6統(tǒng)計第六課.ppt

1、玻色、費米統(tǒng)計及其應(yīng)用,利用同樣的思路（玻爾茲曼統(tǒng)計的推導(dǎo)過程），我們的到了遵從玻色和費米分布的（量子）系統(tǒng)的（熱力學(xué)）統(tǒng)計公式，如：系統(tǒng)的平均粒子數(shù)目、內(nèi)能、物態(tài)方程、熵、巨熱力勢等。據(jù)此可以得到系統(tǒng)平衡狀態(tài)下的性質(zhì)。,根據(jù)上述統(tǒng)計公式，我們對弱兼并的量子系統(tǒng)進行了討論，看到了統(tǒng)計特性的影響；對于玻色系統(tǒng)，討論了玻色愛因斯坦凝聚現(xiàn)象；對于固體，討論了熱容量模型。對于費米系統(tǒng)，討論了接觸電動勢的產(chǎn)生。,這些討論的基礎(chǔ)在于對（近獨立系統(tǒng)的）粒子的能級和兼并度的假設(shè)和計算。,玻色、費米統(tǒng)計的熱力學(xué)公式：,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,原子結(jié)合成金屬后，價電子脫離原子可在整個金屬中自由運動。失

2、去價電子后的原子變成離子。由于離子空間排列的周期性，離子在金屬中產(chǎn)生一個周期勢場。電子在周期勢場中運動。為了簡單，采用自由電子模型，把價電子看作是在恒定的勢阱中的自由電子，形成自由電子氣。根據(jù)費米分布，在溫度為T時，處在一個能量為的量子態(tài)上的平均電子數(shù)目為：,考慮到電子的自旋，在體積V內(nèi)，能量從到 d 范圍內(nèi)的電子的量子態(tài)數(shù)目為：,我們使用了能量準(zhǔn)連續(xù)近似。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,在體積V內(nèi)，能量從到 d 范圍內(nèi)的平均電子數(shù)目為,在給定電子數(shù)目N，溫度T和體積V時，化學(xué)勢由下式計算：,所以化學(xué)勢是溫度T和電子密度n=N/V的函數(shù)。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,現(xiàn)在討論溫度

3、T0K時的情況。,在T0K時，能量小于化學(xué)勢的能級都被占據(jù)了；能量高于化學(xué)勢的能級都空著。根據(jù)泡里不相容原理，化學(xué)勢是0K時電子的最大能量。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,所以，T0K時的化學(xué)勢(0)可以由下式得到：,0K時電子的最大動量，稱為費米動量:0K時電子氣的內(nèi)能為：,0K時電子的平均能量為3(0)/5。,現(xiàn)在對0K時的化學(xué)勢 （0）作一個估計。以Cu為例，N/V=8.5 1023 m-3， (0)=1.1 10-18 J。定義費米溫度： 得到Cu的費米溫度TF為7.8104K。在一般溫度下金屬中自由電子氣的化學(xué)勢與0K時近似相等,化學(xué)勢也被稱為費米能級。由于 kT，e0K時有：

4、,溫度不為零時，在與相差kT量級的范圍內(nèi)分布函數(shù)發(fā)生了變化。熱激發(fā)將電子激發(fā)到能量稍高一些的能級上。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,從圖中看出，溫度T下，同0K時相比，只有在費米能級附近的分布發(fā)生了改變。所以：只有費米能級附近的電子對熱容量有貢獻。,粗略估計以下。假設(shè)對熱容量有貢獻的電子數(shù)目為：,利用能量均分定理，金屬中自由電子對熱容量的貢獻為,室溫范圍內(nèi)，T/TF1/260，所以，電子的貢獻很小，可忽略,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,對自由電子氣體的熱容量進行定量計算?；瘜W(xué)勢由右式?jīng)Q定：,求出化學(xué)勢后，可以利用右式計算系統(tǒng)的內(nèi)能：,對于粒子數(shù)和內(nèi)能分別為：,這兩個積分式子可以寫成

