chap7非線性控制系統(tǒng)mtd1.ppt

1、自動控制原理（2）,授課教師：馬鐵東 單 位：重慶大學自動化學院 Email: ,2,第七章 非線性控制系統(tǒng),7.1 概述,7.3 相平面圖的繪制,7.2 相平面法的基本概念,7.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析,7.5 描述函數(shù)法,7.1 概述,1. 非線性控制系統(tǒng)的定義及分類,2. 典型的非線性特性,3. 非線性控制系統(tǒng)的特點,4. 研究非線性控制系統(tǒng)的方法,7.1 概述,1. 非線性控制系統(tǒng)的定義及分類,1) 為什么研究非線性控制系統(tǒng)？,對于不能進行線性化處理的系統(tǒng)，必須考慮其非線性本質才能得到符合實際的結果。,2) 定義,如果一個控制系統(tǒng)中含有一個或一個以上的非線性環(huán)節(jié)，則稱這樣的系統(tǒng)為非線

2、性控制系統(tǒng)。,5,7.1 概述,1. 非線性控制系統(tǒng)的定義及分類,3) 分類,非線性特性,線性化系統(tǒng),客觀非線性,人為非線性,非本質非線性,本質非線性,非線性系統(tǒng),非本質非線性：能夠用小偏差線性化方法進行線性化處理的非線性。,本質非線性：用小偏差線性化方法不能解決的非線性。,4) 非線性的特性,7.1 概述,2. 典型的非線性特性,1) 飽和特性,2) 死區(qū)特性,3) 間隙特性(滯環(huán)特性),5) 繼電器特性,4) 變放大系數(shù)特性,7.1 概述,1) 飽和特性,符號函數(shù)(開關函數(shù)),飽和特性的影響：如運算放大器。在控制系統(tǒng)中有飽和特性存在時，將使系統(tǒng)在大信號作用下的放大倍數(shù)降低，從而引起系統(tǒng)的靈

3、敏度降低和過渡過程時間增長。,數(shù)學表達式,7.1 概述,2) 死區(qū)特性,死區(qū)特性的影響：如測量元件的不靈敏區(qū)、伺服電機的死區(qū)電壓。在控制系統(tǒng)中有死區(qū)特性存在時，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差增加。,數(shù)學表達式,7.1 概述,3) 間隙特性(滯環(huán)特性),間隙特性的影響：如齒輪傳動的齒輪間隙特性、液壓傳動中的油隙。在控制系統(tǒng)中有間隙特性存在時，將使系統(tǒng)的輸出信號在相位上產(chǎn)生滯后，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)裕度減小，動態(tài)品質變壞。,7.1 概述,4) 變放大系數(shù)特性,變放大系數(shù)特性的影響：如變增益放大器。在控制系統(tǒng)中有變放大系數(shù)特性存在時，使系統(tǒng)在大誤差時具有較大的放大系數(shù)，從而使系統(tǒng)的響應迅速；而在小誤差時，系統(tǒng)具有較

4、小的放大系數(shù)，使系統(tǒng)的響應既緩且穩(wěn)。具有這種特性的系統(tǒng)，其動態(tài)品質較好。,7.1 概述,5) 繼電器特性,繼電器特性的影響：繼電特性能夠使控制系統(tǒng)實現(xiàn)快速控制，但也可能存在類似于死區(qū)、滯環(huán)或飽和非線性的一些缺點。,7.1 概述,a=0,m=-1,m=1,a0,幾種繼電器特性,7.1 概述,3. 非線性控制系統(tǒng)的特點,1) 系統(tǒng)的運動方程 運動方程是非線性微分方程，動態(tài)響應不滿足疊加原理。,2) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 非線性系統(tǒng)的動態(tài)過程與穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)本身的結構參數(shù)有關外，還與外加輸入信號和初始條件有關。,3) 自激振蕩 可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定振蕩過程，這種振蕩稱為自激振蕩。非線性系統(tǒng)具有

