華東交通大學概率論第一章

1、課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學,學科, 理論嚴謹, 應用廣泛, 發(fā)展迅速. 目前, 不,僅高等學校各專業(yè)都開設了這門課程, 而且從,上世紀末開始，這門課程特意被國家教委定為,本科生考研的數(shù)學課程之一，希望大家能認真,學好這門不易學好又不得不學的重要課程.,教材 概率論及其統(tǒng)計應用,主要教學參考書,汪忠志等編 合肥工業(yè)大學出版社 2005年,國內有關經典著作,國外有關經典著作,本學科的 A B C,概率(或然率或幾率) 隨機事件出現(xiàn),的可能性的量度 其起源與博弈問題有關.,16世紀意大利學者開始研究擲骰子等賭博,中的一些問題；17世紀

2、中葉，法國數(shù)學家B. 帕,斯卡、荷蘭數(shù)學家C. 惠更斯 基于排列組合的方,法，研究了較復雜 的賭博問題， 解決了“ 合理,分配賭注問題” ( 即得分問題 ).,概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象數(shù)量,規(guī)律的 數(shù)學分支學科.,發(fā)展則在17世紀微積分學說建立以后.,基人是瑞士數(shù)學家J.伯努利；而概率論的飛速,第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè),與管理的復雜化產生了運籌學、系統(tǒng)論、信息,論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計學等學科.,數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、,整理和分析帶有隨機性的數(shù)據，以對所考察的,問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策,和行動提供依據和建議的 數(shù)學分支學科.,論；使 概率論 成為

3、 數(shù)學的一個分支的真正奠,對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產生了概率,統(tǒng)計方法的數(shù)學理論要用到很多近代數(shù)學,知識，如函數(shù)論、拓撲學、矩陣代數(shù)、組合數(shù),學等等，但關系最密切的是概率論，故可以這,樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎，數(shù)理統(tǒng)計,學是概率論的一種應用. 但是它們是兩個并列,的數(shù)學分支學科，并無從屬關系.,本學科的應用,概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有,科學技術領域、工農業(yè)生產和國民經濟的各個,部門中. 例如,1. 氣象、水文、地震預報、人口控制及預,測都與 概率論 緊密相關；,2. 產品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在,3. 尋求最佳生產方案要進行 實驗設計 和,數(shù)據處理；,臨床中應用，均需要

4、用到 假設檢驗；,5. 探討太陽黑子的變化規(guī)律時，時間序列,7. 在生物學中研究群體的增長問題時 提出,了生滅型 隨機模型，傳染病流行問題要用到多,過程 來描述;,6. 研究化學反應的時變率，要以 馬爾可夫,分析方法非常有用;,變量非線性生滅過程；,4. 電子系統(tǒng)的設計, 火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射,8. 許多服務系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、,都離不開 可靠性估計;,購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率,模型來描述，其涉及到 的知識就是 排隊論.,目前，概率統(tǒng)計理論 進入其他自然科學領,域的趨勢還在不斷發(fā)展. 在社會科學領域 ，特,別是經濟學中研究最優(yōu)決策和經濟的穩(wěn)定增長,等問題，都大量采用 概率

5、統(tǒng)計方法. 正如法國,數(shù)學家 拉普拉斯所說 : “ 生活中最重要的問題，,其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題.”,機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調度、,第一章 隨機事件及其概率,1.1 基本概念,1.1.1 隨機現(xiàn)象,1.1.2 隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,1.1.3 樣本空間,1.1.4 隨機事件及其運算,生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質 上只是概率的問題 . -拉普拉斯,我又轉念，見日光之下，快跑的人未必能贏， 力戰(zhàn)的未必得勝，智慧的未必得糧食，明哲的未 必得資財，靈巧的未必得喜悅，所臨到眾人的， 是在乎當時的機會. -傳道書,第一章 隨機事件及其概率,概率論是研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)

