4第四節(jié) 正交變換

1、第四節(jié) 正交變換,返回,定義9 V的線性變換A稱為一個,如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對, V,(A, A)=(, ).,可以從幾個不同方面公平加以刻劃.,在解析幾何中，我們有正交變換的概念. 正交變換就是保持點之間的距離不變的變換. 在一般的歐氏空間中，我們有,返回,定理4 設(shè)A是n維歐氏空間V的一個線性變換，于是下面四個命題是相互等價的：,1)A是正交變換；,2)A保持向量的長度不變，即對于V，|A|=|；,3)如果1,2,n是標(biāo)準(zhǔn)正交基, 那么A1,A2,An 也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；,4)A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.,證明 (1)2),1)2)因為A是正交變換，即有(A, A) =(

2、, )，,兩邊開方即得 |A|=| .,返回,(A, A)=(, )， (A, A)=(, )，,此即為，A是正交變換.,1)2)因為A保持向量的長度不變，即有,及 (A(+), A(+)=(+, +) .,把最后的等式展開得,(A, A)+2(A, A)+(A, A)=(, )+2(, )+(, ).,再利用前兩個等式，就有,(A, A)=(, )., (1)3),設(shè)1,2,n是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，即有,返回,與 A=x1A1+x2A2+xnAn.,1)3)因為A是正交變換，所以有,(Ai, Aj)=,這就是說，A1,A2,An 是標(biāo)準(zhǔn)正交基.,1)3)因為A1,A2,An 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則由,

3、A=y1A1+y2A2+ynAn.,=x11+x22+xnn.,=y11+y22+ynn.,即得 (, )=x1y1+x2y2+xnyn=(A, A).,因而A是正交變換.,返回, (3)4),3)4) 因為A是正交矩陣，而1,2,n是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則A1,A2,An就是標(biāo)準(zhǔn)正交基.,這樣，我們就證明了1),2),3),4)的等價性.,設(shè)A在標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n下的矩陣為A，即,(A1,A2,An)=(1,2,n)A.,3)4)由上因為A1,A2,An也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么A就是由標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n到A1,A2,An的過渡矩陣，因而A是正交矩陣.,證畢.,返回,因為正交矩陣是可逆的，所以正交變換

4、是可逆的. 由定義不難看出，正交變換實際上就是一個歐氏空間到自身的同構(gòu)映射(3)，因而正交變換的乘積與正交變換的逆變換還是正交變換. 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，正交變換與正交矩陣對應(yīng)，因此，正交矩陣的乘積與正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣.,返回,如果A是正交矩陣，那么由,AAT=E,可知 |A|2=1或者|A|=1.,因此，正交變換的行列式等于+1或-1. 行列式等于+1的正交變換通常稱為旋轉(zhuǎn)，或者稱為第一類的；行列式等于-1的正交變換稱為第二類的.,例如，在歐氏空間中任意取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n ，定義線性變換A為：,A1=-1 , Ai=i , i=2,3, ,n.,那么，A就是一個第二類的正交變換. 從幾何上看，這是一個鏡面反射 (參看本章習(xí)題15) .,返回,例1 令H是空間R3里過原點的一個平面，對任意R3 ，記對于H的鏡面反射的像是. 則映射,例2 設(shè)L(R3)，對任意向量=(x1,x2,x3)R3 ，令()=(x2,x3,x1). 則是R3的一個正交變換., :|是R3的一個正交變換.,因為對應(yīng)的矩陣是A=E-2T為一個正交矩陣，其中是平面H的單位法向量.,因為對應(yīng)的矩陣是 為一個正交矩陣.,返回,例3 將R2的每一向量旋轉(zhuǎn)一個角的正交變換關(guān)于R2的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是,又令是例1中的正交變換. 在平面