第二章 測量誤差及數據處理.ppt

1、第2章誤差的基本理論分析,本章主要內容,1 測量誤差的基本概念 2 表達誤差的幾種形式 3 誤差的性質和分類 4 有效數字 5 系統(tǒng)誤差的矯正,6 隨機誤差的統(tǒng)計學原理 7 粗大誤差的剔除 8 誤差的合成 9 數據的一元線性回歸分析 10 測量結果的表達形式,測量誤差的基本概念,基本名詞,真值（True Value） ：,被測量本身客觀存在的實際值。 真值是客觀存在，但是不能測量的。 計量和測量中，經常使用“理論真值”、“約定真值”和“相對真值”的概念。,理論真值：,理論上存在、計算推導出來。如：三角形內角和180,約定真值：,按照國際公認的單位定義，利用科學技術發(fā)展的最高水平所復現的單位基準

2、。一般以法律形式規(guī)定的。,如：國際千克基準,相對真值：,在滿足規(guī)定準確度時用來代替真值使用的值。 利用高一等級精度的儀器或裝置的測量結果作為近似真值 標準儀器的測量標準誤差 1/3 測量系統(tǒng)標準誤差,基本名詞,標稱值 ：,計量和測量器具上標注的量值（通常給出準確度等級或誤差范圍）。,示值：,測量儀器上給出的量值，也稱測量值。,測量結果與真值一致的程度。由于涉及到“不可知”的真值，只是定性的概念。 定量描述：準確度等級、不確定度。,在相同條件下，對同一被測量進行多次連續(xù)測量所得結果的一致性。,準確度：,重復性：,測量誤差：測量結果與被測量真值之差。,測量誤差及其表示方法,注意： 在實際測試中真值

3、無法準確獲得，因此常用約定真值或相對真值代替真值來確定測量誤差。,誤差公理： 一切測量都有誤差，誤差自始至終存在于所有科學試驗的過程中。,誤差,絕對 誤差,相對 誤差,粗大 誤差,系統(tǒng) 誤差,隨機 誤差,表示形式,性質特點,引用 誤差,容許 誤差,測量誤差分類,儀表 誤差,絕對誤差的負值稱之為修正值，也叫補值，一般用c表示，即c=-A=A0-Ax 。儀器的修正值一般是計量部門檢定給出。示值加上修正值可獲得真值，即實際值。,絕對誤差,絕對誤差（Absolute Error）定義：測量結果的測量值與被測量的真值之間的差值。,絕對誤差,測量值,被測量的真值，常用約定真值或相對真值代替,相對誤差（Re

4、lative Error）定義：絕對誤差與被測量真實值的比值。,相對誤差,真值相對誤差,絕對誤差,約定真值或相對真值,測量值,在實際測量中，相對誤差主要用來評價測量結果的準確度，相對誤差越小準確度愈高。,示值相對誤差,引用誤差,相對誤差可以評價不同被測量的測量精度，卻不能用來評價不同儀表的質量。因為相對誤差與被測量大小或儀表的具體示值x有關。 為合理的評價儀表的測量質量，引入引用誤差的概念。,引用誤差,引用誤差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）定義 ： 絕對誤差與測量儀表的滿量程的百分比。,該標稱范圍（或量程）上限,引用誤差,儀表示值的絕對誤差

5、,引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即標稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。 注意：引用誤差仍然與示值有關。,最大引用誤差,最大引用誤差： 在規(guī)定的工作條件下，當被測量平穩(wěn)地增加和減少時，在儀表全量程所取得的諸示值的引用誤差（絕對值）的最大者。,該標稱范圍（或量程）上限,引用誤差,儀器標稱范圍（或量程）內的最大絕對誤差,最大引用誤差是儀表基本誤差的主要型式，故稱之為儀表的基本誤差。,儀表的準確度等級,我國電工測量儀表的準確度等級（Accuracy Class）就是按照最大引用誤差進行分級的。通常用最大引用誤差去掉正負號和百分號后的數字來表示精度