5、：,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,定義：,令：,可以證明：,有：,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,當(dāng)T0K時，,利用kT/(0)代替 kT/，有：,系統(tǒng)的內(nèi)能近似為：,熱容量近似為：,與前面的粗略估計為相比，兩者相差一個系數(shù)。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,由于費米溫度很高，在常溫下電子對熱容量的貢獻可以忽略不計。但是當(dāng)溫度很低時，由于離子振動的貢獻按照T3衰減，電子熱容量就不能再忽略不計。低溫下離子和電子的運動對熱容量的貢獻可以從德拜模型和上述公式分別計算。,以Cu為例，D345 K，所以離子的運動對熱容量的貢獻為：,以Cu為例，TF7.8 104 K，電子的運動對熱容量的貢

6、獻為：,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,以Cu為例，D345K，TF7.8 104 K。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,經(jīng)典統(tǒng)計（能量均分定理）可以給出高溫下的熱容量數(shù)值，但是不能解釋熱容量隨著溫度下降而減小的事實。定域的愛因斯坦模型（玻爾茲曼統(tǒng)計）可以定性解釋隨著溫度下降的現(xiàn)象，但是具體趨勢不對（下降太快）。德拜模型比愛因斯坦模型進了一步（聲子模型，玻色統(tǒng)計），可以定量解釋氣變化趨勢，對于絕緣體正確，但對于金屬在3K以下，又不對了。考慮金屬中自由電子的貢獻后（自由電子氣，費米統(tǒng)計），金屬在3K以下的熱容量規(guī)律也可以被解釋了。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,對于固體熱容量的解釋

7、有個過程：經(jīng)典統(tǒng)計的能量均分定理定域的愛因斯坦模型（玻爾茲曼統(tǒng)計） 德拜模型（聲子模型，玻色統(tǒng)計） 考慮金屬中自由電子的貢獻（自由電子氣，費米統(tǒng)計）。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,現(xiàn)在討論電子氣體的壓強。非相對論氣體的壓強與內(nèi)能的關(guān)系式為：,根據(jù)前面的數(shù)據(jù)可以估計在0K時電子氣體的壓強為：3.71010 Pa。根據(jù)泡里不相容原理，電子填充了能量從0到(0)的狀態(tài)。這些狀態(tài)的能量與V-2/3成正比。如果壓縮電子氣體的體積，則所有電子的能量都要增加。因此壓縮電子氣體時，外界需要作很大的功。在金屬中電子氣體的壓強被電子與離子間的相互作用力補償。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：金屬中的自由電子氣,費米統(tǒng)計的

8、應(yīng)用：熱電子發(fā)射,高溫下金屬發(fā)射電子的現(xiàn)象稱為熱電子發(fā)射。根據(jù)前面所講的，金屬中的自由電子可以看成是在一個恒定勢阱中的自由粒子。假如勢阱的深度為，它等于將基態(tài)的電子（能量0）移到金屬外需要的最小功。如果將處在費米能級處的電子移出金屬外，所需的最小功為： 。W稱為功函數(shù)。,考慮在常溫下，在單位體積內(nèi)動量在dpxdpydpz范圍內(nèi)的可能狀態(tài)數(shù)目為：,則在此范圍內(nèi)的電子數(shù)目為：,單位時間內(nèi)，碰到單位面積的金屬表面上，動量在dpxdpydpz范圍內(nèi)的電子數(shù)目為：,將上式改寫為：,滿足x的電子可以擺脫金屬的束縛到達金屬外。則發(fā)射電流為：,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：熱電子發(fā)射,在一般情況下，1：,功函數(shù)W一般是電子

9、伏特的量級，因此一般在高溫下（103 K）才會發(fā)生可觀的熱電子發(fā)射。功函數(shù)越大，發(fā)射需要的溫度越高。同樣的溫度下，功函數(shù)小的發(fā)射電流大。,費米統(tǒng)計的應(yīng)用：熱電子發(fā)射,近獨立粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計理論,對于由近獨立粒子組成的系統(tǒng)，粒子之間僅僅存在著微弱的相互作用。這種相互作用可以忽略。 對于這類系統(tǒng)，可以使用最概然分布的方法處理：玻爾茲曼分布、玻色分布和費米分布。據(jù)此，得到相應(yīng)的熱力學(xué)函數(shù)計算公式，確定系統(tǒng)在平衡時的性質(zhì)。 基礎(chǔ)：粒子的能級和兼并度、等幾率原理。,對于粒子之間存在著強的相互作用的系統(tǒng)，粒子之間的相互作用不能被忽略時，應(yīng)當(dāng)用系綜理論（Ensemble）討論系統(tǒng)的性質(zhì)。,系綜理論,本課內(nèi)容,