6、學 分支，為了對隨機現(xiàn)象的有關問題作出明確 的數(shù)學描述，像其它數(shù)學學科一樣，概率論 具有自己的嚴格的體系和結構。本章重點介 紹概率論的兩個基本概念：隨機事件和概率。,1.1 基本概念,1.1.1 隨機現(xiàn)象,客觀世界中存在著兩類現(xiàn)象，一類是在一定的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為必然現(xiàn)象：另一類是在一定的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為隨機現(xiàn)象。,在重力的作用下，物體的位移隨時間變化的函數(shù)x(t)，由二階微分方程 來描述，其中g為 重力加速度，這是確定的，必然的。,隨機現(xiàn)象 擲一枚硬幣,觀察向上的面; 下一個交易日觀察股市的指數(shù)上升情況; 某人射擊一次,考察命中環(huán)數(shù); 從一批產品中抽取一件,

7、考察其質量; ,確定性現(xiàn)象 拋一石塊,觀察結局; 導體通電,考察溫度; 異性電菏放置一起,觀察其關系; ,1.1.2 隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,雖然隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)什么樣的結果不能事先 預言，但是可以假定全部可能結果是已知的。在,上述例子中，拋擲一枚硬幣只會有“正面”與“反面”這兩種可能結果，而股指的升跌幅度大小充其,量假定它可能是任意的實數(shù)?？梢姟叭靠赡艿慕Y,果的集合是已知的”這個假定是合理的，而且它會給我們的學習研究帶來許多方便。,進行一次試驗，如果其所得結果不能完全預知，但其全體可能結果是已知的，則稱此試驗為隨機試驗，一般地，一個隨機試驗要具有下列特點：,（1） 可重復性：試驗原則上可在相同

8、條件下 重復進行; （2） 可觀察性：試驗結果是可觀察的，所有 可能的結果是明確的； （3） 隨機性：每次試驗將要出現(xiàn)的結果是不確定的，事先無法準確預知。,由于隨機現(xiàn)象的結果事先無法預知，初看起來，隨機現(xiàn)象毫無規(guī)律可言。然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機現(xiàn)象在大量重復出現(xiàn)時，其每種可能的結果,出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性，從而表明隨機現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。這一點被歷史上許多人的試驗所證明。,表1.1拋擲硬幣試驗,試驗者,拋硬幣次數(shù),出現(xiàn)正面次數(shù),出現(xiàn)正面頻率,Buffon,De Morgan,Feller,Pearson,Pearson,Lomanovskii,4040,4092,10000,12000,240

9、00,80640,2048,2048,4979,6019,12012,39699,0.5069,0.5005,0.4979,0.5016,0.5005,0.4923,表1.1列出Buffon等人連續(xù)拋擲均勻硬幣所得的結果。從表中數(shù)據可以看到，當拋擲次數(shù)很大時，正面出現(xiàn)的頻率非常接近0.5，就是說，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的機會差不多各占一半。,上面的試驗的結果表明，在相同條件下大量地重復某一隨機試驗時，各可能結果出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某個確定的數(shù)值附近。稱這種性質為頻率的穩(wěn)定性。頻率的穩(wěn)定性的存在，標志著隨機現(xiàn)象也有它的數(shù)量規(guī)律性。概率論就是研究隨機現(xiàn)象中數(shù)量規(guī)律的數(shù)學學科。,1.1.3 樣本空間,隨機試

10、驗的每一個可能的結果稱為一個樣本點，因而一個隨機試驗的所有樣本點也是明確的，它們的全體，稱為樣本空間，習慣上分別用 與 表示樣本點與樣本空間。,.w,樣本點w,如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成：,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),樣本空間在如下意義上提供了一個理想試驗的模型：,在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn) .,例1.1.1 拋擲兩枚硬幣觀察其正面與反面出現(xiàn)的情況。其樣本空間由四個樣本點組成。即 =（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。這里，比如樣本點 =（正，反）表示第一枚硬幣拋出正面而第二枚拋得反面。,例1.

