1994考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1) _.(2) 曲面在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為_(kāi).(3) 設(shè),則在點(diǎn)處的值為_(kāi).(4) 設(shè)區(qū)域?yàn)?則_.(5) 已知,設(shè),其中是的轉(zhuǎn)置,則_.二、選擇題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 設(shè),則 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 二元函數(shù)在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)、存在是在該點(diǎn)連續(xù)的 ( ) (A) 充分條件但非必要條件 (B) 必要條件而非充分條件 (C) 充分必要條件 (D) 既非充分條件又非必要條件 (3) 設(shè)常數(shù),且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù) ( )(A) 發(fā)散 (B

2、) 條件收斂 (C) 絕對(duì)收斂 (D) 收斂性與有關(guān)(4) ,其中,則必有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 已知向量組線性無(wú)關(guān),則向量組 ( ) (A) 、線性無(wú)關(guān) (B) 、線性無(wú)關(guān) (C) 、線性無(wú)關(guān) (D) 、線性無(wú)關(guān) 三、(本題共3小題, 每小題5分,滿分15分.)(1) 設(shè) 求、在的值.(2) 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).(3) 求.四、(本題滿分6分)計(jì)算曲面積分,其中是由曲面及兩平面所圍成立體表面的外側(cè).五、(本題滿分9分)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且為一全微分方程,求及此全微分方程的通解.六、(本題滿分8分)設(shè)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.七、(本題

3、滿分6分)已知點(diǎn)與的直角坐標(biāo)分別為(1,0,0)與(0,1,1).線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)曲面為.求由及兩平面所圍成的立體體積.八、(本題滿分8分)設(shè)四元線性齊次方程組為 又已知某線性齊次方程組的通解為.(1) 求線性方程組的基礎(chǔ)解系；(2) 問(wèn)線性方程組和是否有非零公共解？若有,則求出所有的非零公共解.若沒(méi)有,則說(shuō)明理由.九、(本題滿分6分)設(shè)為階非零方陣,是的伴隨矩陣,是的轉(zhuǎn)置矩陣,當(dāng)時(shí),證明.十、填空題(本題共2小題, 每小題3分,滿分6分.)(1) 已知、兩個(gè)事件滿足條件,且,則_.(2) 設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量、具有同一分布律,且的分布律為 則隨機(jī)變量的分布律為_(kāi).十一、(本題

4、滿分6分)已知隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布,且和分別服從正態(tài)分布和,與的相關(guān)系數(shù),設(shè),(1) 求的數(shù)學(xué)期望和方差；(2) 求與的相關(guān)系數(shù)；(3) 問(wèn)與是否相互獨(dú)立？為什么？1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】原式變形后為“”型的極限未定式,又分子分母在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)都存在,所以連續(xù)應(yīng)用兩次洛必達(dá)法則,有原式. (由重要極限)(2)【答案】【解析】所求平面的法向量為平行于所給曲面在點(diǎn)處法線方向的方向向量,取,又平面過(guò)已知點(diǎn).已知平面的法向量和過(guò)已知點(diǎn)可唯一確定這個(gè)平面：.因點(diǎn)在曲面上.曲面方程.曲面在該點(diǎn)的法向量,故

5、切平面方程為 , 即 .(3)【答案】【解析】由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān),為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,所以本題可以先求,再求., .(可邊代值邊計(jì)算,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算量.)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)都在點(diǎn)具有對(duì)及對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有；.(4)【答案】【解析】很顯然,根據(jù)此題的特征用極坐標(biāo)變換來(lái)計(jì)算：原式.注意： ,則 原式.(5)【答案】【解析】由矩陣乘法有結(jié)合律,注意 是一個(gè)數(shù),而 ,(是一個(gè)三階矩陣)于是,.二、選擇題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(D)【解析】對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的積