10、相空間和劉維爾定理,首先說明如何描述系統(tǒng)的微觀（力學(xué)）運動狀態(tài)。對于由N個近獨立粒子組成的經(jīng)典系統(tǒng)，假設(shè)每個粒子的自由度為r，則可以用N個在由r個廣義坐標(biāo)和r個廣義動量組成的空間中的點精確描述。如果粒子間的相互作用不能忽略時，應(yīng)當(dāng)把系統(tǒng)看作是一個整體來考慮。在經(jīng)典情況下，假設(shè)N個全同粒子組成的系統(tǒng)，粒子的自由度為r，則系統(tǒng)的自由度為fNr。如果粒子包含多種粒子，則：,Ni是第i中粒子的數(shù)目，ri是粒子第i中粒子的自由度。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)在任一時刻的,運動狀態(tài)可以用f個廣義坐標(biāo)q1，q2，qf和f個廣義動量p1，p2，pf在此時刻的數(shù)值確定。如果以這f個廣義坐標(biāo)和f個廣義動量為直角坐標(biāo)構(gòu)成一個

11、2f維的空間，稱為相空間或者空間，則系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)可以用該空間中的一個點描述：系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點。,相空間和劉維爾定理,系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨著時間改變，遵從哈密頓正則方程：,其中H是系統(tǒng)的哈密頓量。為了明確起見，我們考慮保守系統(tǒng)，則哈密頓量就是系統(tǒng)的能量，包括粒子的動能、粒子間相互作用能和粒子在保守勢場中的勢能：是廣義坐標(biāo)和廣義動量的函數(shù)；有外場時還是外場的函數(shù)。,當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)隨著時間變化時，代表點相應(yīng)的在相空間中移動，移動軌道由上式?jīng)Q定。軌道的運動方向由坐標(biāo)和動量的一階微分確定，而哈密頓量和它的微商又是單值函數(shù)，所以經(jīng)過相空間任意一點，軌道只能有一條。這樣，系統(tǒng)從某一初態(tài)出發(fā)，代表點在相

12、空間中的軌道是一條封閉曲線，或者是一條自身永不相交的曲線。當(dāng)系統(tǒng)從不同的初態(tài)出發(fā)，代表點沿著相空間中不同的軌道運動時，不同的軌道也不相交。,相空間和劉維爾定理,由于保守系統(tǒng)的能量E不隨著時間改變，所以系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義動量必然滿足條件：,這實際上確定了相空間中的一個曲面，稱為能量曲面。保守系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點一定在能量曲面上。,設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)，獨立的沿著正則方程所規(guī)定的軌道運動。這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點將在相空間中形成一個分布。,相空間中的一個體積元,表示在時刻t，運動狀態(tài)在體積元內(nèi)的代表點數(shù),相空間和劉維爾定理,那么，對整個相空間積分，就得到了設(shè)想的系統(tǒng)數(shù)

13、目：一個不隨著時間的改變而改變的量。,現(xiàn)在考慮代表點密度隨著時間的變化。時間從t變化到tdt：,相空間中代表點的運動,則在后一處的密度為：,其中，有：,為什么？,相空間和劉維爾定理,運動狀態(tài)密度在相空間中是常數(shù)。為什么？,考慮一個相空間中的一個固定的體積元，由下面2f對平面為邊界組成。,在時刻t，在該體積元內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目為：d。經(jīng)過時間dt后，有些代表點走出了這個體積元，有些則走進了這個體積元，使得這個體積元內(nèi)的代表點數(shù)目發(fā)生了變化。,？,兩者相減，得到體積元內(nèi)代表點的增加數(shù)目為：,代表點需要通過這2f對邊界平面才能夠進入或者走出體積元?，F(xiàn)在計算通過平面qi走進體積元內(nèi)的代表點數(shù)目。體積元在平面