11、1.2 觀察某電話交換臺在一天內收到的呼叫次數(shù)，其樣本點有可數(shù)無窮多個：i次，i=0,1,2, , 樣本空間為=0次，1次，2次, ,例1.1.4 觀察一個新燈泡的壽命，其樣本點也有無窮多個：t小時， 樣本空間為：,例1.1.3 連接射擊直到命中為止。為了簡潔地寫出其樣本空間，我們約定以“0”表示一次射擊未中，而以“1”表示命中。則樣本空間 =1，01，001， 0001， ,寫出下列各個試驗的樣本空間: 1 擲一枚均勻硬幣，觀察正面(H)反面(T)出現(xiàn)的情況； 2.將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的情況； 3.某袋子中裝有5個球,其中3個紅球,編號A、B、 C,有2 個黃球，編號D、F，現(xiàn)從

12、中任取一個球,觀察顏色.若是觀察編號呢？,課堂練習,4.在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù)。 5.從自然數(shù) 1,2,3,N(N 3)中接連隨意取三個,每取一個還原后再取下一個.若是不還原呢？若是一次就取三個呢？ 6.接連進行n次射擊,記錄命中次數(shù).若是記錄n次射擊中命中的總環(huán)數(shù)呢？ 7.觀察某條交通干線中某天交通事故的次數(shù)。,1.1.4 隨機事件及其運算,我們時常會關心試驗的某一部分可能結果是否出現(xiàn)。稱這種由部分樣本點組成的試驗結果為隨機事件，簡稱事件。通常用大寫的字母 等表示。某事件發(fā)生，就是屬于該集合的某一樣本點在試驗中出現(xiàn)。記 為試驗中出現(xiàn)的樣本點，那么事件A發(fā)生當且僅當 時發(fā)生。由于樣本空

13、間 包含了全部可能結果，因此在每次,試驗中 都會發(fā)生，故稱 為必然事件。相反，空集 不包含任何樣本點，每次試驗必定不發(fā)生，故稱 為不可能事件。,1.事件的包含,如果事件A發(fā)生必然導致B發(fā)生，即屬于A的每一 個樣本點一定也屬于B，則稱事件B包含事件A，或 稱事件A包含于事件B。記作,2.事件相等,如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，則 稱事件A與B相等。記作 A=B。,3.事件的并,“事件A與B至少有一個發(fā)生”這一事件稱作 事件A與B的并，記作,4. 事件的交,“ 事件A與B都發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的交,記作 或 。,5. 事件的差,“ 事件A發(fā)生而B不發(fā)生”這一事件稱作 事件A與B

14、的差, 記作 A-B .,事件A與B不能同時發(fā)生，也就是說AB是不可能事件,即AB=空集則稱A與B是互不相容事件.,6. 互不相容事件,7. 對立事件,“事件A不發(fā)生”這一事件稱作事件A的對立事件，記作 ，易見， .,為了幫組大家理解上述概念，現(xiàn)把集合論的有關結論與事件的關系和運算的對應情況列舉如下：,完備事件組,推廣:,注:,1.設事件A=甲種產品暢銷，乙種產品滯銷， 則A的對立事件為（ ） 甲種產品滯銷，乙種產品暢銷； 甲、乙兩種產品均暢銷； 甲種產品滯銷； 甲種產品滯銷或者乙種產品暢銷。 2.設x表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質點位 置，試說明下列各對事件間的關系 A=|x-a|,B=x-a

15、(0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19,課堂練習,A與B對立,A與B互斥,思考題: 設A、B、C為任意三個事件,試用它們表示下列事件: (1) A、B出現(xiàn)，C不出現(xiàn)； (2) A、B、C中恰有一個出現(xiàn)； (3) A、B、C中至多有一個出現(xiàn)； (4) A、B、C中至少有一個出現(xiàn).,解答:,Application 1,Question What is the probability of rolling an even number with one dice? a number greater than 3 with one dice?,Solution The sample s