5、發(fā)散、收斂和自激振蕩三種運動形式。,4) 正弦響應 當輸入正弦信號時，非線性系統(tǒng)的輸出則比較復雜，可能為非正弦周期函數(shù)或產(chǎn)生跳躍諧振和多值響應等現(xiàn)象。,7.1 概述,4. 研究非線性控制系統(tǒng)的方法,1) 線性化方法 適用于具有非本質非線性的系統(tǒng)。通過非線性系統(tǒng)的線性化，將非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)來研究。,2) 相平面法 適用于一階、二階系統(tǒng)?？纱_定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和時間響應性能。,3) 描述函數(shù)法 系統(tǒng)在滿足一定的假設條件下，可獲取與系統(tǒng)穩(wěn)定性有關的信息。,4) 模擬技術的應用 用模擬計算機或數(shù)字計算機直接求解非線性微分方程，對于分析和設計復雜的非線性系統(tǒng)是非常有用的方法。,7.2 相平面法的基本

6、概念,1. 相平面圖,二階系統(tǒng)的數(shù)學描述,式中 是x與 的線性或非線性解析函數(shù)。,設x1=x，x2= ，得下列一階微分方程組,此即系統(tǒng)的狀態(tài)方程。其中x1，x2稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。給定初始狀態(tài)下，可求得方程的解x1(t)、x2(t)，即x(t)、 。,相平面(狀態(tài)平面)：以x、 為直角坐標的平面。,7.2 相平面法的基本概念,相點：每一瞬時狀態(tài)(x1、x2)在相平面對應的一個點。,相軌跡(相跡)：相點隨時間變化移動的軌跡。,相平面圖(相圖)：不同的初態(tài)對應不同的相軌跡。由相軌跡簇構成的圖象稱為相平面圖，簡稱相圖。,相平面圖顯示了系統(tǒng)在各初態(tài)下的動態(tài)過程，從而能夠顯示出整個系統(tǒng)的品質，如穩(wěn)定性，動、

7、靜態(tài)性能指標等。,0,(x1、x2),x,(x2),(x1),或(x、 ),圖 7.8 相平面圖,7.2 相平面法的基本概念,上半平面：相點沿相軌跡向右運動。,2. 相點沿相軌跡的運動方向,下半平面：相點沿相軌跡向左運動。,3. 相圖中的奇點和普通點,二階系統(tǒng),斜率方程,普通點：速度和加速度不同時為零，斜率為定值。通過普通點的相軌跡只有一條。,奇點：速度和加速度同時為零，斜率為不定值。通過奇點的相軌跡不只一條，只有在奇點處相軌跡才存在交叉。奇點也是相軌跡的平衡點。,0,x,圖 7.8 相平面圖,7.2 相平面法的基本概念,4. 相圖中的極限環(huán),極限環(huán)的定義：在相圖中，一種孤立的封閉相軌跡稱為極

8、限環(huán)。它表示一個穩(wěn)定的周期運動，是非線性系統(tǒng)所特有的自激振蕩在相圖中的相軌跡形式。,極限環(huán)的類型,7.2 相平面法的基本概念,(a) 可通過實驗觀察到。設計時應盡量減少極限環(huán)的大小，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求。,0,x,(a)穩(wěn)定極限環(huán),0,x,(c)半穩(wěn)定極限環(huán),0,x,(b)不穩(wěn)定極限環(huán),0,x,(d)半穩(wěn)定極限環(huán),(b) 不能通過實驗觀察到。設計時應盡量增大極限環(huán)的大小，以擴大系統(tǒng)的穩(wěn)定域。,(c)、(d)不能通過實驗觀察到。(c)不穩(wěn)定。(d)穩(wěn)定， 但系統(tǒng)的過渡過程時間將由于極限環(huán)的存在而增加。,7.3 相平面圖的繪制,繪制方法： 1）解析法 2）圖解法(定性控制法、等傾線法、法) 3

9、）系統(tǒng)仿真法(數(shù)字仿真、實驗仿真)。,本節(jié)主要介紹 1) 解析法 2) 定性控制法,7.3 相平面圖的繪制,1. 解析法,解析法是一種直接求解微分方程而獲得相軌跡方程(x與 的關系)，并繪制相平面圖的方法。,方法一：分離變量法,對斜率方程進行分離變量積分而得到相跡方程。,先由系統(tǒng)的運動方程求出時間解x(t)與 ，然后消去時間t而獲得相軌跡方程。,方法二：消去法,7.3 相平面圖的繪制,例 7.1 設二階系統(tǒng)的微分方程為,試繪制系統(tǒng)的相平面圖。,相軌跡的斜率方程為,進行分離變量積分，得相軌跡方程為,其中，A是與初始狀態(tài)有關的常數(shù),解 分離變量法,7.3 相平面圖的繪制,由二階系統(tǒng)的微分方程,可解

