自動控制原理第2章

1、2020/8/21,電子信息工程學院,1,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學描述,2.1 引言 2.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型 2.3 控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型 2.3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 2.4 信號流圖和梅遜公式,2020/8/21,電子信息工程學院,2,2.1 引言,首先要解決的三個問題： 1、什么是系統(tǒng)（元件）的數(shù)學模型？ 2、為什么要建立系統(tǒng)（元件）的數(shù)學模型？ 3、建立系統(tǒng)數(shù)學模型的方法？ 4、控制系統(tǒng)數(shù)學模型的具體形式？,控制系統(tǒng)的數(shù)學描述即控制系統(tǒng)的數(shù)學模型,2020/8/21,電子信息工程學院,3,1、什么是系統(tǒng)（元件）的數(shù)學模型？,數(shù)學模型：描述系統(tǒng)（或元件）的動態(tài)特性的數(shù)學表達式。,狀

2、態(tài)隨時間變化,因此，最基本的數(shù)學模型就是微分方程。,例:RL串聯(lián)電路,描述電流隨時間變化的微分方程為,RL串聯(lián)電路的數(shù)學模型,控制理論的研究對象：動態(tài)系統(tǒng),2020/8/21,電子信息工程學院,4,2、為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型？,數(shù)學模型是進行控制系統(tǒng)分析和綜合設計的基礎,？,控制對象所涉及的領域非常廣泛，從機械運動、電網(wǎng)絡、機電系統(tǒng)、熱工過程、化學反應、生物醫(yī)學、經(jīng)濟管理、人口控制等。我們不可能也沒有必要深入到具體的某一領域根據(jù)其運動機理分析其運動特征，而是舍棄各種事物的具體特點而抽象出它們的共同本質(zhì)運動。因此控制理論所研究的系統(tǒng)是抽象系統(tǒng)。其研究方法是根據(jù)數(shù)學模型分析系統(tǒng)的運動特征。因此

3、數(shù)學模型是進行控制系統(tǒng)分析和綜合設計的基礎。,不考慮具體系統(tǒng)的物理、自然、或社會含義，而把它抽象化為一個一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。,2020/8/21,電子信息工程學院,5,下面的例子就說明兩個運動機理完全不同的系統(tǒng)可以具有相同的數(shù)學模型，因此也具有相同的運動特征。,2020/8/21,電子信息工程學院,6,3、建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法,分析法通過對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。 （建立物理模型；列寫原始方程；選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量；消去中間變量，建立適當?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。） 實驗法（系統(tǒng)辨識）人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應，根據(jù)輸入輸出

4、關系擬合系統(tǒng)的數(shù)學模型。,（明確已知知識和辨識目的；實驗設計選擇實驗條件；模型階次適合于應用的適當?shù)碾A次；參數(shù)估計由輸入輸出關系確定系統(tǒng)模型參數(shù)（最小二乘法）；模型驗證將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近）,2020/8/21,電子信息工程學院,7,4、控制系統(tǒng)數(shù)學模型的具體形式？,2020/8/21,電子信息工程學院,8,2.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型,例2-1,下圖為一RLC串連電路。試列寫以Ui(t)為輸入量，Uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡微分方程。,一、系統(tǒng)運動的微分方程描述,由基爾霍夫定律可寫出回路方程為,Ui(t)為輸入量， i(t)和Uo(t

5、)為被控量，其中選擇Uo(t)為輸出，則i(t)成為中間變量。,RLC串聯(lián)電路的數(shù)學模型，為一二階線性微分方程。,2020/8/21,電子信息工程學院,9,例2-2,下圖是彈簧質(zhì)量阻尼器機械位移系統(tǒng)。列寫質(zhì)量為m的物體在外力F(t)作用下，位移x(t)的運動方程,由牛頓運動定律有,受力分析：,機械位移系統(tǒng)的數(shù)學模型，也為一二階線性微分方程。,F(t)為輸入量， x(t)和F1(t)、 F2(t)為被控量，其中選擇x(t)為輸出，則F1(t)、 F2(t)成為中間變量。,2020/8/21,電子信息工程學院,10,兩個系統(tǒng)的比較,數(shù)學模型,參數(shù)意義,輸入/輸出,F(t)/x(t),ui(t)/u

6、o(t),f阻尼系數(shù) k彈性系數(shù)(1/k) m質(zhì)量,R電阻 C電容 L電感,結(jié)論：拋開變量和參數(shù)的物理意義，兩個運動機理完全不同的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學模型相似系統(tǒng)（相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關系）。從控制理論的角度來考慮，這兩個系統(tǒng)具有相同的運動特征。,2020/8/21,電子信息工程學院,11,下圖為電樞控制直流電動機原理圖，要求電樞電壓Ua(t)為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速m(t)為輸出量，列寫微分方程。,例2-3,電樞回路電壓平衡方程：,Ea=Cem(t),電磁轉(zhuǎn)距方程：,電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：,Ml(t)負載轉(zhuǎn)矩（擾動輸入） Ce反電勢系數(shù)(v/rad/s)， Cm電動機轉(zhuǎn)距系數(shù)