16、pace for rolling one dice is S = 1,2,3,4,5,6. Lets say event A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3. then, A= 2,4,6 and B= 4,5,6 a) P(A) = = = b) P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3,Application 2,Question There are three white balls and 5 red balls in the plastic bag. What is t

17、he probability of choosing a white ball? (event A) two red balls? (event B) a white ball and three red balls? (event C),Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8

18、 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosing 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7,Check your understanding!,Q.1 What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? () Q.2 Ther

19、e are two dice and they are rolled simultaneously. What is the probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. ( ) Q.3 A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than th

20、e first one? ( ),Q.4 There are 20 numbers on the board and a student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? ( ) Q.5 The set A has elements of a1, a2, a3, a4, .,a10. If I were to ch

21、oose a subset, what is the probability of choosing the subset that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) () LETS FIND OUT THE ANSWERS!,Answer Key,Q.1 Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 Q.2 There are 36 outcomes in total as each dice has 6 numb

22、ers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple -coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/18,Q.3 Based on the chart

23、, there are 5+4+3+2+1 outcomes for the event A. Since it involves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 Q.4 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95 Q.5 The

24、total number of subset for A is 210. To calculate the number of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of a4, a5, a6.a10 , and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of a4, a5, a6.a10 . Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8,1.2 隨機事件的概率,1.2.1 概

25、率和頻率,1.2.2 組合記數(shù),1.2.3 古典概率,1.2.4 幾何概率,1.2.5 主觀概率,1.2 隨機事件的概率,1.2.1 概率和頻率,概率論研究的是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。對于隨機試驗，如果僅知道可能出現(xiàn)哪些事件是不夠的，更重要的是要知道各個事件發(fā)生可能性大小的量的描述（即數(shù)量化）.這種量的大小我們稱為事件的概率。,隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生帶有偶然性，但大量試驗中，它的發(fā)生具有統(tǒng)計規(guī)律性，人們可以確定隨機事件發(fā)生的可能性大小。,若隨機事件A在 n 次試驗中發(fā)生了m 次，則量 稱為事件A在n 次試驗中 發(fā)生的頻率，記作 ，即： .,它滿足不等式：,如果A是必然事件,有m=n,則 ;

26、,如果A是不可能事件，有m=0,則 ;,就是說： 必然事件的頻率為1，不可能事件的頻率為0。,的客觀規(guī)律性，它是事件A在一次隨機試驗時發(fā)生可 能性大小的度量。,隨機事件A發(fā)生的頻率，總是在某個確定值p附近徘徊， 而且試驗次數(shù)越多，事件A的頻率就越來越接近p,數(shù)p 稱為頻率的穩(wěn)定中心，頻率的穩(wěn)定性揭示了隨機現(xiàn)象,的頻率具有穩(wěn)定性。一般地，在大量重復試驗中，,表1-1可以看出，隨著試驗次數(shù)n的增加,A發(fā)生的頻 率圍繞0.5這個數(shù)值擺動的幅度越來越小。即隨機事件 A發(fā)生,投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù),n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, n

27、H =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,頻率穩(wěn)定性的實例,蒲豐( Buffon )投幣,皮爾森( Pearson ) 投幣,如: Dewey G. 統(tǒng)計了約438023個英語單詞 中各字母出現(xiàn)的頻率, 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn) 的頻率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.07

28、06 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,概率的 統(tǒng)計定義：,在相同條件下重復進行的 n 次,試驗中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一,常數(shù) p 附近擺動, 且隨 n 越大擺動幅度越,小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).,優(yōu)點：直觀 易懂,缺點：粗糙 模糊,不便 使用,1.2.2 組合記數(shù),排列: 從 n 個不同的元素中取出 m 個 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的

