第7章 存儲論-第3,4節(jié).ppt

1、運籌學,第6章 存貯論第3節(jié) 隨機性存儲模型,第13章 存貯論,第3節(jié) 隨機性存儲模型 第4節(jié) 其他類型存貯問題,第3節(jié) 隨機性存儲模型,隨機性存儲模型的重要特點是需求為隨機的，其概率或分布為已知。在這種情況下，前面所介紹過的模型已經(jīng)不能適用了。例如商店對某種商品進貨500件，這500件商品可能在一個月內(nèi)售完，也有可能在兩個月之后還有剩余。商店如果想既不因缺貨而失去銷售機會，又不因滯銷而過多積壓資金，這時必須采用新的存儲策略,可供選擇的策略主要有三種,(1) 定期訂貨，但訂貨數(shù)量需要根據(jù)上一個周期末剩下貨物的數(shù)量決定訂貨量。剩下的數(shù)量少，可以多訂貨。剩下的數(shù)量多，可以少訂或不訂貨。這種策略可稱

2、為定期訂貨法。 (2) 定點訂貨，存儲降到某一確定的數(shù)量時即訂貨，不再考慮間隔的時間。這一數(shù)量值稱為訂貨點，每次訂貨的數(shù)量不變，這種策略可稱之為定點訂貨法。 (3) 把定期訂貨與定點訂貨綜合起來的方法，隔一定時間檢查一次存儲，如果存儲數(shù)量高于一個數(shù)值s，則不訂貨。小于s時則訂貨補充存儲，訂貨量要使存儲量達到S，這種策略可以簡稱為(s,S)存儲策略。,與確定性模型不同的特點還有：,不允許缺貨的條件只能從概率的意義方面理解，如不缺貨的概率為0.9等。存儲策略的優(yōu)劣通常以贏利的期望值的大小作為衡量的標準。 為了講清楚隨機性存儲問題的解法，先通過一個例題介紹求解的思路。,例7,某商店擬在新年期間出售一

3、批日歷畫片，每售出一千張可贏利700元。如果在新年期間不能售出，必須削價處理，作為畫片出售。由于削價，一定可以售完，此時每千張賠損400元。根據(jù)以往的經(jīng)驗，市場需求的概率見表7-1。,表7-1,每年只能訂貨一次，問應訂購日歷畫片幾千張才能使獲利的期望值最大?,解 如果該店訂貨4千張，我們計算獲利的可能數(shù)值,訂購量為4千張時獲利的期望值：,EC(4)=(-1600)0.05 +(-500)0.10+6000.25 +17000.35+28000.15 +28000.10 =1315(元),上述計算法及結(jié)果列于表7-2獲利期望值最大者標有(*)記號，為1440元?？芍摰暧嗁?000張日歷畫片可使

4、獲利期望值最大。,從相反的角度考慮求解,當訂貨量為Q時，可能發(fā)生滯銷賠損(供過于求的情況)，也可能發(fā)生因缺貨而失去銷售機會的損失(求過于供的情況)。把這兩種損失合起來考慮，取損失期望值最小者所對應的Q值。,訂購量為2千張時，損失的可能值：,當訂貨量為2千張時，缺貨和滯銷兩種損失之和的期望值,EC(2)=(-800)0.05 + (-400)0.10+00.25 +(-700)0.35+(-1400)0.15 +(-2100)0.10 = 745(元) 按此算法列出表7-3。,表7-3,比較表中期望值以-485最大，即485為損失最小值。 該店訂購3000張日歷畫片可使損失的期望值最小。 這結(jié)論

5、與前邊得出的結(jié)論一樣，都是訂購3000張。 這說明對同一問題可從兩個不同的角度去考慮： 一是考慮獲利最多，一是考慮損失最小。 這是一個問題的不同表示形式。,3.1 模型五：需求是隨機離散的,報童問題：報童每日售報數(shù)量是一個隨機變量。報童每售出一份報紙賺k元。如報紙未能售出，每份賠h元。每日售出報紙份數(shù)r的概率P(r)根據(jù)以往的經(jīng)驗是已知的，問報童每日最好準備多少份報紙? 這個問題是報童每日報紙的訂貨量Q為何值時，賺錢的期望值最大?反言之，如何適當?shù)剡x擇Q值，使因不能售出報紙的損失及因缺貨失去銷售機會的損失，兩者期望值之和最小?，F(xiàn)在用計算損失期望值最小的辦法求解。,解 設售出報紙數(shù)量為r，其概率