7、 （Nm/A）,共引入了四個被控量ia 、 Ea 、 Mm 和m ，其中m 為輸出量，其余為中間變量。,2020/8/21,電子信息工程學院,12,由式消去中間變量得：,在工程應用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，因而式可簡化為：,其中：,電動機傳遞系數(shù),電動機機電時間常數(shù)（s）,若電樞電阻Ra和電動機的轉(zhuǎn)動慣量Jm都很小而忽略不計時, 簡化為:,2020/8/21,電子信息工程學院,13,建立微分方程的步驟如下：,按照系統(tǒng)構(gòu)成和要求確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。 將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信號傳遞的順序，前一部分得輸出作為后一部分得輸入，依據(jù)各變量所遵循的物理機制，列出各環(huán)

8、節(jié)的原始方程。 消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。 （在列寫原始方程時，引入的被控量的個數(shù)應等于原始方程的個數(shù)）,2020/8/21,電子信息工程學院,14,例2-4,下圖為一閉環(huán)反饋隨動系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖,2020/8/21,電子信息工程學院,15,1、確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。 系統(tǒng)的輸入量為 ，輸出量為 。,2、按信號的傳遞列寫相應的各元件的微分方程和代數(shù)方程。,（1）電位器組：輸入,kp電位器組的比例系數(shù),（2）放大器：輸入為up ，輸出為勵磁電流If,輸出為up,ka放大器的電壓放大倍數(shù) Rf、Lf勵磁電路的等效電阻和電感,令,勵磁電路的電磁時間常數(shù)，則上式為,2020

9、/8/21,電子信息工程學院,16,（3）發(fā)電機和電動機組：,輸入為勵磁電流,，輸出為電動機轉(zhuǎn)速,由例2.3中直流電動機的數(shù)學模型，將Ua(t)改為kgIf(t),得,忽略電動機軸上得粘性摩擦，并采用國際單位制，此時Cm=Ce=kd ,可得發(fā)電機和電動機組得微分方程為：,其中：,電動機電樞電路的電磁時間常數(shù),電動機的機電時間常數(shù),2020/8/21,電子信息工程學院,17,（4）傳動機構(gòu)：輸入為 ，輸出為,傳動機構(gòu)的傳動比,3、消去中間變量，導出輸入量與輸出量之間關系的微分方程,上述四個方程中，共引入了四個被控量 ud、If、和，其中為輸出量，其余為中間變量。由方程消去中間變量，得隨動控制系統(tǒng)

10、的微分方程為：,其中：,2020/8/21,電子信息工程學院,18,二、線性微分方程的解,微分方程,線性微分方程的求解方法：,1、常規(guī)求解方法,例2-5,方程的解,2020/8/21,電子信息工程學院,19,特征方程,特征根,齊次通解,非齊次特解,上述微分方程的解可表為,（其中，C1和C2由初始條件確定）,2020/8/21,電子信息工程學院,20,2、Laplace變換求解方法（仍以上述RLC串連電路為例）,微分方程兩端同時進行Laplace變換，有：,電容兩端的初始電壓,，電路中的初始電流,2020/8/21,電子信息工程學院,21,對上式進行拉氏反變換，得：,2020/8/21,電子信息

11、工程學院,22,三、非線性微分方程的線性化,小偏差線性化方法,基于如下假設： （1）系統(tǒng)中的變量在某一額定工作點附近做微小變化。 （2）非線性特性在此工作點可導，也就是曲線光滑。,將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡工作點（x0 y0）展開為泰勒級數(shù)：,增量較小時略去其高次冪項，則有,（x0 y0）作為參考零點，去掉增量符號，得,2020/8/21,電子信息工程學院,23,根據(jù)牛頓運動定律可以直接導出此系統(tǒng)的動態(tài)方程為,非線性項,這是一輸入為零，輸出量為擺幅的二階非線性微分方程。當控制系統(tǒng)處在自動調(diào)節(jié)狀態(tài)的小擺幅下運行時，可應用小偏差線性化方法將非線性系統(tǒng)線性化。,平衡狀態(tài)為,2020/8/21,電子信息工程學院,24,四、控制系統(tǒng)的運動模態(tài),考慮如下所示的常系數(shù)線性微分方程,此微分方程的特征根是1,2,n,齊次微分方程的通解,（1） 1,2,n無重根情況,（2） 1,2,n有重根情況（設i為q重根）,其運動模態(tài)中會具有形如形式的模態(tài),（3）特征根中有共軛復根時土j，其共軛復模態(tài),2020/8/21,電子信息工程學院,25,數(shù)學工具拉普拉斯變換與反變換, 拉氏變換定義 設函數(shù)f(t)滿足 t0時，f(t)分段連續(xù) 則f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作 拉氏變換基本定理 線性定理 位移定