29、 排法共有,全排列:,組合: 從 n 個不同的元素中取出 m 個(不放 回地）組成一組， 不同的分法共有,重復組合: 從 n 個不同元素中每次取出一個， 放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的組合 稱為重復組合，此種重復組合數(shù)共有,例如:,兩批產品各50件,其中次品各5件,從這兩批產品中各抽取1件, (1)兩件都不是次品的選法有多少種? (2)只有一件次品的選法有多少種?,解 (1) 用乘法原理,結果為,(2)結合加法原理和乘法原理得選法為:,古典概型 設為試驗E的樣本空間，若 （有限性）只含有限個樣本點; （等概性）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等; 則稱E為古典概型。,古典概型概率的定義,設E

30、為古典概型,為E的樣本空間,A為任意一個事件，定義事件A的概率為:,1.2.3 古典概率,(1) 古典概型的判斷方法（有限性 、等概性）； (2) 古典概率的計算步驟： 弄清試驗與樣本點; 數(shù)清樣本空間與隨機事件中的樣本點數(shù); 列出比式進行計算。,注意:,概率的性質：,例1.2. 將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率： （1）兩次擲得的點數(shù)之和為8；（2）第二次擲得3點.,表示“點數(shù)之和為8”事件，,表示“第二次擲得3點”事件,解：設,所以,則,例1.2. 箱中有6個燈泡,其中2個次品4個正品,有放回地從中任取兩次,每次取一個,試求下列事件的概率： （1）取到的兩個都是次品;（2）取到的兩

31、個中正、次品各一個,（3）取到的兩個中至少有一個正品.,解： 設A =取到的兩個都是次品，B=取到的兩個中正、次品各一個, C=取到的兩個中至少有一個正品.,（1）樣本點總數(shù)為62，事件A包含的樣本點數(shù)為22，,所以 P(A)=4/36=1/9,（2）事件B包含的樣本點數(shù)為42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）事件C包好的樣本點數(shù)為62-22=32，,所以P(C )=32/36=8/9,思考：若改為無放回地抽取兩次呢? 若改為一次抽取兩個呢？,幾何概型 設為試驗E的樣本空間，若 試驗的樣本空間是直線上某個區(qū)間，或者面、空間上的某個區(qū)域，從而含有無限多個樣本點; 每個樣本點

32、發(fā)生具有等可能性 ; 則稱E為幾何概型。,幾何概型概率的定義,設試驗的每個樣本點是等可能落入區(qū)域上的隨機點M，且D含在內,則M點落入子域D(事件A)上的概率為:,1.2.4 幾何概型(等可能概型的推廣),例1.2.3 某人的表停了，他打開收音機聽電臺報時， 已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時間短于 十分鐘的概率.,9點,10點,10分鐘,及,在,是區(qū)間時，表示相應的長度；在,是平面或空間區(qū)域時，表示相應的面積或體積,注：,幾何概率的性質：,兩兩互不相容,例1.2.4 兩船欲?？客粋€碼頭, 設兩船到達碼頭的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內是等可能的.如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留

33、的時間分別是1 小時與2 小時,試求在一晝夜內，任一船到達時，需要等待空出碼頭的概率.,解: 設船1 到達碼頭的瞬時為 x ，0 x 24 船2 到達碼頭的瞬時為 y ，0 y 24,設事件 A 表示任一船到達碼頭時需要等待 空出碼頭,注：用幾何概型可以回答例1.2.4中提出的“概率為1的事件為什么不一定發(fā)生?”這一問題.,如圖，設試驗E 為“ 隨機地向邊,長為1 的正方形內黃、藍兩個三 角形投點” 事件A 為“點投在黃、 藍兩個三角形內” , 求,由于點可能投在正方形的對角線上, 所以,事件A未必一定發(fā)生.,1.2.5 主觀概率,概率的相對頻率的解釋是一種很有用的解釋，但有時它難以應用于必須