14、qi上的邊界面積為：,相空間和劉維爾定理,在dt時間內(nèi)通過dA進入體積元的代表點必定位于以dA為底，以 dt 為高的柱體內(nèi)。柱體內(nèi)的代表點為：,同樣地，在dt時間內(nèi)通過平面qidqi走出體積元的粒子數(shù)目為：,兩者相減得到經(jīng)過一對平面（qi，qidqi）凈進入體積元的代表點數(shù)目：,由類似的討論，可以得到經(jīng)過一對平面（pi，pidpi）凈進入體積元內(nèi)的代表點數(shù)目為：,相空間和劉維爾定理,將前面兩個式子相加，再對i進行求和，就得到了在dt時間內(nèi)由于代表點的運動穿過邊界而進入體積元的凈增加數(shù)目。,根據(jù)哈密頓正則方程，有：,相空間和劉維爾定理,所以，有：,上式為劉維爾定理：隨著一個代表點在相空間中運動，

15、其鄰域的代表點密度是不隨時間改變的常數(shù)。,相空間和劉維爾定理,將哈密度正則方程帶入上式，得到劉維爾定理的另一種形式：,本式對于變換tt保持不變，說明劉維爾定理是可逆的。,如果密度僅僅是哈密頓量H（即能量E）的函數(shù)，則上式中右邊為零，此時有：,微正則分布：,上面討論了系統(tǒng)微觀（力學(xué)）運動狀態(tài)的描述及其隨著時間的變化。統(tǒng)計物理學(xué)研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。例如：孤立系統(tǒng)，給定的宏觀條件是：體積V，粒子數(shù)目N，和能量E（EEdE的范圍）。,給定了宏觀條件后，系統(tǒng)可能取得的微觀狀態(tài)數(shù)目是十分巨大的。不可能肯定系統(tǒng)在某一時刻一定處在或者一定不處在某個微觀狀態(tài)。只能確定系統(tǒng)在某一時刻處在某個微觀狀

16、態(tài)的概率。宏觀量是相應(yīng)的微觀量在一切可能滿足給定宏觀條件的微觀狀態(tài)上的平均值。,在經(jīng)典理論中，可能的微觀運動狀態(tài)在相空間中構(gòu)成一個連續(xù)分布。以,表示相空間中的一個體積元，在時刻t系統(tǒng)的微觀狀態(tài)處在該體積元內(nèi)的概率為：,（q，p，t）稱為分布函數(shù)，滿足歸一化條件。表示微觀狀態(tài)處在相空間各區(qū)域的概率總和為1。,為了形象的表示上式給出的統(tǒng)計平均值，我們設(shè)想有大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，處在相同的給定的宏觀條件下。這大量系統(tǒng)的集合稱為系綜。顯然，在統(tǒng)計系綜所包含的大量系統(tǒng)中，在時刻t運動狀態(tài)處在d內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)目將與（q，p，t）成正比。如果在時刻t，從統(tǒng)計系綜中任意選取一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)處在d內(nèi)的概率為：

17、（q，p，t）dt。這樣，上式可以看作是微觀量B在統(tǒng)計系綜上的平均值。,微正則分布：,當(dāng)微觀狀態(tài)處在體積元d內(nèi)時，微觀量B的數(shù)值為B（q，p）。微觀量B在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值（宏觀量）為：,同樣地，在量子理論中，在給定的宏觀條件下，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目也是巨大的。以s1，2，表示系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)，用s（t）表示在時刻t系統(tǒng)處在狀態(tài)s上的概率，則s（t）為分布函數(shù)，滿足歸一化條件：,如果用Bs表示微觀量B在態(tài)S上的數(shù)值，則微觀量B在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值為：,上式中給出了宏觀量與微觀量之間的關(guān)系。要具體的根據(jù)上式求出宏觀量，必須知道系綜的分布函數(shù)。因此確定分布函數(shù)是系綜理論的根本問

