2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用課件理.pptx

1、理數(shù) 課標(biāo)版,第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟 (1)作差或變形. (2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x). (3)對h(x)求導(dǎo). (4)利用h(x)判斷h(x)的單調(diào)性或最值.,教材研讀,(5)下結(jié)論.,2.一元三次方程根的個(gè)數(shù)問題 令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),則f (x)=3ax2+2bx+c.,方程f (x)=0的判別式=(2b)2-12ac, (1)當(dāng)0,即b23ac時(shí), f (x)0恒成立, f(x)在R上為增函數(shù),又易知存在x、xR,使f(x)f(x)0,即b23ac時(shí),方程f (x)=0有兩個(gè)實(shí)根,設(shè)為x1,x2(x1m). a.當(dāng)m0時(shí),方程f(x

2、)=0有一個(gè)實(shí)根; b.當(dāng)m=0時(shí),方程f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根; c.當(dāng)m0時(shí),方程f(x)=0有三個(gè)實(shí)根; d.當(dāng)M=0時(shí),方程f(x)=0有兩個(gè)實(shí)根; e.當(dāng)M0時(shí),方程f(x)=0有一個(gè)實(shí)根.,考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根 典例1(2016北京,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程; (2)設(shè)a=b=4.若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍;,考點(diǎn)突破,(3)求證:a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. 解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f (x)=3x2+2a

3、x+b. 因?yàn)閒(0)=c, f (0)=b, 所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為y=bx+c.(3分),(2)當(dāng)a=b=4時(shí), f(x)=x3+4x2+4x+c, 所以f (x)=3x2+8x+4. 令f (x)=0,得3x2+8x+4=0, 解得x=-2或x=-.(4分) f(x)與f (x)在區(qū)間(-,+)上的情況如下表:,(6分),所以,當(dāng)c0且c-0時(shí),存在x1(-4,-2),x2,x3,使 得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0. 由f(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí),函數(shù)f(x)=x3+4x2+4x+c有三個(gè)不 同零點(diǎn).(8分),(3)證明:當(dāng)=4a2-12b

4、0,x(-,+), 此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上單調(diào)遞增,所以 f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).(9分),當(dāng)=4a2-12b=0時(shí), f (x)=3x2+2ax+b只有一個(gè)零點(diǎn),記作x0. 當(dāng)x(-,x0)時(shí), f (x)0, f(x)在區(qū)間(-,x0)上單調(diào)遞增; 當(dāng)x(x0,+)時(shí), f (x)0, f(x)在區(qū)間(x0,+)上單調(diào)遞增. 所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).,綜上所述,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),則必有=4a2-12b0. 故a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件.(11分) 當(dāng)a=b=4,c=0時(shí),a2-3b0, f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2

5、只有兩個(gè)不同零點(diǎn),所以a2-3b0不是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件.(12分) 因此a2-3b0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.(13分),方法技巧 利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法 (1)研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等. (2)根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律,標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置. (3)可以通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn). 1-1(2015課標(biāo),21,12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x. (1)當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線? (2)用minm,n表示m

6、,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).,解析(1)設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),則f(x0)=0, f (x0)=0,即 解得x0=,a=-. 因此,當(dāng)a=-時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線. (2)當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)=-ln x0,從而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)內(nèi)無零點(diǎn). 當(dāng)x=1時(shí),若a-,則f(1)=a+0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h (x)的零點(diǎn);若a-,則f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0,故x=1不是h(x

7、)的 零點(diǎn).,當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)=-ln x0,所以只需考慮f(x)在(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). (i)若a-3或a0,則f (x)=3x2+a在(0,1)內(nèi)無零點(diǎn),故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào).而 f(0)=, f(1)=a+,所以當(dāng)a-3時(shí), f(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí), f(x)在(0,1)內(nèi)沒有零點(diǎn). (ii)若-30,即-a0,則f(x)在(0,1)內(nèi)無零點(diǎn); 若f =0,即a=-,則f(x)在(0,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn);,若f -或a-時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=-或a=-時(shí),h(x)有兩個(gè)零 點(diǎn);當(dāng)-a-時(shí),h(x)有三個(gè)零點(diǎn).,考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的有關(guān)

8、問題 命題角度一證明不等式 典例2(2016課標(biāo)全國,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)證明當(dāng)x(1,+)時(shí),11,證明當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx. 解析(1)由題設(shè)知, f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1. 當(dāng)00, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞減. (4分) (2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0. 所以當(dāng)x1時(shí),ln xx-1.,故當(dāng)x(1,+)時(shí),ln x1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx, 則g(x)=c-1