34、估計其概率的特定的實際問題.可能沒有合理的自然的“試驗”能重復很多次，致使我們可以計算某種結果出現(xiàn)的相對次數(shù).,例如，有什么試驗能讓你來估計下一個十年中唐山可能發(fā)生災難性地震的概率呢？這里，不確定性在我們的頭腦里，并非在現(xiàn)實之中.,統(tǒng)計界的貝葉斯學派認為：一個事件的概率是人 們根據經驗對該事件發(fā)生的可能性所給出的.這樣給出 的概率稱為主觀概率.,1. 概率的定義與性質,1.3.1 概率的公理化定義,1.3.2 概率的基本性質,1.3.1 概率的公理化定義,前面分別介紹了統(tǒng)計概率定義、古典概率及幾何概率的定義，它們在解決各自相適應的實際問題中，都起著很重要的作用，但它們各自都有一定局限性.,為了

35、克服這些局限性，1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學家 柯爾莫哥落夫在綜合前人成果的基礎上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定義，為現(xiàn)代概率 論的發(fā)展奠定了理論基礎.,概率的公理化的定義:,(2)規(guī)范性,(1)非負性,兩兩互不相容,設,是給定的實驗E的樣本空間，對其中的任意一 事件A，規(guī)定一個實數(shù)P(A)，若P(A)滿足：,則,則稱P(A)為事件A的概率.,1.3.2 概率的公理化定義,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)若AB=,則P(A+B)=P(A)+P(B),可推廣 到有限個互斥事件的情形.即:若A1,A2,An兩兩互斥,則 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(

36、An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,則P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推廣到有限個事件的情形.,證明 (3),A=(A-B)+AB,A-B和AB為互斥事件,所以由(2)得,P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB).,P(A+B)=PA+(B-AB),證明:(4),=P(A)+P(B-AB),=P(A)+P(B)-P(AB),類似

37、可證其他.,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1.3.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8， 求 B的逆事件的概率。,所以，P（ ）=1-0.2=0.8,解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考: 在以上條件下，P（A-B）=？,例1.3.2 設事件A發(fā)生的概率是0.6，A與B都發(fā)生的 概率是0.1，A與B都不發(fā)生的概率為0.15 ,求:A發(fā)生 B不發(fā)生的概率；B發(fā)生A不發(fā)生的概率及P(A+B).,解: 由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P( )=0.15，,則 P(A-B)=P(A-AB)=P

38、(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P =1-0.15=0.85,又因為P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,從而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6,求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB),解答:(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=

39、1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,課堂練習,A、B都出現(xiàn)的概率與 A、B 都不出現(xiàn)的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解答,所以,P(B)=1-P(A)=1-p,4某系一年級有l(wèi)00名學生，統(tǒng)計他們考試的成績： 政治、數(shù)學、物理、英語四門課程得優(yōu)等成績的人數(shù) 分別依次為85，75 70，80.證明：這四門課程全優(yōu)的 學生至少有10人.,1.4 條件概率,1.4.1 引例,1.4.2 條件概率的定義,1.4.3 條件概率的性質,1.4.4 乘法公式,1.4.5 全概率公式,1.4.6 貝葉斯 Bayes公式,在實際問題中，往往會遇到求：,在事件B已經出

40、現(xiàn)的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B).,由于附加了條件，P(A)與 P(A|B)意義不同，一般 P(A|B) P(A),先看一個例子,1.4.1 引例：擲一顆均勻骰子,B=擲出偶數(shù)點，,P(A|B)=？,由于已知事件B已經發(fā)生，所以此時試驗所有可能結果只有3種，而事件A包含的基本事件只占其中一種，故有,P(A|B)= 1/3,A=擲出2點，,解：擲一顆均勻骰子可能的結果有6種，且它們的出現(xiàn)是等可能的。,P(A)=1/6,上例中 P(A|B) P(A),它們不相等的原因在于“事件B已發(fā)生”這個新條件改變了樣本空間.,設邊長為1個單位 的正方形的面積 表示樣本空間S,其中封閉曲線 圍成的