6、等級，精度等級用符號G表示。 國家標準GB 77676電測量指示儀表通用技術條件規(guī)定，測量指示儀表的精度等級G分為： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七個等級。 對應的引用誤差分別為： 0.1、0.2%、0.5%、1.0%、1.5%、2.5%、5.0% 檢測儀器的精度等級由生產廠商根據其最大引用誤差的大小并以“選大不選小”的原則就近套用上述精度等級得到。,一個電壓表，其滿量程為100V，若其最大誤差出現在50V處且為0.12V，則最大引用誤差：,則可以確定儀表等級為0.2級。,【例 】,當一個儀表的等級選定后，用此表測量某一被測量時，可能產生的最大絕對誤差為：,最大相對

7、誤差為：,絕對誤差的最大值與該儀表的標稱范圍（或量程）上限Am成正比。,選定儀表后，被測量的值越接近于標稱范圍（或量程）上限，測量的相對誤差越小，測量越準確。,儀表的準確度等級,【例 】,某1.0級電壓表，滿度值（標稱范圍上限）為300，求測量值分別為300，200和100時的絕對誤差和相對誤差。,根據題意得,最大絕對誤差為,他們的相對誤差分別為：,可見，在同一標稱范圍內，測量值越小，其相對誤差越大。,【解】,儀表的準確度等級,注意2：由于對于同一等級的檢測儀器，其絕對誤差隨滿量程值的增大而增大，為提高測量的精確度，需要被測量與儀表的量程相適應，被測量一般應在滿量程的2/3以上（相對誤差小于1

8、.5%）。,注意1：測量儀表產生的測量誤差不但與儀表準確度等級有關，而且還與量程有關。,容許誤差,容許誤差： 測量儀器在規(guī)定的條件下，測量標準或規(guī)程允許產生的最大誤差,工作誤差：額定工作范圍內儀器誤差的極限值。（一般偏大） 固有誤差：所有影響量處于基準條件下儀器所具有的誤差。 影響誤差：某一影響量處于額定范圍，其它影響量處于基準條件下儀器所具有的誤差。（如溫度誤差） 穩(wěn)定性誤差：影響量保持不變情況下，規(guī)定時間內儀器輸出的偏差。,容許誤差描述方式(4種）：,容許誤差的表示方法,容許誤差通常用絕對誤差來表示 ：,與示值有關的誤差,與示值無關的固定項誤差,例如，某3位數字電壓表，當n為5，在1V量限

9、時，“n個字”表示的電壓誤差是5mV，而在10V量限時,“n個字”表示的電壓誤差是50mV。,一般用于模擬儀表，當5 項可忽略,用于數字儀表，n個字表示儀表末位數字代表測量值的n倍（分辨力的n倍）,某四位半數字電壓表，量程為2V，工作誤差為= 0.025%UX 1個字，用該表測量時，讀數分別為0.0012V和1.9888V，試求兩種情況下的絕對誤差和相對誤差。 解：四位半表 分辨率為0.0001V,【例】,測量誤差的分類,1 系統(tǒng)誤差(Systematic Error) 2 隨機誤差( random error ) 3 粗大誤差(Gloss Error),根據測量誤差的性質，測量誤差可分為3類

10、：,系統(tǒng)誤差,在同一測量條件下，多次重復測量同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。,定義：,來源：,在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差，簡稱系差。,定量定義：,基本誤差:測量設備不準確或準確度等級不高。 附加誤差:超過正常工作范圍帶來的誤差。 理論誤差（方法誤差）:測量方法、理論不完善所帶來的誤差。 人員誤差：試驗人員疏忽大意、測量素質不高產生的人員誤 差。,系統(tǒng)誤差特征,系統(tǒng)誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越小，測量就越準確。 大小、方向恒定不變或按一定規(guī)律變化

11、 可再現，可以預測 用理論分析、實驗驗證查找原因 可修正,測量值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。,定義,定量定義：,在相同測量條件下,多次測量同一量值時（等精度測量），絕對值大小和符號以不可預定方式變化的誤差，又稱為偶然誤差，簡稱隨差。,來源：,測量裝置本身因素；信號處理電路的隨機噪聲等 實驗環(huán)境的偶然性微小變化：溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動，熱起伏、空氣擾動、大地微震等 人為因素：人員測量人員感官等 （對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素）,隨機誤差,例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到 1.235V，1.237V，1.

