九年級數(shù)學(xué)上冊 22.3實際問題與一元二次方程 韋達(dá)定理及應(yīng)用素材 新人教版

1、根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的兩根為x1，x2，那么反過來，如果x1，x2滿足x1+x2=p，x1x2=q，則x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個根一元二次方程的韋達(dá)定理，揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系利用這個關(guān)系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個有用的工具1已知一個根，求另一個根利用韋達(dá)定理，我們可以通過方程的一個根，求出另一個根例1 方程(1998x)2-19971999x-1=0的大根為a，方程x21998x-1999=0的小根為b，求a-b的值解 先求出a，b由觀察知，

2、1是方程(1998x)2-19971999x-1=0的根，于是由韋達(dá)又從觀察知，1也是方程x21998x-1999=0的根，此方程的另一根為-1999，從而b=-1999所以a-b=1-(-1999)=2000例2 設(shè)a是給定的非零實數(shù)，解方程解 由觀察易知，x1=a是方程的根又原方程等價于2求根的代數(shù)式的值在求根的代數(shù)式的值的問題中，要靈活運(yùn)用乘法公式和代數(shù)式的恒等變形技巧例3 已知二次方程x2-3x1=0的兩根為，求：(3)33；(4)3-3解 由韋達(dá)定理知+=3，=1(3)33=(+)(2-+2)=(+)(+)2-3=3(9-3)=18；(4)3-3=(-)(2+2)=(-)(+)2-例

3、4 設(shè)方程4x2-2x-3=0的兩個根是和，求422的值解 因為是方程4x2-2x-3=0的根，所以42-2-30，即42=2342+2=2+3+2=2(+)+3=4例5 已知，分別是方程x2x-1=0的兩個根，求25+53的值解 由于，分別是方程x2x-1=0的根，所以2+-1=0，2+-1=0，即2=1-，2=1-5=(2)2=(1-)2=(2-2+1)=(1-2+1)=-32+2=-3(1-)+2=5-3，3=2=(1-)=-2=-(1-)=2-1所以25+53=2(5-3)+5(2-1)=10(+)-11=-21說明 此解法的關(guān)鍵在于利用，是方程的根，從而可以把它們的冪指數(shù)降次，最后都

4、降到一次，這種方法很重要例6 設(shè)一元二次方程ax2bxc=0的兩個實根的和為s1，平方和為s2，立方和為s3，求as3bs2cs1的值解 設(shè)x1，x2是方程的兩個實根，于是所以as3bs2cs1=0說明 本題最“自然”的解法是分別用a，b，c來表示s1，s2，s3，然后再求as3bs2cs1的值當(dāng)然這樣做運(yùn)算量很大，且容易出錯下面我們再介紹一種更為“本質(zhì)”的解法另解 因為x1，x2是方程的兩個實根，所以同理將上面兩式相加便得as3bs2cs10 3與兩根之比有關(guān)的問題例7 如果方程ax2bxc=0(a0)的根之比等于常數(shù)k，則系數(shù)a，b，c必滿足：kb2=(k1)2ac證 設(shè)方程的兩根為x1，

5、x2，且x1=kx2，由韋達(dá)定理由此兩式消去x2得即kb2(k1)2ac例8 已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20解 首先，=(3m-5)296m20，方程有兩個實數(shù)根由韋達(dá)定理知從上面兩式中消去k，便得即m2-6m+5=0，所以m1=1，m2=54求作新的二次方程例9 已知方程2x2-9x8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一根為原方程兩根差的平方解 設(shè)x1，x2為方程2x2-9x8=0的兩根，則設(shè)所求方程為x2+px+q=0，它的兩根為x1，x2，據(jù)題意有故所以，求作的方程是36x2-161x34=0例10 設(shè)x2-pxq=0的兩實數(shù)根為，

6、(1)求以3，3為兩根的一元二次方程；(2)若以3，3為根的一元二次方程仍是x2-pxq=0，求所有這樣的一元二次方程解 (1)由韋達(dá)定理知+=p，=q，所以3+3=(+)(+)2-3=p(p2-3q)，33=()3=q3所以，以3，3為兩根的一元二次方程為x2-p(p2-3q)x+q3=0(2)由(1)及題設(shè)知由得q=0，1若q=0，代入，得p=0，1；若q=-1，代入，以，符合要求的方程為x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=05證明等式和不等式利用韋達(dá)定理可以證明一些等式和不等式，這常常還要用判別式來配合例11 已知實數(shù)x，y，z滿足x=6-y，z2=xy-9，求證：x=y證

7、因為xy=6，xy=z29，所以x，y是二次方程t2-6t+(z2+9)=0的兩個實根，于是這方程的判別式=36-4(z2+9)=-4z20，即z20因z為實數(shù)，顯然應(yīng)有z20要此兩式同時成立，只有z=0，從而=0，故上述關(guān)于t的二次方程有等根，即x=y例12 若a，b，c都是實數(shù)，且abc=0，abc=1，證 由abc=0及abc=1可知，a，b，c中有一個正數(shù)、兩個負(fù)數(shù)，不妨設(shè)a是正數(shù)，由題意得于是根據(jù)韋達(dá)定理知，b，c是方程的兩個根又b，c是實數(shù)，因此上述方程的判別式因為a0，所以a3-40，a34，例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的兩個實根解 (1)顯然a0，由=