41、一切點 的集合表示事件 A,把圖形的面積理解為相應事件的概率,則 P(A)=,A的面積/S的面積,A的面積,如果B發(fā)生，那么使 得A發(fā)生當且僅當樣 本點屬于AB，因此 P(A|B)應為P(AB)在 P(B)中的“比重”,當已知B發(fā)生的情況下，由原來的S 縮減為了B,這就好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內來考慮問題.,P(A|B)=AB的面積/B的面積,1.4.2 條件概率的定義,.,例1.4.1,古典概型,解:,設 A 表示取得木球 B 表示取得白球,例1.4.2 某人外出旅游兩天, 需知道兩天的天氣情況, 據預報, 第一天下雨的概率為 0.6,第二天下雨的概率為0.3,

42、 兩天都下雨的概率為0.1. 求 第一天下雨時, 第二天不下雨的概率.,設A與B 分別表示第一天與第二天下雨,解:,條件概率與無條件概率 之間的大小無確定關系,上例中,一般地,例1.4.2 從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽 出2張 , 將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔 , 求2 張都是假鈔的概率.,解: 令 A 表示抽到2 張都是假鈔,B表示2 張中至少有1張假鈔,則所求概率是,所以,1.4.3 條件概率的性質,推廣:,1.4.4 乘法公式,例1.4.3 為了防止意外,礦井內同時裝有A 與B兩種報警設備, 已知設備 A 單獨使用時有效的概率為0.92, 設備 B 單獨使用時有效的概率

43、為0.93, 在設備 A 失效的條件下, 設備B 有效的概率為 0.85, 求發(fā)生意外時至少有一個報警設備有效的概率.,設事件 A, B 分別表示設備A, B 有效,已知,求,解:,方法一,由,即,故,方法二,1.4.5 全概率公式,人們在計算某一較復雜的事件的概率時，有時根據事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個或若干互不相容的部分的并，分別計算概率，然后求和.全概率公式是概率論中的一個基本公式，它使一個復雜事件的概率計算問題化繁就簡，得以解決.,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,A,B2,全概率公式,例1.4.4：設有分別來自三個地區(qū)的10名、15名和25名考生的報名表

44、，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份. 隨機地取一個地區(qū)的報名表， 求抽出一份是女生表的概率.,Ai = 報名表是第i區(qū) i1, 2, 3,B= 抽到的報名表是女生表,解：設,P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),由全概率公式,在第一地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A1)=3/10,在第二地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A2)=7/15,在第三地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A3)5/25,人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內價格的變化，往往會去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)在假設人們經分析估計利

45、率下調的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據經驗,人們估計,在利率下調的情況下該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下,其價格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.,思考題,解: 設 A 表示利率下調,設 B 表示股票價格上漲,解: 設 A 表示利率下調,設 B 表示股票價格上漲,于是,例1.4.5,解:,例1.4.6,解:,思考題：袋中有一個白球及一個紅球，一次次地從袋中取球，如果取出白球，則除把白球放回再加進一個白球，直至取出紅球為止.求取了n次都沒有取到紅球的概率.,解：記,第i次取得白球， i1, 2, , n,A=取了n次都沒有取到紅球,則,=,前n-2次取得

46、白球的條件下，第n-1次取得白球,前n-1次取得白球的條件下，第n次取得白球,第一次取得白球的條件下，第二次取得白球的概率,第一次取得白球,1.4.6 Bayes公式,Bayes公式,全概率-由因求果貝葉斯-執(zhí)果求因, A,例1.4.7 數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,0.067,解：設A-發(fā)射端

47、發(fā)射0， B- 接收端接收到一個“1”的信號,0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),條件概率,條件概率 小 結,縮減樣本空間,定義式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,練習1,課堂練習,練習,練習 袋中有十只球,其中九白一紅,十人 依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人 取得紅球的概率是多少？第二、第三、 最后一個人取得紅球的概率各是多少？,思考題 盒中裝有5個產品,其中3個一等品,2個二等品,從中不放回地取產品,每次1個,求: （1）取兩次，兩次都取得一等品的概率 （2）取兩次，第二次