12、234V，1.236V，1.235V，1.237V。 在測量中，隨機誤差是不可避免的。 單次測量的隨差沒有規(guī)律，隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預見，不可修正; 多次測量，測量值和隨機誤差的總體服從概率統(tǒng)計規(guī)律; 可用概率統(tǒng)計的方法處理測量數據，對隨機誤差的總體大小及分布做出估計，并采取適當措施減小隨機誤差對測量結果的影響。,隨機誤差特征,隨機誤差和系統(tǒng)誤差特性,系統(tǒng)誤差越小，則測量值與實際值符合的程度越高。 隨機因素使測量值呈現分散而不確定，但總是分布在某一常數（平均值）附近。 測量準確度高意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。,射擊誤差示意圖,粗大誤差,指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期值的誤差。又稱為疏

13、忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。,定義：,來源：,某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。,測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數或單位、記錄或計算錯誤等）,測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。,注意：由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數據（稱為壞值或異常值）予以剔除。,有效數字,有效數字基本概念,定義1：考慮了誤差以后有意義的數字稱為有效數字。 定義2：由數字組成的一個數，除最末一位數字是不確切或可疑值外，其它數字均為確切值，則該數的所有數字稱為有效數字,測量結果保留有效位數的原則：

14、最末一位數字是不可靠的，而倒數第二位數字是可靠的。,數字舍入規(guī)則,計算和測量過程中，需要對多位的近似數進行取舍，應按照下述原則進行舍入處理： 大于5進一：若舍去部分的數值大于保留部分末位的半個單位，則末位數加1。 小于5舍去：若舍去部分的數值小于保留部分末位的半個單位，則末位數減1。 等于5應用偶數法則：若舍去部分的數值等于保留部分末位的半個單位，當末位為偶數時則末位不變，當末位是奇數時則末位加1。,數據記錄、運算的準確性要和測量的準確性相適應！,誤差一般只取一位有效數字（特殊情況下最多取兩位有效數字），測量結果的末位數應與誤差的末位數對齊,有效數字:所有準確數字和一位欠準確數字,數學：,有效

15、數字位數越多，測量精度越高,系統(tǒng)誤差的削弱和消除,系統(tǒng)誤差的特征和分類,在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。,1）消除系統(tǒng)誤差產生的原因 2）引入修正值進行校正(最適合測量儀表使用者) 3）利用特殊的測量方法消除,系統(tǒng)誤差的削弱或消除的方法,最理想最基本的方法,1)從產生系統(tǒng)誤差的來源上消除,基本誤差：選擇準確度等級高的儀器設備；所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經過檢定，檢定證書是否在有效期內； 附加誤差：使儀器設備工作在其規(guī)定的工作條件下，如溫度、振動、塵污、氣流等；使用前正確調零、預熱以消除儀器設備的附加誤差； 方法誤

16、差和理論誤差：所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；選擇合理的測量方法，設計正確的測量步驟； 人員誤差：提高測量人員的測量素質，改善測量條件(選用智能化、數字化儀器儀表等)。注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等,方法：預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結果。,修正值誤差=（測量值真值） 實際值（A）測量值（Ax）修正值（C）,2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差,注意：在某些自動測量系統(tǒng)中，預先將更正值儲存于計算機的內存中，這樣可對測量結果中的系統(tǒng)誤差自動進行修