6、P(r)為已知,設 報童訂購報紙數(shù)量為Q。 供過于求時(rQ)，這時報紙因不能售出而承擔的損失，其期望值為： 供不應求時(rQ)，這時因缺貨而少賺錢的損失，其期望值為：,綜合，兩種情況，當訂貨量為Q時，損失的期望值為：,要從式中決定Q的值，使C(Q)最小。,由于報童訂購報紙的份數(shù)只能取整數(shù)，r是離散變量，所以不能用求導數(shù)的方法求極值。為此設報童每日訂購報紙份數(shù)最佳量為Q，其損失期望值應有： C(Q)C(Q+1) C(Q)C(Q-1),從出發(fā)進行推導有,由出發(fā)進行推導有,報童應準備的報紙最佳數(shù)量Q應按下列不等式確定：,從贏利最大來考慮報童應準備的報紙數(shù)量。 設報童訂購報紙數(shù)量為Q， 獲利的期望值

7、為C(Q)， 其余符號和前面推導時表示的意義相同。,此時贏利的期望值為：,當需求rQ時，報童因為只有Q份報紙可供銷售，贏利的期望值為 無滯銷損失。,由以上分析知贏利的期望值：,為使訂購Q贏利的期望值最大，應滿足下列關(guān)系式： C(Q+1)C(Q) C(Q-1)C(Q),從式推導，,經(jīng)化簡后得,同理從推導出,用以下不等式確定Q的值， 這一公式與(7-25)式完全相同。,現(xiàn)利用公式(7-25)解例7的問題。,已知：k=7, h=4, P(0)=0.05， P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35,知該店應訂購日歷畫片3千張。,例8,某店擬出售甲商品，每單位甲商品成本50元，售價70

8、元。如不能售出必須減價為40元，減價后一定可以售出。已知售貨量r的概率服從泊松分布(=6為平均售出數(shù)) 問該店訂購量應為若干單位?,解 該店的缺貨損失，每單位商品為70-50=20。滯銷損失，每單位商品50-40=10，利用(15-13)式，其中k=20，h=10,因,故訂貨量應為：7單位， 此時損失的期望值最小。,例9 上題中如缺貨損失為10元，滯銷損失為20元。在這種情況下該店訂貨量應為若干?,解 利用(7-13)式，其中k=10,h=20,查統(tǒng)計表，找與0.3333相近的數(shù),F(4)0.3333F(5)，故訂貨量應為甲商品5個單位。,答 該店訂貨量為5個單位甲商品。 模型五只解決一次訂貨

9、問題，對報童問題實際上每日訂貨策略問題也應認為解決了。 但模型中有一個嚴格的約定，即兩次訂貨之間沒有聯(lián)系，都看作獨立的一次訂貨。 這種存儲策略也可稱之為定期定量訂貨。,3.2 模型六：需求是連續(xù)的隨機變量,設 貨物單位成本為K，貨物單位售價為P，單位存儲費為C1，需求r是連續(xù)的隨機變量，密度函數(shù)為(r)，(r)dr表示隨機變量在r與r+dr之間的概率，其分布函數(shù) 生產(chǎn)或訂購的數(shù)量為Q，問如何確定Q的數(shù)值，使贏利的期望值最大?,解 首先我們來考慮當訂購數(shù)量為Q時，實際銷售量應該是minr,Q。也就是當需求為r而r小于Q時，實際銷售量為r；rQ時，實際銷售量只能是Q,贏利的期望值：,記,為使贏利期