6、分,應(yīng)該關(guān)注被積函數(shù)的奇偶性.由對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)積分的性質(zhì),被積函數(shù)是奇函數(shù),積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則積分為0,故,且由定積分的性質(zhì),如果在區(qū)間上,被積函數(shù),則.所以 , .因而 ,應(yīng)選(D).(2)【答案】(D)【解析】在點(diǎn)連續(xù)不能保證在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù).反之,在點(diǎn)存在這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也不能保證在點(diǎn)連續(xù),因此應(yīng)選(D).二元函數(shù)在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在和在點(diǎn)處連續(xù)并沒(méi)有相關(guān)性.(3)【答案】(C)【解析】考查取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù).因,(第一個(gè)不等式是由得到的.)又收斂,收斂,(此為級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.)所以收斂,由比較判別法,得收斂.故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,因此選(C).(4)【答案】(D)【解析】因?yàn)?

7、,故 ,因此,原式左邊原式右邊,.當(dāng)時(shí),極限為0；當(dāng)時(shí),極限為,均與題設(shè)矛盾,應(yīng)選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.無(wú)窮小的比較：設(shè)在同一個(gè)極限過(guò)程中,為無(wú)窮小且存在極限 （1） 若稱在該極限過(guò)程中為同階無(wú)窮小；（2） 若稱在該極限過(guò)程中為等價(jià)無(wú)窮小,記為；（3） 若稱在該極限過(guò)程中是的高階無(wú)窮小,記為.若不存在(不為),稱不可比較.2. 無(wú)窮小量的性質(zhì)：當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小,則.(5)【答案】(C)【解析】這一類題目應(yīng)當(dāng)用觀察法.若不易用觀察法時(shí)可轉(zhuǎn)為計(jì)算行列式.(A)：由于,所以(A)線性相關(guān).(B)：由于,所以(B)線性相關(guān).對(duì)于(C),實(shí)驗(yàn)幾組數(shù)據(jù)不能得到0時(shí),應(yīng)立即計(jì)算由的系數(shù)構(gòu)成的行列式,即,由

8、行列式不為0,知道(C)線性無(wú)關(guān).故應(yīng)選(C). 當(dāng)然,在處理(C)有困難時(shí),也可來(lái)看(D),由,知(D)線性相關(guān),于是用排除法可確定選(C).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】線性相關(guān)的充分必要條件是存在某可以由線性表出.線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任意一個(gè)均不能由線性表出.三、(本題共3小題, 每小題5分,滿分15分.)(1)【解析】同理 ,代入?yún)?shù)值 ,則 , .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果在點(diǎn)可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 或 .2.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則.(2)【解析】.先求的展開(kāi)式.將微分后,可得簡(jiǎn)單的展開(kāi)式,再積分即得原函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi).所以由該級(jí)數(shù)

9、在端點(diǎn)處的收斂性,視而定.特別地,當(dāng)時(shí),有 得 ,積分,由牛頓-萊布尼茨公式得 .(3)【解析】方法1：利用三角函數(shù)的二倍角公式,并利用換元積分,結(jié)合拆項(xiàng)法求積分,得 ( ),其中為任意常數(shù).方法2：換元后,有原式.用待定系數(shù)法將被積函數(shù)分解:,.于是,.四、(本題滿分6分)【解析】求第二類曲面積分的基本方法:套公式將第二類曲面積分化為第一類曲面積分,再化為二重積分,或用高斯公式轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的三重積分或簡(jiǎn)單的曲面積分.這里曲面塊的個(gè)數(shù)不多,積分項(xiàng)也不多,某些積分取零值,如若垂直平面,則.化為二重積分時(shí)要選擇投影平面,注意利用對(duì)稱性與奇偶性. 先把積分化簡(jiǎn)后利用高斯公式也很方便的.方法1：注意