17、正。,修正值C 由計量部門檢定時給出,修正值的獲取方法,1）儀表的檢定證書給出。 2）通過理論推導求取。,【例】電流表測電流,不計電流表內阻：,計及電流表內阻：,則：,修正值：,修正值的獲取方法,3）通過試驗求取。,通過實驗獲得修正表格、修正曲線、修正公式 - 按規(guī)律校正,對不斷變化的系統(tǒng)誤差：,對有規(guī)律的系統(tǒng)誤差：,現測現修 （如零點誤差、增益誤差等）,（如溫度、濕度、頻率修正等）,注意1： 由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要殘留少量的系統(tǒng)誤差。 注意2：由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對隨機誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。,消除

18、系統(tǒng)誤差的幾種主要測量方法： 替代法 交換法 差值法 對稱測量法 正負誤差補償法 迭代自校法,3）采用特殊的測量方法,替代法,替代法主要用于消除定值系統(tǒng)誤差， 操作方法：在測量條件不變的情況下，用一已知的標準量去替代未知的被測量，通過調整標準量而保持替代前后儀器的示值不變，結果標準量的值等于被測量值。,測量某未知電阻R，要求誤差小于0.1%。 1）首先將它接入一個電橋中(如圖)，該電橋的誤差為1%。調整橋臂電阻R1、R2 使電橋平衡； 2）取下 Rx ，換上標準電阻箱 R5 (電阻箱為0.1級)。 3）保持R1 、R2 不動，調節(jié) R5 的大小，使電橋再次平衡，此時被測電阻 Rx=R5 。 只

19、要測量靈敏度足夠，根據這種方法測量Rx 的準確度與標準電阻箱的準確度相當，而與檢流計G和電阻R1 、R2的恒值誤差無關，因此可以滿足測量要求,【例】電橋法測電阻,通過交換被測量和標準量的位置，從前后兩次換位測量結果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差。 特別適用于平衡對稱結構的測量裝置中，并通過交換法可檢查其對稱性是否良好。,第一次平衡 第二次平衡 上兩式相乘、開方得：,交換法,例：在電橋中采用交換法測電阻,交換法,隨機誤差的處理,測量誤差的數學表達,根據誤差理論，任何一次測量中，一般都含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差，即 A=+=Ax-A0 在一般工程測量中，系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差，即，相對來講隨機誤差可以忽

20、略不計，此時只需處理和估計系統(tǒng)誤差即可。 在精密測量中，系統(tǒng)誤差已經消除或小得可以忽略不計時，即0。只需處理隨機誤差。 無系差等精度測量：不考慮系統(tǒng)誤差，各種測量因素都相同的測量。,隨機誤差統(tǒng)計特性,隨機誤差就個體而言并無規(guī)律可循，但其總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律，總的來說隨機誤差具有下列特性：,有界性 (2)單峰性 (3)對稱性 (4) 抵償性,概率分布密度函數,設隨機變量x的值位于-與x之間的概率是x的函數F(x)：,則稱F(x)為x的概率分布函數； 稱f(x)為x的概率分布密度函數 ；,為x在x1,x2之間的概率。,式中 和2隨機誤差的標準差和方差,隨機誤差的正態(tài)分布,實踐和理論證明，大量的隨機誤

21、差服從正態(tài)分布規(guī)律，其概率密度函數為：,測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。 中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。,為什么測量數據和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？,隨機誤差的非正態(tài)分布,常見的非正態(tài)分布： 均勻分布 t分布 三角分布 反正弦分布,特點：在某一區(qū)域內，隨機誤差出現的概率處處相等，而在 該區(qū)域外隨機誤差出現的概率為零。 均勻分布的概率密度函數()為： 式中 a隨機誤差的極限值。,儀器度盤刻度差引起的誤差； 儀器最小分辨率限制引起的誤差 數字儀表的量化(