10、望值極大化，有下列等式：,(7-26)式表明了贏利最大與損失極小所得出的Q值相同。 (7-27)式表明最大贏利期望值與損失極小期望值之和是常數(shù)。 從表7-2與表7-3中對應著相同的Q，去掉7-3表中數(shù)據(jù)的負號后， 兩者期望值之和皆為19.25，稱為該問題的平均盈利。,求贏利極大可以轉(zhuǎn)化為求EC(Q)(損失期望值)極小。,當Q可以連續(xù)取值時，EC(Q)是Q的連續(xù)函數(shù)?？衫梦⒎址ㄇ笞钚?。,從此式中解出Q，記為Q*，Q*為EC(Q)的駐點。又因 知Q*為EC(Q)的極小值點，在本模型中也是最小值點。,令,若P-K0,顯然由于F(Q)0，等式不成立，此時Q*取零值。即售價低于成本時，不需要訂貨(或生

11、產(chǎn))。式中只考慮了失去銷售機會的損失，如果缺貨時要付出的費用C2P時，應有,按上述辦法推導得,模型五及模型六都是只解決一個階段的問題。 從一般情況來考慮， 上一個階段未售出的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售。 這時應該如何制定存儲策略呢?,假設 上一階段未能售出的貨物數(shù)量為 I，作為本階段初的存儲，有,定期訂貨，訂貨量不定的存儲策略,3.3 模型七：(s,S)型存儲策略,1. 需求為連續(xù)的隨機變量 設 貨物的單位成本為K,單位存儲費用為C1，每次訂購費為C2，需求r是連續(xù)的隨機變量 ，密度函數(shù)為， 分布函數(shù)， 期初存儲量為I，定貨量為Q，此時期初存儲達到S=I+Q。問如何確定Q的值，使損失的期望值最

12、小(贏利的期望值最大)?,本階段需訂貨費,本階段所需訂貨費及存儲費、缺貨費期望值之和,Q可以連續(xù)取值，C(S)是S的連續(xù)函數(shù)。,本階段的存儲策略：,當sS時,不等式右端存儲費用期望值大于左端存儲費用期望值，右端缺貨費用期望值小于左端缺貨費用期望值；一增一減后仍然使不等式成立的可能性是存在的。 如有不止一個s的值使下列不等式成立， 則選其中最小者作為本模型(s,S)存儲策略的s。,相應的存儲策略是：,每階段初期檢查存儲，當庫存Is時，需訂貨，訂貨的數(shù)量為Q，Q=S-I。當庫存Is時，本階段不訂貨。這種存儲策略是：定期訂貨但訂貨量不確定。訂貨數(shù)量的多少視期末庫存I來決定訂貨量Q，Q=S-I。對于不

13、易清點數(shù)量的存儲，人們常把存儲分兩堆存放，一堆的數(shù)量為s，其余的另放一堆。平時從另放的一堆中取用，當動用了數(shù)量為s的一堆時，期末即訂貨。如果未動用s的一堆時，期末即可不訂貨，俗稱兩堆法。,2需求是離散的隨機變量時,本階段所需的各種費用：,本階段所需的各種費用：,本階段所需的各種費用：,求解,(3) 求S的值使C(S)最小。因為,選出使C(Si )最小的S值，,由可推導出,因 即,由同理可推導出,綜合以上兩式，得到為確定Si的不等式,其中,綜合上面兩式，,例10,解 ：,下面對答案進行驗證,分別計算S為30，40，50所需訂貨費及存儲費期望值、缺貨費期望值三者之和。比較它們看是否當S為40時最小

14、(見表7-4)。,計算s的方法：考查不等式(7-31),分別將30，40代人(7-31),將30作為s值代入(7-31)式左端得 80030+1015(40-30)0.2+(50-30)0.4+(60-30)0.2 =40240 將40代入(7-31)式左端得 60+80040+40(40-30)0.2+1015(50-40)0.4+(60-40)0.2 =40260,解答,即左端數(shù)值為40240，右端數(shù)值為40260，不等式成立，30已是r的最小值故s=30。 例10 的存儲策略為 每個階段開始時檢查存儲量I，當I30箱時不必補充存儲。當I30箱時補充存儲量達到40箱。,例11 某廠對原料需

