正方形的判定

1、正方形的判定,正方形的定義可知：正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊的菱形。它們的包含關(guān)系如圖(1)：矩形、菱形、正方形都是有特殊條件的平行四邊形。由,從圖(1)中可以知道，平行四邊形包含了矩形、菱形、正方形、而正方形又被包含在矩形和菱形中，因而要判定一個(gè)四邊形是正方形，可以從兩步來(lái)著手，一步先判定四邊形是矩形，再一步判定這個(gè)矩形又是菱形； 或者：先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形也是矩形。,范例精講 例1：已知：如圖(2)，點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形ABCD 的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)， 求證：四邊形ABCD是正方形。,分析（1）你能證明四

2、邊形是矩形嗎？ （2）你能證明四邊形是菱形嗎？ （3）你能證明四邊形是正方形嗎？,請(qǐng)大家完成證明,證明： 四邊形ABCD是正方形ADABBC， AB90又ADADAAABABBBBCADAAABBB123445 DAB18013180454590同理：ABC90BCD90四邊形ABCD是矩形,在DAA和ABB中,DAAABB(SAS)ADAB四邊形ABCD是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形),練習(xí)：求證：對(duì)角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。,已知：如圖(3)，四邊形ABCD中對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn)O，且ACBD， AOCO，BODO，ACBD。 求證：四邊形ABCD是正方形。,請(qǐng)大家

3、先根據(jù)題意，畫(huà)出圖形然后寫(xiě)出已知，求證，,求證：對(duì)角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。,已知：如圖(3)，四邊形ABCD中對(duì)角線,證明：,AOCO,BODO 四邊形ABCD是平行四邊形,又ACBD 平行四邊形ABCD是矩形 又ACBD 平行四邊形ABCD是菱形，,即四邊形ABCD是正方形,解題小結(jié)： 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形。它沒(méi)有明確的判定定理，要判定一個(gè)四邊形是正方形，基本思路就是證明這個(gè)四邊形既是菱形又是矩形。因而得到這個(gè)四邊形是正方形。事實(shí)上，我們可以把本例作為正方形的一個(gè)判定定理：即：對(duì)角線垂直平分且相等的四邊形是正方形。,AC、BD相交于點(diǎn)O，且ACBD，AOCO， B

4、ODO，ACBD。求證：四邊形ABCD是正方形。,例2已知：如圖(4)矩形ABCD中，A、B、C、D的平分線組成四邊形ABCD，,分析： 判定一個(gè)四邊形是正方形可以選擇：,求證：四邊形ABCD是正方形。,下面請(qǐng)大家進(jìn)行證明。,(1)先證明它是矩形，再證它有一組鄰 邊相等；,(2)先證明它是菱形，再證它有一個(gè)角等于90,已知：如圖(4)矩形ABCD中，A、B、C、D的 平分線組成四邊形ABCD，,證明：在四邊形ABCD中,求證：四邊形ABCD是正方形。,又ABBD 且AABA(已證)ABAABDBAABAD四邊形ABCD是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形),AB、BD、CD、DB分別平分DA

5、B、ABC、BCD、CDA,BD90,123445,ADBCABDBDC(ASA)ABBDCDDB同理可證：DABDCB90且AABACCDC四邊形ABCD是矩形(有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形),1四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是： A正方形 B菱形 C矩形 D平行四邊形,2在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正 方形的是： AAOBOCODO，ACBD BADBC ACCAOCOBODOABBC DACBD,3 四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：A正方形 B菱形 C矩形 D平行四邊形,練習(xí)：,請(qǐng)大家說(shuō)出正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)在聯(lián)系？,掌握正方形的判定的方法。 正方形中，課本上沒(méi)有給出明顯的判定定理，它只告訴我們，要判定一個(gè)四邊形是正方形，分兩個(gè)步驟：,平行四邊形它包含了矩形、菱形、正方