22、1)誤差 數字計算中的舍入誤差 對于一些只知道誤差出現的大致范圍，而不知其分布規(guī)律的誤差，在處理時經常按均勻分布的誤差對待。,均勻分布,特點：主要用來處理小樣本(即測量數據比較少)的測量數據。(正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測量數據) t分布的概率密度函數(t)為 ：,和標準正態(tài)分布的圖形類似； 特點是分布與標準差的估計值無關，但與自由度(n-1)有關； 當n較大(n30)時，t分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當n時，兩者就完全相同了。,t分布（學生分布）,（自由度）,隨機變量的數字特征,測量次數,隨機變量數學期望:,測量數據的數學期望,被測量的真值,無數多次測量的平均值,隨機誤差補償特性:,由,

23、得,被測量量值,數學期望: 體現隨機變量的分布中心，反映其平均特性。,隨機變量的數字特征,方差是用來描述隨機變量與其數學期望的分散程度。 設隨機變量A的數學期望為M(A)，則A的方差定義為：,物理意義： 數據信號偏離期望值的程度，也是信號能量的一種表示。,隨機變量的數字特征,標準偏差定義為：,標準偏差同樣描述隨機變量與其數學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。,標準偏差意義,標準偏差是代表測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數。 標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數據越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數據越分散。,正態(tài)分布的統(tǒng)計特性參數,正態(tài)分布誤差的數學期望為： 方差為：

24、,數學期望：,標準差：,方差：,平均分布的統(tǒng)計特性參數,有限次測量的數學期望和標準偏差的估計值,求被測量的數字特征，理論上需無窮多次測量，但在實 際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？,（1）有限次測量的數學期望的估計值？,（2）有限次測量的標準偏差的估計值？,對某量進行一系列無系差等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，該測量列的最佳估計值是測量列的算術平均值，并作為最后的測量結果。,算術平均值原理,設A1，A2,A3為n次測量所得的值，則算術平均值為:,算術平均值特性,若測量次數有限，由參數估計知，算術平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量 ，即滿足無偏性、有效性、一

25、致性和充分性。,(1) 無偏性：估計值 圍繞被估計參數波動，且M( )M（A）。,(2) 有效性： 的波動幅度比單次測量小。,(3)一致性： 隨著測量次數增加， 趨近于被測量參數M(A) 。,(4)充分性： 包含了樣本的全部信息 。,有限次測量數據的標準偏差的估計值,標準偏差的估計值（實驗標準偏差）：,貝塞爾公式,注意：因為 ，所以n個剩余誤差不是獨立的， 而只有n-1個獨立變量。,一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按定義求得隨機誤差，這時可用算術平均值代替被測量的真值進行計算。此時的隨機誤差稱為剩余誤差（殘余誤差）：,方差的估計值：,有限次測量數據的標準偏差的估計值,方差的實用算法：,方

26、差的遞推算法：,算術平均值的標準偏差的估計值,算術平均值的方差：,算術平均值的標準差：,測量列的方差估計,測量列的標準差估計,平均值的方差估計,在多次測量的測量列中，是以算術平均值作為測量結果，算術平均值也是隨機變量，因此必須研究算術平均值不可靠的評定標準。,結論2：算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小 倍。 增加測量次數n，可減少標準偏差，提高測量準確度。,證明,*,故：,結論1：用平均值估計被測量比測量列任何一個數據估計可信。,n10時測量準確度增長緩慢：增加測量次數花費較大，效果較小；此外，由于增加測量次數難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差。 實際測量中，測量次數一般

27、取1020次。若要進一步提高測量準確度，需從選擇更高準確度的測量儀器、更合理的測量方法、更好的控制測量條件等方面入手。,測量精度與測量次數的關系,【例】 用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差估計值。,解：計算平均值,計算各測量值殘差：,標準偏差估計：,平均值標準偏差估計：,置信度的概念表征測量數據或結果可信賴程度的一個參數。 置信區(qū)間 M(A)-K(A),M(A)+K(A)K置信因子 置信概率 在置信區(qū)間內包含真值的概率P。 置信概率 可信度 置信度的物理意義： 1 測量數據處于數學期望（真值）附近一個置信區(qū)間內的概率。 2 測量數據在一