18、題。 系綜的分布函數(shù)與宏觀條件有關(guān)。下面我們考慮處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)。,微正則分布：,當(dāng)孤立系統(tǒng)處在熱平衡時，它的宏觀性質(zhì)不隨時間而改變。因此，上式分布函數(shù)中不含時間變量。根據(jù)劉維爾定理，如果密度函數(shù)只是能量的函數(shù)，則不含有時間變量。孤立系統(tǒng)的能量具有確定值，更精確的說，能量E在一個范圍內(nèi)：E到EdE之間。顯然，系統(tǒng)不可能處在這個能量范圍以外的微觀狀態(tài)上。但是在這個范圍內(nèi)，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目也是巨大的。這些狀態(tài)都滿足給定的宏觀條件，它們應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。因此，一個合理的假設(shè)是：一切可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等（等概率原理）。這也稱為微正則分布（N，V，E）。 等概率原理是平衡態(tài)條件物理的基本假設(shè)

19、。它的正確性由它的推論與實際相符合而得到肯定。,微正則分布：,等概率原理的經(jīng)典表達式為：,等概率原理的量子表達式為：,式中表示能量在E到EdE之間的微觀狀態(tài)數(shù)目。由于這各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率都相等，所以每一個狀態(tài)出現(xiàn)的幾率為：1/ 。,如果把經(jīng)典統(tǒng)計理解為量子統(tǒng)計的經(jīng)典極限，對于含有N個自由度為r的全同粒子的系統(tǒng)，在能量在E到EdE范圍內(nèi)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)目為：,微正則分布：,系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在相空間中的體積為hNr。,系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在相空間中的體積為hNr。考慮粒子的全同性，N個粒子交換所產(chǎn)生的N！個相格實際上是一樣的。,如果系統(tǒng)中含有不同的粒子，第i種粒子的自由度為ri。粒子數(shù)目為Ni，

20、則系統(tǒng)在能量為E到EdE范圍內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)目為：,微正則分布：,微正則分布的熱力學(xué)公式：,前面引進了在給定N，E，V條件下系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)數(shù)目（N，E，V）。下面討論（N，E，V）與熱力學(xué)量的關(guān)系和微正則分布的熱力學(xué)公式。,考慮一個孤立系統(tǒng)A（0），它由兩個具有微弱相互作用的系統(tǒng)A1（N1，V1，E1）和A2（N2，V2，E2）構(gòu)成。其對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)目為： 1（N1，E1，V1） 2（N2，E2，V2）。這時復(fù)合系統(tǒng)A（0）的微觀狀態(tài)數(shù)目為：,令A(yù)1和A2進行熱接觸：只能交換能量，不能改變粒子數(shù)和體積。則下式成立：,上式說明，對于給定的E（0），（0）取決于E1?；蛘哒f，取決于能量在子系A(chǔ)

21、1和A2間的分配。,根據(jù)等概率原理，在平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)一切可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等。假設(shè)當(dāng)E1 時，系統(tǒng)具有狀態(tài)數(shù)目的極大值。這意味著，A1具有能量 ，A2具有能量 E（0） 時，是一種最概然分布。由于其他能量分配出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于最概然分布，所以可以認(rèn)為此時就是A1和A2達到熱平衡時的內(nèi)能。,下面推導(dǎo)確定 和 的條件。系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)目取極大值時，有下式成立。利用前面的微觀狀態(tài)數(shù)目公式，有：,微正則分布的熱力學(xué)公式：,上式確定A1和A2達到熱平衡時的內(nèi)能。同時表明，在熱平衡時，兩個子系的 相等，用表示這個量。,微正則分布的熱力學(xué)公式：,則熱平衡條件為：,在熱力學(xué)中曾經(jīng)得到類似結(jié)果，兩個系統(tǒng)達到熱平衡的條件為：,由此可知：應(yīng)該與1/T成正比，令：,玻爾茲曼公式不僅適用于近獨立粒子組成的系統(tǒng)，也適用于粒子間存在相互作用的系統(tǒng)。此時我們沒有觸