10、得,則相軌跡方程為,其中，A是與初始狀態(tài)有關的常數(shù),消去法,其中，A、由系統(tǒng)初始狀態(tài)確定。,而,7.3 相平面圖的繪制,2. 定性控制法,相圖的對稱性,奇點的位置和性質,漸進線,作圖步驟,7.3 相平面圖的繪制,相圖的對稱性,相平面圖的對稱性可通過對稱點上的曲線斜率來判斷。作圖前，先判斷相圖的對稱性，可簡化和加速繪制過程。,二階系統(tǒng),斜率方程,對稱于x軸的條件：,對稱于 軸的條件：,對稱于坐標原點的條件：,，即x的奇函數(shù)。,，即 的偶函數(shù)。,7.3 相平面圖的繪制,奇點的位置和性質,二階系統(tǒng),在奇點處,，由,可求得奇點。,奇點位置的確定,奇點的性質(奇點的類型),根據(jù)奇點鄰域的相軌跡情況進行分

11、類。,二階線性系統(tǒng),特征方程,特征根,7.2 相平面法,7.2 相平面法,7.3 相平面圖的繪制,例 7.3 設非線性系統(tǒng)為,試確定奇點的位置與性質。,解,由,非線性部分在奇點鄰域按如下泰勒級數(shù)公式展開,或,求得奇點的位置,7.3 相平面圖的繪制,在第一個奇點(0，0)鄰域，線性化方程為,特征根為具有負實部的一對共軛復根，故該奇點為穩(wěn)定焦點。,特征方程,特征根,在第二個奇點(-2，0)鄰域，線性化方程為,特征根為一個正實根和一個負實根，故該奇點為鞍點。,特征方程,特征根,令y=x+2，得標準形式的線性化方程為,7.3 相平面圖繪制,漸進線：在相圖中一種孤立的斜率等于常值的相軌跡 (只有線性系統(tǒng)

12、才可能有漸進線) 。,二階線性系統(tǒng),斜率方程,等傾線方程,(將相軌跡斜率等于常數(shù)的點連接而成的線稱為等傾線),而等傾線的斜率為,令等傾線的斜率為，得漸進線斜率,7.3 相平面圖的繪制,對于二階線性系統(tǒng),漸進線斜率,對于二階線性系統(tǒng),漸進線斜率,7.3 相平面圖的繪制,作圖步驟, 確定相平面的分區(qū)及判斷相軌跡的對稱性 ；, 確定相軌跡的奇點位置及其性質 ；, 確定相軌跡的漸進線 ；, 定性分析相軌跡的斜率變化情況 ；, 根據(jù)相點的運動方向、相點在分界線上運動的連續(xù)性、相軌跡垂直穿過橫軸上的普通點、相軌跡的斜率變化情況、線性系統(tǒng)相軌跡的相似成比例特性等，徒手勾畫概略相軌跡。,7.3 相平面圖的繪制

13、,例 7.4 已知非線性系統(tǒng)如圖7.16所示。當r(t)=1(t)時，試繪制系統(tǒng)的概略平面圖。,x,e(t),r(t),c(t),圖7.16 （例7.4框圖）,解 系統(tǒng)的運動方程,其中,將e(t)=r(t)-c(t)代入運動方程得,7.3 相平面圖的繪制,當r(t)=1(t)時，,，,，,，得, 對稱性：中心對稱,所給非線性系統(tǒng)是一個分段線性系統(tǒng)。,等于, 奇點：系統(tǒng)無奇點,區(qū),區(qū),7.3 相平面圖的繪制,斜率方程,等傾線方程,令等傾線的斜率為，得,將的值代入等傾線方程，得漸進線方程, =-KM, 漸進線：,對于區(qū)，斜率方程為,7.3 相平面圖的繪制,b當 時,越大且,越??；,，,越大且,越大

14、；,，,。,，,c當 時， ，即相軌跡垂直于橫軸。, 斜率變化：以區(qū)來分析,a當 時,越大，,越?。?，,。, 繪制概略相圖如圖7.17所示。,7.3 相平面圖的繪制,7.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析,相平面圖是非線性系統(tǒng)的一種隱含時間的時間解。由某初態(tài)下相軌跡的橫坐標值，可直接獲得相應該初態(tài)系統(tǒng)的超調(diào)量、振蕩次數(shù)、穩(wěn)態(tài)誤差等性能。根據(jù)相平面圖還可確定系統(tǒng)是否存在極限環(huán)以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況等。,7.4 非線性系統(tǒng)的相平面分析,例 非線性增益控制系統(tǒng)分析 已知控制系統(tǒng)如圖7.25所示，試用相平面法分析分別在階躍輸入和斜坡輸入作用下的系統(tǒng)性能。,x,e(t),r(t),c(t),圖7.25 非線性增