28、個置信區(qū)間內出現數學期望（真值）的概率。,測量結果的置信度,置信區(qū)間下的置信概率可由置信區(qū)間對概率密度函數定積分求得：,置信限： k置信系數（或置信因子）,置信概率是圖中陰影部分面積,測量結果的置信度,分布和標準差一定，置信區(qū)間越寬，置信概率就越大。 置信區(qū)間一定，標準差越小，置信概率越大。 置信概率一定時，標準差越小，置信區(qū)間越窄。,置信度問題,（1）給定置信區(qū)間求置信概率。 （2）給定置信概率求計算置信區(qū)間 關鍵是確定置信因子,分布和置信因子確定后，則置信概率為：,正態(tài)分布的置信概率,正態(tài)分布：,置信概率P：,令：,正態(tài)分布的置信概率,當k=3時,區(qū)間越寬， 置信概率越大,注意：誤差的絕對

29、值大于3 的概率只有0.0027，可以認為不可能發(fā)生的小概率隨機事件。因此常把標準差的3倍作為正態(tài)分布下測量數據的極限誤差。,置信因子K和置信概率P/(K)數值關系表格見表21。,對某電阻作無系差等精度獨立測量，已知測量數據R服從正態(tài)分布，且標準差是0.2 ，試求被測電阻落在Ri-0.5, Ri+0.5的概率。,解：已知 0.2 , K =0.5 ,所以：,由表21得：,【例1】,對某電壓作無系差等精度獨立測量，測量值服從正態(tài)分布，已知被測量真值U079.83V,且標準差(U)=0.02V ，試按99的可能性估計測量數據可能出現的范圍。,解：已知P99 0.99, （U）=0.02V，U079

30、.83V,所求置信區(qū)間：,由表21查得置信概率為0.99時對應的置信因子，為：,【例2】,由此可得測量值Ui的出現范圍： 79.78Ui79.88,t分布的置信概率,t分布：,代入置信概率定義公式：,t分布與測量次數有關。當足夠大時，t分布趨于正態(tài)分布。 給定置信概率和測量次數n，查表22得置信因子Kt。,t分布的置信區(qū)間,【例】對某電容作8次無系差等精度獨立測量，測量值如下（單位uf），試求被測電容的估計值及其置信區(qū)間（P0.99 ）。,Ci（75.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.08）,解：根據平均值原理，被測電容的估計值：,測量列方差估

31、計值：,測量列標準差估計值：,平均值標準差估計值：,當P0.99, k=7時，由表22查得Kt3.5,于是可得被測電容置信區(qū)間為：,所以被測電容真值C0以0.99的概率處于75.01至75.09之間。,（2）均勻分布的置信概率,均勻分布：,代入置信概率定義公式：,標準差：,均勻分布的測量誤差不可能超過a，a為極限誤差。 通常取 ，此時誤差的置信概率為100。,（3）均勻分布的置信因子,時,結論：,， P1,粗大誤差的剔除,粗大誤差的剔除,粗大誤差產生原因: 測量人員的主觀原因： 操作失誤或錯誤記錄； 客觀外界條件的原因： 測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。 粗大誤差出現

32、的概率很小，處理方法是列出可疑數據，分析是否是粗大誤差，若是，則應將對應的測量值剔除。,粗大誤差的統(tǒng)計學判別準則,統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。 在正態(tài)分布等精度測量中，隨機誤差大于3的概率僅為0.0027%，屬小概率事件。,拉依達（萊特）檢驗法 ：設測量數據中，測量值Ak的隨機誤差為k，當：,測量值為粗大誤差的異常值，應予以剔除。,粗大誤差的統(tǒng)計學判別準則,在實際應用中使用剩余誤差和標準差的估計值：,注意：當測量次數你n10時，該準則失效。,【證明】,因為,所以,即,當n10時，,粗大誤差的統(tǒng)計學判別準則,格拉