48、取得一等品的概率 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率 （4）取兩次，已知第二次取得一等品，求: 第一次取得的是二等品的概率,解答:,（1）,提問：第三次才取得一等品的概率, 是,（2）直接解更簡單,（3）,（2）,(4),1.5 事件的獨立性與相關性,1.5.1 兩個事件的獨立性與相關性,1.5.2 有限個事件的獨立性,1.5.3 相互獨立事件的性質,1.5.4 Bernoulli概型,例如 箱中裝有10件產品:7件正品,3件次品,甲買走1件正品,乙要求另開一箱,也買走1件正品. 記甲取到正品為事件A,乙取到正品為事件B,則,由乘法公式即得,P(AB)=P(A)P(B),從問題的實際意義理

49、解，就是說事件A和事件B出現(xiàn)的概率彼此不受影響.,1.5.1 兩個事件的獨立性與相關性,定義: 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。,推論1: A.B為兩個事件,若P(A)0, 則A與B獨立等價于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 則A與B獨立等價于P(A|B)=P(A).,證明：A.B獨立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),注意:從直觀上講,A與B獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響.,證明 不妨設A.B獨立,則,其他類似可證.,推論2:在 A與 B, 與 B,A與 ，與

50、 這四對事件中, 若有一對獨立,則另外三對也相互獨立。,注意: 判斷事件的獨立性一般有兩種方法: 由定義判斷,是否滿足公式; 由問題的性質從直觀上去判斷.,例1.5.1 某高校的一項調查表明：該校有30%的學生 視力有缺陷. 7%的學生聽力有缺陷，3%的學生視力與聽力都有缺陷，記,=“學生視力有缺陷”，,=“學生聽力有缺陷”，,=“學生聽力與視力都有缺陷”，,現(xiàn)在來研究下面三個問題：,（1）事件,與,是否獨立？,由于,所以事件,與,不獨立，即該校學生視力與聽力,缺陷有關聯(lián).,（2）如果已知一學生視力有缺陷，那么他聽力也有缺 陷的概率是多少？,這要求計算條件概率,由定義知,（3）如果已知一學生聽

51、力有缺陷，那么他視力也有缺 陷的概率是多少？,類似地可算條件概率,定義 設,稱,為事件,與,的相關系數(shù),定理1.5.1 (1),當且僅當,與,相互獨立；,(3),(2),;,定義 (n個事件的相互獨立性） 設有n個事A1,A2,An,若對任何正整數(shù)m(2mn)以及,則稱這n個事件相互獨立.,若上式僅對m=2成立,則稱這n個事件兩兩獨立.,注意: 從直觀上講,n個事件相互獨立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受其余一個或幾個事件出現(xiàn)與否的影響.,1.5.2 有限個事件的獨立性,例1.5.2 隨機投擲編號為 1 與 2 的兩個骰子事件 A 表示1號骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù),B 表示2號骰子向上一面出現(xiàn)奇

52、數(shù),C 表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù).,則,但,1.5.3 相互獨立事件的性質,性質1: 如果,個事件,相互獨立，則,個事件改為相應的對立事,個事件仍然相互獨立.,將其中任何,件，形成新的,性質2: 如果,個事件,相互獨立，則有,例1.5.3 三個元件串聯(lián)的電路中,每個元件發(fā)生斷電的概率依次為0.3,0.4,0.6,且各元件是否斷電相互獨立,求電路斷電的概率是多少?,解 設A1,A2,A3分別表示第1,2,3個元件斷電 , A表示電路斷電,則A1,A2,A3相互獨立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832,例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互獨立,證明:事件,證:,事件,例1.5.5 設每個人的血清中含肝炎病毒的概率為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.,解:設這100 個人的血清混合液中含有肝炎病毒為 事件 A, 第 i 個人的血清中含有肝炎病毒為事件 Ai (i =1,2,1