15、益控制系統(tǒng),根據(jù)系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)和e=rc，得系統(tǒng)的運動方程。,7.4非線性系統(tǒng)的相平面分析,代入非線性元件的特性，得系統(tǒng)的分域線性方程,域,域,|e|e0,|e| e0,實奇點與虛奇點：奇點在本區(qū)的稱為實奇點，奇點在它區(qū)的稱為虛奇點。一個二階系統(tǒng)最多只能有一個實奇點。若穩(wěn)定系統(tǒng)有實奇點，系統(tǒng)必穩(wěn)定在實奇點上。,7.4非線性系統(tǒng)的相平面分析, 階躍(r(t)=R1(t)響應分析,當r(t)=R1(t)時，,，,，,，得,域：,域：,K1和k2的選取：選擇k2使系統(tǒng)在域為欠阻尼，保證系統(tǒng)的快速性。選擇k1使系統(tǒng)在域為臨界阻尼或過阻尼，保證系統(tǒng)的平穩(wěn)性。,奇點為(0，0)，且為虛奇點、穩(wěn)定焦

16、點(選擇k2使得01)。,奇點為(0，0)，且為實奇點、穩(wěn)定節(jié)點(選擇k1使得1)。,7.2 相平面法,圖7.26 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.4非線性系統(tǒng)的相平面分析, 速度(r(t)=vt+v0)響應分析,域：,奇點P1(v/(Kk1)，0)，穩(wěn)定節(jié)點。,域：,奇點P2(v/(Kk2)，0)，穩(wěn)定焦點。,當r(t)=vt+v0時，,，,，,，得,，,(a) |v|Kk1 e0時，P1為實奇點， P2為虛奇點，穩(wěn)定在P1點上。,(b) Kk1 e0 |v|Kk2 e0時，P1、 P2均為虛奇點，穩(wěn)定在分界線與橫軸的交點上。,(c) |v|Kk2 e0時，P1為虛奇點，P2為實奇點，穩(wěn)定在P2

17、點上。,7.2 相平面法,穩(wěn)態(tài)誤差：OP1,圖7.27 (a) 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.2 相平面法,( b ),穩(wěn)態(tài)誤差：e0,圖7.27 (b) 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.2 相平面法,穩(wěn)態(tài)誤差：OP2,圖7.27 (c) 非線性增益控制系統(tǒng)相圖,7.3 描述函數(shù)法,1. 描述函數(shù)的概念,2. 典型非線性特性的描述函數(shù),3. 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng),7.3 描述函數(shù)法,1. 描述函數(shù)的概念,1) 描述函數(shù)的定義,2) 非線性系統(tǒng)結構圖的典型化,7.3 描述函數(shù)法,1) 描述函數(shù)的定義,非線性環(huán)節(jié)的輸入：,e(t)=Asint,非線性環(huán)節(jié)的輸出：是一個與輸入信號周期相同的非正弦周期

18、函數(shù)。富氏級數(shù)展開,描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)中頻率特性的推廣。用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,7.3 描述函數(shù)法,1) 描述函數(shù)的定義,假設： 非線性環(huán)節(jié)特性為斜對稱特性，則A0=0。 線性部分具有良好的低通低通濾波特性。,在上述假設條件下，由富氏級數(shù)展開式可得：,描述函數(shù)法的基本思想 (諧波線性化方法)：非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入信號作用下的實際輸出用輸出信號中的基波代替而忽略掉其余高次諧波，即用基波特性來近似描述非線性特性。,其中,7.3 描述函數(shù)法,1) 描述函數(shù)的定義,其中,描述函數(shù),描述函數(shù)是輸入信號幅值的函數(shù)。,描述函數(shù)的定義：非線性特性在進行諧波線性化之后，仿照線性系統(tǒng)幅相頻率特性的定義，可