33、布斯(grubbs)檢驗法：當測量數據Ak的剩余誤差k滿足：,式中，g0（n,）值由重復測量次數n及顯著性水平 （超差概率，1P）確定，由數理統(tǒng)計的方法推導。,則測量值為粗大誤差的異常值，應予以剔除。,應注意的問題,所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數少時檢驗不一定可靠。 若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數據超出范圍時，應逐個剔除。 在一組測量數據中，可疑數據應很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。,無系統(tǒng)誤差（準確度較高的儀表）等精度多次測量得Ai , i=1,2,3n （1）求平均值： （2）求標準差估計

34、值： （3）剔除粗大誤差AK，若有重復（1）、（2）； （4）計算其算術平均值的標準差： （5）給出置信概率下結果： 單位,粗大誤差剔除小結,用準確度較高的測量儀器對某電阻進行16次等精度測量，測量結果：34.86, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 35.65, 35.70, 35.24, 35.36，求被測量電阻的測量結果。 解：a. 無系統(tǒng)誤差； b. c. d.第13次，36.65-35.30=1.35 該值應剔除。 e.重新計算15次測量的 f.,【例】,測量誤差的

35、估計和測量結果的表示,直接測量的誤差估計,已知儀表量程和準確度等級，單次測量結果誤差表示為：,已知儀表的基本誤差或容許誤差（數字表） ，單次測量結果誤差表示為：,儀表基本誤差或容許誤差,儀表準確度等級,直接測量的誤差估計,若進行了多次測量，則還應考慮隨機誤差的影響。若多次測量的標準偏差的估計值為，則測量誤差為：,置信因子,已知儀表量程和準確度等級,已知儀表的基本誤差或容許誤差,問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？ 誤差合成的一般公式： 設測量結果y是n個獨立變量A1,A2，An的函數，即,y=f(

36、A1,A2,An),與被測量有函數關系的各個直接測量值,y 為間接測量值,間接測量結果的誤差估計（誤差合成）,間接測量的誤差估計,絕對誤差傳遞系數,獨立變量Ai的絕對誤差,Ai產生的絕對誤差分量,絕對誤差合成一般公式,相對誤差傳遞系數,獨立變量Ai的相對誤差,Ai產生的相對誤差分量,相對誤差合成一般公式,* 重點是要確定誤差傳遞系數C和C。,函數總誤差等于各誤差分量的代數和,確定誤差傳遞系數是誤差合成的關鍵。傳遞系數確定的常用方法有微分確定法、計算機仿真確定法和實驗確定法。 (1)微分確定法 條件：適合于確切知道函數的關系式，已知y=f(A1,A2,An) 。 結論： （2）計算機仿真確定法（

37、函數關系復雜，不易求導的場合,特別是多變量隱函數) （3）實驗確定法（不必知道函數關系，但需要控制誤差量，難度較大）,誤差傳遞系數的確定,誤差傳遞系數典型公式,【例】,測量結果的表示,在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差 各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數和.,測量結果的表示,如含有已定系統(tǒng)誤差y ,測量結果可表示為：,若y0，即不含有可修正系統(tǒng)誤差y ,測量結果可表示為：,注意：m包括未定的系統(tǒng)誤差和隨機誤差。,測量結果的表示,測量結果應指明 置信因子K的大小 或測量結果的概率分布及置信概率P,(P0.68),(P0.99),K=1,K=2,K=3,測量結果置信概率P0.95時不必注明，其它概率均在結果以括號給出。,常見形式有：,測量單位只出現一次，且列于最后。,有效值位數與誤差大小相適應。,注意：,測量結果的處理步驟,1對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數據依次列成表格； 2求出算術平均值 3列出殘差 ，并驗證 4按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值 5按拉伊達準則或格拉布斯準則檢查是否有粗大誤差； 6如有粗大誤差，