10、,(因?yàn)殛P(guān)于平面對(duì)稱,被積函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱)所以 .由上下底圓及圓柱面組成.分別記為. 與平面垂直.在上將代入被積表達(dá)式.在平面上投影區(qū)域?yàn)?在上,關(guān)于平面對(duì)稱,被積函數(shù)對(duì)為奇函數(shù),可以推出.方法2：是封閉曲面,它圍成的區(qū)域記為,記 .再用高斯公式得 (先一后二的求三重積分方法)其中是圓域：. 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成,函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有或 這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè),、是在點(diǎn)處的法向量的方向余弦.上述兩個(gè)公式叫做高斯公式.五、(本題滿分9分)【解析】由全微分方程的條件,有,即 ,亦即 .因而是初值問(wèn)題 的解,此方程為常系數(shù)二階線性非齊次方程

11、,對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為的根為,原方程右端中的,不同于兩個(gè)特征根,所以方程有特解形如 .代入方程可求得 ,則特解為.由題給,解得 .的解析式代入原方程,則有.先用湊微分法求左端微分式的原函數(shù)：,.其通解為 其中為任意常數(shù).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)是二階線性非齊次方程的一個(gè)特解.是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解,則是非齊次方程的通解.2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常數(shù),方程變?yōu)?其特征方程寫(xiě)為,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根；分三種情況：(1) 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則通解為(2) 兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

12、,則通解為(3) 一對(duì)共軛復(fù)根,則通解為其中為常數(shù).3.對(duì)于求解二階線性非齊次方程的一個(gè)特解,可用待定系數(shù)法,有結(jié)論如下：如果則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如的特解,其中是與相同次數(shù)的多項(xiàng)式,而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解可設(shè)為,其中與是次多項(xiàng)式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為或.六、(本題滿分8分)【解析】表明時(shí)是比高階的無(wú)窮小,若能進(jìn)一步確定是的階或高于階的無(wú)窮小,從而也是的階或高于階的無(wú)窮小,這就證明了級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.方法一：由及的連續(xù)性得知,再由在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

13、以及洛必達(dá)法則,為“”型的極限未定式,又分子分母在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)都存在,連續(xù)運(yùn)用兩次洛必達(dá)法則,有 .由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 .因收斂收斂,即 絕對(duì)收斂.方法二：由得知,可用泰勒公式來(lái)實(shí)現(xiàn)估計(jì).在點(diǎn)有泰勒公式：因在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),在有界,即,有.對(duì)此,時(shí),.又收斂收斂,即 絕對(duì)收斂.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法：設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則1 當(dāng)時(shí),和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；2 當(dāng)時(shí),若收斂,則收斂；若發(fā)散,則發(fā)散；3 當(dāng)時(shí),若收斂,則收斂；若發(fā)散,則發(fā)散.七、(本題滿分6分)【解析】方法1：用定積分.設(shè)高度為處的截面的面積為,則所求體積.所在的直線的方向向量為,且過(guò)點(diǎn),所以所在的直

14、線方程為 或 .截面是個(gè)圓形,其半徑的平方 ,則面積 ,由此 .方法2：用三重積分.,或者 .八、(本題滿分8分)【解析】(1)由已知,的系數(shù)矩陣,.由于所以解空間的維數(shù)是2.取為自由變量,分別令,求出的解.故的基礎(chǔ)解系可取為 .(2)方程組和 有非零公共解.將的通解 代入方程組,則有.那么當(dāng)時(shí),向量是與的非零公共解.九、(本題滿分6分)【解析】證法一：由于 ,根據(jù)的定義有 ,其中是行列式中的代數(shù)余子式.由于,不妨設(shè),那么,故 .證法二：(反證法)若,則.設(shè)的行向量為,則 .于是 .進(jìn)而有,這與是非零矩陣相矛盾.故.十、填空題(本題共2小題, 每小題3分,滿分6分.)(1)【解析】利用隨機(jī)事件的概率運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).由概率的基本公式(廣義加法公式),有.因題目已知 ,故有,.(2)【解析】由于、相互獨(dú)立且同分布,只能取0、1兩個(gè)數(shù)值,易見(jiàn)隨機(jī)變量