19、建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)?？啥x為非線性特性輸出的基波分量與輸入正弦量的復數(shù)比。,7.3 描述函數(shù)法,2) 非線性系統(tǒng)結構圖的典型化,諧波線性化數(shù)學模型：非線性特性用描述函數(shù)表示。,將系統(tǒng)結構典型化為等效非線性環(huán)節(jié)和等效線性部分相串聯(lián)的形式。,線性部分的等效：與線性系統(tǒng)中使用的結構圖等效變換方法相同。,7.3 描述函數(shù)法,2) 非線性系統(tǒng)結構圖的典型化,非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)：串聯(lián)非線性特性的描述函數(shù)絕不等于相串聯(lián)非線性特性的描述函數(shù)的乘積，而是相串聯(lián)之后非線性特性的描述函數(shù)。且相串聯(lián)的非線性環(huán)節(jié)的前后次序不能調(diào)換。,圖7.30(b) 等效特性,圖7.30(a) 非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián),7

20、.3 描述函數(shù)法,2) 非線性系統(tǒng)結構圖的典型化,非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)：兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，并聯(lián)后總的描述函數(shù)等于相并聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)之和。,等效特性的描述函數(shù) N(A) = N1(A) + N2(A),7.3 描述函數(shù)法,2. 典型非線性特性的描述函數(shù),根據(jù)描述函數(shù)的定義推導典型非線性特性的描述函數(shù)。,求取描述函數(shù)的一般步驟：, 由非線性靜特性曲線，畫出在正弦輸入信號作用下的輸出波形，并寫出輸出波形的數(shù)學表達式；, 利用富氏級數(shù)展開式求出輸出的基波分量；, 將求出的輸出基波分量代入描述函數(shù)的定義式，即得描述函數(shù)N(A)。,7.3 描述函數(shù)法,2. 典型非線性特性的描述函數(shù),1) 飽和特性,

21、2) 間隙特性,3) 繼電特性,7.3 描述函數(shù)法,1) 飽和特性,圖 7.33 飽和特性及其輸入輸出波形,其中=arcsina/A。由于輸出為奇函數(shù)且波形對稱，故有A0=0，A1=0。,輸出的數(shù)學表達式,7.3 描述函數(shù)法,1) 飽和特性,則描述函數(shù),7.3 描述函數(shù)法,2) 間隙特性,圖 7.35 間隙特性及其輸入輸出波形,由于間隙特性為中心斜對稱特性，輸出的正負半波對稱，故有A0=0。,輸出的數(shù)學表達式,其中,7.3 描述函數(shù)法,2) 間隙特性,7.3 描述函數(shù)法,2) 間隙特性,于是，可求得間隙特性的描述函數(shù)N(A)為,7.3 描述函數(shù)法,3) 繼電特性,圖 7.37 死區(qū)滯環(huán)繼電特性

22、及其輸入輸出波形,輸出的數(shù)學表達式,7.3 描述函數(shù)法,3) 繼電特性,由于死區(qū)滯環(huán)繼電特性為中心斜對稱特性，輸出的正負半波對稱，故有A0=0。,其中，,，,7.3 描述函數(shù)法,3) 繼電特性,于是，可求得死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)N(A)為,7.3 描述函數(shù)法,2. 典型非線性特性的描述函數(shù), 當非線性特性為單值斜對稱函數(shù)時，描述函數(shù)為實函數(shù)。, 當非線性特性為多值斜對稱函數(shù)時，描述函數(shù)為復函數(shù)。, 相對描述函數(shù)： N0(A)，使不同參數(shù)下的描述函數(shù)曲線相同。將描述函數(shù)中的部分非線性環(huán)節(jié)參數(shù)分離出來乘到線性部分中去，所剩部分中的非線性環(huán)節(jié)參數(shù)都是以相對形式出現(xiàn)。相對負倒描述函數(shù)-1/N0(A)。,如飽和特性的描述函數(shù)可以寫成,7.3 描述函數(shù)法,7.3 描述函數(shù)法,7.3 描述函數(shù)法,7.5 描述函數(shù)法,描述函數(shù)法是一種工程近似方法。它只能用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到產(chǎn)生自激振蕩的條件，求出自激振蕩的振幅和頻率。,用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng),7.5 描述函數(shù)法,仿照線性系統(tǒng)的奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩的條件。,閉環(huán)頻率特性,自激振蕩的條件,即,(諧波平衡方程),如果存在一個A0與0使自激振蕩條件成立，即表示線性化系統(tǒng)有近似正弦振蕩的周期運動，那么相應在非線性環(huán)節(jié)的輸入端，存在一個可用正弦振蕩A0sin0t近似表示的自振 。,7.5