9、-cxln c,令g(x)=0, 解得x0=. 當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xx0時(shí),g(x)0. 所以當(dāng)x(0,1)時(shí),1+(c-1)xcx.(12分),命題角度二不等式恒成立問題 典例3(2016四川,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-ln x,其中aR. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)確定a的所有可能取值,使得f(x)-e1-x在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)). 解析(1)f (x)=2ax-=(x0). 當(dāng)a0時(shí), f (x)0時(shí),由f (x)=0,有x=. 此時(shí),當(dāng)x時(shí), f (x)0, f(x)單調(diào)遞增.,(2)令g(x)=-=,s(x)=e

10、x-1-x.則s(x)=ex-1-1. 而當(dāng)x1時(shí),s(x)0, 所以s(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增. 又由s(1)=0,有s(x)0,從而當(dāng)x1時(shí),g(x)0.,當(dāng)a0,x1時(shí), f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立時(shí),必有a0. 當(dāng)01. 由(1)有f0, 所以此時(shí)f(x)g(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)不恒成立.,當(dāng)a時(shí),令h(x)=f(x)-g(x)(x1). 當(dāng)x1時(shí),h(x)=2ax-+-e1-xx-+- =0. 因此,h(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.,又因?yàn)閔(1)=0,所以當(dāng)x1時(shí),h(x)=f(x)-g(x)0, 即f(x)g(x)恒成立. 綜

11、上,a.,方法技巧 1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法 證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,則F(x)在(a,b)上是減函數(shù),同時(shí)若F(a)0,由減函數(shù)的定義可知,x(a,b)時(shí),有F(x)0,即證明了f(x)g(x).,2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略 (1)首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (2)也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.,2-1已知f(x)=(1-x)ex-1. (1)求函數(shù)f(x)的最大值; (2)設(shè)g(x)=,x-1,且x0,

12、證明:g(x)0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(0,+)時(shí), f (x)0時(shí), f(x)x.設(shè)h(x)=f(x)-x,則h(x)=-xex-1. 當(dāng)x(-1,0)時(shí),0-x1,0ex1,則0-xex1,從而當(dāng)x(-1,0)時(shí),h(x)h(0)=0,即g(x)1. 綜上,總有g(shù)(x)1.,2-2設(shè)函數(shù)f(x)=+2ln x. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)如果對所有的x1,都有f(x)ax,求a的取值范圍. 解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+), f (x)=, 所以當(dāng)0時(shí), f (x)0, 故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. (2)當(dāng)x1時(shí), f(x)axa+, 令h(x)=+

13、(x1), 則h(x)=-=,令m(x)=x-xln x-1(x1),則m(x)=-ln x, 顯然,當(dāng)x1時(shí),m(x)0, 所以m(x)在1,+)上為減函數(shù), 所以m(x)m(1)=0, 因此h(x)0,于是h(x)在1,+)上為減函數(shù), 所以當(dāng)x=1時(shí),h(x)有最大值h(1)=1,故a1, 即a的取值范圍是1,+).,考點(diǎn)三用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題 典例4(2016云南玉溪一中月考)時(shí)下網(wǎng)校教學(xué)越來越受廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢,假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足的關(guān)系式為y=+4 (x-6)2,其中2x6,m為常數(shù)

14、.已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí),每日可售出套題21千套. (1)求m的值; (2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公費(fèi)用等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(精確到0.1),解析(1)因?yàn)閤=4時(shí),y=21,所以+16=21,解得m=10. (2)由(1)可知,套題每日的銷售量為y=+4(x-6)2,所以每日銷售套題所獲得的利潤(單位:千元)為f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6)，,從而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(20,函數(shù)f(x)

15、單調(diào)遞增;在上, f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x= 3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值. 故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.,規(guī)律總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x); (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x),解方程f (x)=0; (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f (x)=0的點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值; (4)寫出答案.,3-1某食品廠進(jìn)行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采購成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費(fèi)為t元(t為常數(shù),且2t5).設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價(jià)為x元(25x40),根據(jù)市場調(diào)查,日銷售量q千克與ex成反比, 當(dāng)每千克蘑菇的出廠價(jià)為30元時(shí),日銷售量為100千克. (1)求該工廠的日利潤y元