第四章　三角函數(shù).ppt

1、第四章三角函數(shù),.角的概念推廣 .弧度制 .任意角的三角函數(shù) .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 .誘導(dǎo)公式 .兩個(gè)角的和與差的正弦、余弦、正切公式 .倍角公式 .三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) .正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì),.角的概念推廣,在平面內(nèi)，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)相反的轉(zhuǎn)向，順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较?，?xí)慣上，我們規(guī)定，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角，當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫做零角在畫(huà)圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量，旋轉(zhuǎn)生成的角又常稱為轉(zhuǎn)角 射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置所成的角，記作，叫做的始邊，叫做的終邊以的始邊，為終邊的角記作，如

2、圖（）所示， 當(dāng)射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，施轉(zhuǎn)量可以超過(guò)一個(gè)周角，形成任意大小的角，角的度數(shù)表示旋轉(zhuǎn)量的大小，如圖（），（）所示，,下一頁(yè),返回,.角的概念推廣,如圖所示，射線旋轉(zhuǎn)到射線位置，接著再旋轉(zhuǎn)到的位置，則（），這就是說(shuō)各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量之和，可直接看成和的和，一般地，可直接看成和的代數(shù)和，引入正、負(fù)角的概念后，角的減法運(yùn)算都可轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算 表示以為始邊，以為終邊的角，顯然，如果不指出旋轉(zhuǎn)量的大小，它可以表示許多旋轉(zhuǎn)量不同的角，但這些角彼此相差的整數(shù)倍，設(shè)（圖（）則,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.角的概念推廣,等，它們的始邊和終邊都分別相同，所有與角始邊與終邊相同的角構(gòu)成的集合為：

3、今后，我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中討論角，通常使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的正半軸重合，它的終邊落在第幾象限，就叫做第幾象限角，如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限,返回,上一頁(yè),.弧度制,把一圓周分成等份，則其中份所對(duì)的圓心角是度角，這種用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制，下面來(lái)介紹在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)研究中常用的另一種度量角的制度弧度制 我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做弧度角 觀察圖中，兩個(gè)大小不同的同心圓，顯然同一圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑都不相等，但它們的比值相同于是長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角（正角）l/r（） 我們知道，圓周長(zhǎng)， 因此周角 平角 直角,下一頁(yè),返回,.弧度制,但

4、平角又等于，于是可得到角度制與弧度制的換算關(guān)系：,返回,上一頁(yè),.任意角的三角函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義 在初中，我們已學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，如果是直角三角形的一個(gè)銳角，則,下一頁(yè),返回,.任意角的三角函數(shù),已知角為任意角，如圖所示，在角的終邊上任取一點(diǎn)（，），點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（），那么我們把比值y/r, x/r, y/x, x/y, r/x, r/y分別叫做角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，分別記作： 依照上述定義，對(duì)于每一個(gè)確定的角，都分別有唯一確定的正弦值、余弦值、正切值、余切值、正割值、余割值與之對(duì)應(yīng)，所以這六個(gè)對(duì)應(yīng)法則都是以為自變量的函數(shù)，分別稱為角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)

5、、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù),下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.任意角的三角函數(shù),三角函數(shù)在各象限的符號(hào) 由三角函數(shù)的定義可知，角的六個(gè)三角函數(shù)的符號(hào)與角終邊上點(diǎn)（，）的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的符號(hào)有關(guān)，由此可確定各三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)如圖（）（）所示,返回,上一頁(yè),.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,由三角函數(shù)的定義和勾股定理，可得： 這三個(gè)關(guān)系是三角函數(shù)三個(gè)最基本的關(guān)系式，當(dāng)我們知道一個(gè)角的某一三角函數(shù)值時(shí)，利用這三個(gè)關(guān)系式和三角函數(shù)的定義，就可以求出這個(gè)角的其余三角函數(shù)值，此外，還可以用它們化簡(jiǎn)三角函數(shù)式或證明三角恒等式,返回,.誘導(dǎo)公式,角與（）的三角函數(shù)間的關(guān)系 在直角坐標(biāo)系中，角與（）的終邊相同，根據(jù)

6、三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等即 利用上述公式（），我們可把絕對(duì)值大于的任一角的三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究絕對(duì)值小于角的三角函數(shù)問(wèn)題,下一頁(yè),返回,.誘導(dǎo)公式,角與的三角函數(shù)間的關(guān)系 如圖11所示，設(shè)單位圓與角、角的終邊的交點(diǎn)分別為和容易看出，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）于是，得 利用公式（），可用任意正角的三角函數(shù)表示負(fù)角的三角函數(shù)，從公式（）還可看出，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正弦函數(shù)、正切函數(shù)是奇函數(shù),下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.誘導(dǎo)公式,角與的三角函數(shù)間的關(guān)系 設(shè)角與的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)和（圖（）（）容易看出，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為互為相反數(shù)所以 公式（），（），（）

7、都叫做誘導(dǎo)公式,返回,上一頁(yè),.兩個(gè)角的和與差的正弦、余弦、正切公式,兩角和的正弦、余弦、正切公式（證明略） 兩角差的正弦、余弦、正切公式（證明略）,返回,.倍角公式,在公式， ，中令就可得出相應(yīng)的二倍角的三角函數(shù)公式： 有了二倍角三角函數(shù)公式，就可用單角三角函數(shù)表達(dá)二倍角的三角函數(shù),返回,.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),正弦函數(shù)的圖象 函數(shù)的定義域是（，）先在區(qū)間，上作它的圖象取自變量從至的一些值，求出函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，并把它們列成下表： 以表中每組值在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并以平滑的曲線把它連結(jié)起來(lái)，就得到，上正弦函數(shù)的圖象如圖所示,下一頁(yè),返回,.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),因?yàn)椋ǎǎ哉液瘮?shù)

8、在，上的圖象與在，上的圖象完全一樣我們把在，時(shí)的圖象向左或向右依次平行移動(dòng)個(gè)單位，就可以得到在定義域（，）內(nèi)的圖象（圖）正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線 正弦函數(shù)的主要性質(zhì) （）有界性 （）周期性 （）奇偶性 （）單調(diào)性,返回,上一頁(yè),.正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì),在物理和工程的許多問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到形如（）的函數(shù)（其中、是常數(shù)）這種函數(shù)通常叫做正弦型函數(shù)下面通過(guò)例題來(lái)研究這類函數(shù)的性質(zhì)和簡(jiǎn)圖的作法 例作函數(shù)及/的簡(jiǎn)圖 解：易知，函數(shù)及/的周期，作（，）時(shí)的函數(shù)的簡(jiǎn)圖 列表：,下一頁(yè),返回,.正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì),描點(diǎn)作圖（圖） 利用這類函數(shù)的周期性，可把上面的簡(jiǎn)圖向左、向右連續(xù)平移，就可得出，及 1/2，的簡(jiǎn)圖（圖略）從圖可以看出，函