15、求量的概率為,P(r=80)=0.1，P(r=90)=0.2，P(r=100)=0.3 P(r=110)=0.3，P(r=120)=0.1 訂貨費C3=2825元，K=850元 存儲費C1=45元(在本階段的費用) 缺貨費C2=1250元(在本階段的費用) 求該廠存儲策略。,：,求解,求解,答,該廠存儲策略每當存儲I80時補充存儲，使存儲量達到100， 每當存儲I80時不補充。,例12 某市石油公司，下設幾個售油站。,石油存放在郊區(qū)大型油庫里，需要時用汽車將油送至各售油站。該公司希望確定一種補充存儲的策略，以確定應儲存的油量。該公司經(jīng)營石油品種較多，其中銷售量較多的一種是柴油。因之希望先確定柴

16、油的存儲策略。,經(jīng)調(diào)查后知每月柴油出售量服從指數(shù)分布，平均銷售量每月為一百萬升。其密度為：,柴油每升2元，不需訂購費。由于油庫歸該公司管轄，油池灌滿與未灌滿時的管理費用實際上沒有多少差別，故可以認為存儲費用為零。如缺貨就從鄰市調(diào)用，缺貨費3元/升。求柴油的存儲策略。,解 根據(jù)例12中條件知C1=0，C3=0，K=2，C2=3，計算臨界值。,利用(7-31)式,由觀察，它有唯一解s=S，,3.4 模型八：需求和備貨時間都是隨機離散的,(僅通過具體例題介紹求解法) 若t時間內(nèi)的需求量r是隨機的，其概率t(r)已知，單位時間內(nèi)的平均需求為也是已知的，則t時間內(nèi)的平均需求為t。備貨時間x是隨機的，其概

17、率P(x)已知。 設 單位貨物年存儲費用為C1，每階段單位貨物缺貨費用為C2，每次訂購費用為C3，年平均需求為D。由于需求、備貨時間都是隨機的，應有緩沖(安全)存儲量B，以減少發(fā)生缺貨現(xiàn)象。 L：訂貨點，B：緩沖存儲量，x1,x2,備貨時間 (見圖7-11)。,圖7-11,問如何確定緩沖存儲量B，訂貨點L，以及訂貨量Q0，使總費用最小?,對這種類型問題的解法,PL的計算很繁，簡化計算,例13 (模型八)某廠生產(chǎn)中需用鋼材，t 時間內(nèi)需求的概率服從泊松分布：,例13,例 13,年存儲費用每噸為50元，每次訂購費用為1500元，缺貨費用每噸為5000元，問每年應分多少批次?又訂購量Q，緩沖存儲量B

18、，訂貨點L，各為何值才使費用最少? 解： ,下面計算L及B，各步算出的數(shù)值列于表7-5。,續(xù) 表7-5,續(xù) 表7-5,根據(jù)表7-5算出PL、B和費用的數(shù)值見表7-6。,說明:, 備貨時間小于13，或大于18者，因為它們的概率很小，故略去。 L的選值可以多一些，如保證可以選到最小值，L選值也可少一些。由表中可以看到當L=25，B=10費用588*為最小。據(jù)此即可確定存儲策略。,答 該廠定購批量為146噸，定購點為25噸，每年訂貨2.次(兩年訂貨5次)，緩沖存儲量為10噸。,當清點存儲花費勞動多，或清點困難時，人們常把存儲物分成三堆存放。 以例13來說，將緩沖存儲量B=10噸放一處，稱之為第三堆。將平均拖后時間內(nèi)的平均需求量DL=15噸放另一處稱第二堆。第三堆、 第二堆之和等于訂貨點25噸。 其余存儲另放一處稱第一堆。平日從第一堆取用，第一堆用完，動用第二堆時，立即訂貨。動用第三堆時，即需采取措施以防缺貨。,第4節(jié)* 其他類型存儲問題,有些存儲問題遠較本章所述模型復雜，上述公式不能用來求解，也可以利用運籌學的其他方法求解。如水庫儲水的調(diào)度問題，有人利用排隊論方法處理問題，有人利用動態(tài)規(guī)劃方法，都做出了成績。 下面介紹一個例題，與本章前述的方法無關(guān)，可用線性規(guī)劃方法求解。,4.1 庫容有限