化為行最簡形,課件,19,特別注意,把矩陣化為行最簡形，不可以用初等列變換.,把最后的行最簡形記作 ，則有下面的結(jié)論：,可以驗證得 即,說明,課件,20,五、小結(jié),利用初等行變換，把一個矩陣化為行階梯形矩陣 和行最簡形矩陣，是一種十分重要的運(yùn)算. 由引 例可知，要解線性方程組只需將增廣矩陣化為行 最簡形.,行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的比較,課件,21,一、

7、初等矩陣,第二節(jié) 初等矩陣,1. 定義,由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為 初等矩陣.,2. 三種初等矩陣,1）對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列,課件,22,2）以數(shù) 乘某行或某列,說明,是由 經(jīng)過對調(diào)第 兩行（或第 兩列），得到的初等矩陣.,是以數(shù) 乘 第 行(或第 列)，得到的初等矩陣.,說明,課件,23,3）將某行（列）的 倍加到另一行（列）上,說明,是將 的第 行的 倍加到第 行 （或是將 的第 列的 倍加到第 列），得 到的初等矩陣.,課件,24,3.初等矩陣的逆矩陣,初等矩變換對應(yīng)初等矩陣，由初等變換可逆，可 知初等矩陣可逆，并且此初等變換的逆變換也就 對應(yīng)此初等矩陣的逆矩陣：,課件,2

8、5,二、.初等矩陣與初等變換的聯(lián)系,引例,說明 用 左乘矩陣 ，相當(dāng)于對矩陣 施行 一次初等行變換：將 的第 2、4 兩行對調(diào).,課件,26,說明 用 右乘矩陣 ，相當(dāng)于對矩陣 施行 一次初等列變換：將 的第 2、4 兩列對調(diào).,課件,27,用初等矩陣 左乘矩陣 ，其結(jié)果相 當(dāng)于將矩陣 的第 兩行對調(diào)；,用初等矩陣 右乘矩陣 ，其結(jié)果相 當(dāng)于將矩陣 的第 兩列對調(diào)；,2.用 左乘矩陣 ，其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù) 乘矩陣的第 行；,用 右乘矩陣 ，其結(jié) 果相當(dāng)于以數(shù) 乘矩陣的第 列.,3. 用 左乘矩陣 ，其結(jié)果相當(dāng)于把 的第 行的 倍加到第 行上；,用 右乘矩陣陣 ，其結(jié)果相當(dāng)于把 的第 列的 倍加到

9、第 列上.,課件,28,定理1,設(shè) 是一個 矩陣，對 施行一次初等行變換， 相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相 應(yīng)的 階初等矩陣.,注意,以上結(jié)論都遵循“左行右列”的規(guī)則.,課件,29,三、初等矩陣的應(yīng)用,1. 有關(guān)結(jié)論,定理2,方陣 可逆的充要條件是存在有限個初等 矩陣 ，使,證,析：這是一條十分重要的定理，它反映了可逆 矩陣的一個特性：可以分解為初等矩陣的乘積.,先證充分性.,設(shè),因為初等矩陣可逆，有限個 可逆矩陣的乘積仍可逆，故 可逆.,再證必要性.,設(shè) 階方陣 可逆，且 的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為 ，,課件,30,因為 可逆， 也都可逆，所以,可

10、逆，即有,因此在 中既沒有零行又沒有零列，,再注意到,是矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形，故必有 ，從而,說明,上述的證明顯示，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為單位陣；其 實還可以證明可逆矩陣的行最簡形也是單位陣.,課件,31,推論1,推論2,矩陣 與 等價的充分必要條件是 存在 階可逆矩陣 及 階可逆矩陣 ， 使,證明,證明,課件,32,2. 初等變換法求可逆矩陣的逆陣和矩陣方程的解,問題：,當(dāng) 不可逆時，在后面章節(jié)討論；,當(dāng) 可逆時,1,2,3,課件,33,1,2,3,由于 是初等矩陣， 所以 也是初等矩陣. 因此,課件,34,初等變換法解矩陣方程 ：,1）寫分塊矩陣 ；,2）用初等行變換化為行最簡形；,說明,的行最簡形

11、不是 的情形，后面討論；,當(dāng) 時，上述的過程就是求可逆矩陣 的逆 陣,當(dāng) 時，上述的過程就是求方程組 的 唯一解,課件,35,解,析：本例涉及若干個相同系數(shù)矩陣的線性方程 組同時求解的問題.為此，要搞清楚它們與矩陣 方程的聯(lián)系：,令,例3,設(shè),求線性方程組 和 的解.,則兩個線性方程 組可合成一個矩陣方程,課件,36,課件,37,課件,38,課件,39,課件,40,這已是一個行最簡形矩陣,課件,41,可見 ，,因此 可逆，且,即線性方程組 和 的解依次為,課件,42,例4 求解矩陣方程 ，其中,解,在矩陣運(yùn)算時，要注意左乘與右乘,課件,43,課件,44,課件,45,課件,46,課件,47,可見 ，,因此 可逆，且,課件,48,總結(jié),這個例題是一個非常簡單的矩陣方程求解問題，但與上一章計算方法不同，這里是用初等變換法，具體方法是,即解決了,這比上一章先判定 的可逆性，進(jìn)而求其逆，再計算乘積 計算上要簡單許多.在解類似問題時多采用此方法。,課件,49,矩陣方程 的初等變換解法：,1. 用初等列變換,則 ，,且,2. 用初等行變換,則 ，,且,課件,50,四、小結(jié),初等矩陣是比較重要的一類矩陣，它與初等變換 的聯(lián)系是：,對 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊 乘以相應(yīng)的初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣.,求可逆矩陣的逆陣的方法：,