線性代數(shù)第二章 矩陣.ppt

1、線性代數(shù),主講教師：蘭星,全國高等教育自學考試 線性代數(shù) 蘭 星,引例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.,B,A,C,D,城市間的航班圖情況常用表格來表示:,一、矩陣概念的引入,2.1 矩陣,為了便于計算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：,A B C D,A B C D,這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,例 某工廠生產四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可 用數(shù)表表示為：,這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：,其中bi 1

2、 表示第 i 種貨物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,由 mn 個數(shù) 排成的 m 行 n 列的數(shù)表,稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣,記作,二、矩陣的定義,簡記為,這 mn 個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.,元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，,元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣.,是一個 矩陣,是一個 矩陣,是一個 矩陣,是一個 矩陣.,例如,是一個 實矩陣,行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 . 只有一行的矩陣 稱為行矩陣(或行向量) . 只有一列的矩陣 稱為列矩陣(或列向量) . 元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .,例如：,三、特殊的矩陣,4.形如 的方

3、陣稱為對角陣.,記作,方陣,稱為數(shù)量矩陣.,(或純量陣),記作 或 ,特別的，方陣 稱為單位陣,5、方陣,稱為上三角形矩陣 （或上三角陣）,方陣,稱為下三角矩陣 （或下三角陣）,上三角與下三角陣統(tǒng)稱為三角形矩陣（或三角陣）,6、對稱矩陣與反對稱矩陣,定義,設A為n 階方陣，如果滿足 那末 A 稱為對稱(矩)陣.,對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等.,說明,例如,是對稱矩陣.,定義,設B為n階方陣，如果滿足 那末 B 稱為反對稱(矩)陣.,例如,是反對稱矩陣.,7、同型矩陣與矩陣相等的概念,兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.,例如,為同型矩陣.,兩個矩陣 與 為同型矩陣，并且對應

4、元 素相等，即 則稱矩陣 A 與 B 相等，記作 A = B .,注意：不同型 的零矩陣是不 相等的.,例如,一、矩陣的加法,定義：設有兩個 mn 矩陣 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 AB，規(guī)定為,說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.,2.2 矩陣的運算,知識點比較,矩陣加法的運算規(guī)律,設 A、B、C 是同型矩陣,設矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負矩陣 顯然,二、數(shù)與矩陣相乘,定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為,數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律,設 A、B是同型矩陣，l , m 是

5、數(shù),矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.,知識點比較,一、矩陣與矩陣相乘,定義：設 ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 mn 矩陣 ，其中,并把此乘積記作 C = AB,只有當左邊矩陣A 的列數(shù)等于右邊矩陣B 的行數(shù)時，兩個矩陣相乘才有意義.,乘積矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，列數(shù)等于矩陣B的列數(shù).,乘積矩陣 第 行第 列元素 ，等于矩陣 的第 行元 素 ，與矩陣 的第 列元素 的乘積之和.,比如：設,則,利用矩陣的乘法,對于由m個方程，n個未知數(shù)組成的n元線性 方程組,可以寫成：Ax =. 其中,又比如,結論： 矩陣乘法不一定滿足交換律. 矩陣 ，卻有 ，從而不能由

6、 得出 或 的結論,矩陣乘法的運算規(guī)律,(1) 乘法結合律,(3) 乘法對加法的分配律,(2) 數(shù)乘和乘法的結合律 （其中 l 是數(shù)）,(4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即,推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣 lE 與任何同階方陣都是可交換的.,純量陣不同于對角陣,(5) 矩陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義,顯然,思考：下列等式在什么時候成立？,A、B可交換時成立,方陣的多項式：已知x的一元m次多項式,對于n階方陣A ，令,稱上式為n階方陣A的一元m次多項式.,例 設,，對于 ，,求,解,四、矩陣的轉置,定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 A的轉置矩

7、陣，記作AT .,比如,轉置矩陣的運算性質,n 階方陣A為對稱陣,n 階方陣A為反對稱陣,例：已知,解法1,解法2,五、方陣的行列式,定義：由 n 階方陣A的元素所構成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA.即,運算性質,（ 均為n階方陣）,3 矩陣分塊法,由于某些條件的限制，我們經常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢?,這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳;家具的拆卸與裝配,問題一：什么是矩陣分塊法？,定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操 作稱為對矩陣進行分塊；每一個小塊稱為矩陣的子塊； 矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩

8、陣.,這是2階方陣嗎？,問題二：為什么提出矩陣分塊法？,答：對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A，運算時采用分塊法，可以 使大矩陣的運算化成小矩陣的運算，體現(xiàn)了化整為零的思想.,一、分塊矩陣的加法,若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即,則有,形式上看成是普通矩陣的加法！,二、分塊矩陣的數(shù)乘,若l 是數(shù)，且 ，,則有,形式上看成是普通的數(shù)乘運算！,三、分塊矩陣的乘法,一般地，設 A為ml 矩陣，B為l n矩陣 ，把 A、B 分塊如下：,其中,按行分塊以及按列分塊,mn矩陣A 有m行n列，,若將第j 列記作,則,若將第i 行記作,于是設A為ms 矩陣，B 為s n矩陣，若把A 按行分塊，把B 按

9、列塊，則,四、分塊矩陣的轉置,分塊矩陣不僅形式上進行轉置， 而且每一個子塊也進行轉置,五、分塊對角矩陣與分塊三角形矩陣,分塊對角矩陣的特點： A 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊， 其余子塊都為零矩陣， 對角線上的子塊都是方陣，,定義1：形如 的分塊矩陣，稱為分塊對角 矩陣或準對角矩陣,分塊對角矩陣的性質,例如：,性質：設 是分塊對角矩陣，則有,定義2：形如 的分塊矩陣，稱為分塊上 三角行矩陣（其中 均為方陣）,定義3：形如 的分塊矩陣，稱為分塊下 三角行矩陣（其中 均為方陣）,分塊三角形角矩陣的性質,矩陣與數(shù)相仿，有加、減、乘三種運算. 矩陣的乘法是否也和數(shù)一樣有逆運算呢？ 這就是本節(jié)所要

10、討論的問題. 這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是 n 階方陣.,從乘法的角度來看，n 階單位矩陣 E 在同階方陣中的地位類似于 1 在數(shù)中的地位 一個數(shù) a 0的倒數(shù) a1可以用等式 a a1 = 1 來刻劃. 類似地，我們引入,對于 n 階單位矩陣 E 以及同階的方陣 A，都有,2.4 逆矩陣,定義1：設A為 n 階方陣 ，如果存在 n 階方陣 B，使得,則稱n 階方陣A 為可逆矩陣.（其中 E 是 n 階單位矩陣）,根據矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式. 對于任意的 n 階方陣 A，適合上述等式的矩陣 B 是唯 一的（如果有的話）.,定義2： 如果矩陣 B 滿足上述等式，

11、那么 B 就稱為 A 的逆矩陣， 記作 A1 ，即A1 =B.,下面要解決的問題是：（1）在什么條件下，方陣 A 是可逆的？（2）如果 A 可逆，怎樣求 A1 ？,定義3：行列式 的各個元素的代數(shù)余子式,Aij 所構成的如下矩陣,稱為矩陣 A 的伴隨矩陣.記作 .,性質,證明,性質： ，其中 是 的伴隨矩陣,定理：方陣 可逆的充分必要條件是 ，并且 當A可逆時，有,推論：設 n 階方陣A、B 滿足： 那么A、B都是可逆矩陣，,并且它們互為逆矩陣，即,方陣A可逆,此時，稱矩陣A為非奇異矩陣,例：求二階矩陣 的逆矩陣.,（其中 ）,解,且,例：求3階方陣 的逆矩陣.,解：| A | = 1，,則,

12、性質： 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB也可逆，且,分塊對角矩陣的逆,設 是分塊對角矩陣，且 均為可逆矩陣，則 也可逆，且,例 設矩陣A,B,C和X分別滿足下列等式，求矩陣X：,（1）AX=B ;,（2）XA=C.,解,其中,則有,（1)用A-1左乘等式AX=B兩邊，得到,（2)用A-1右乘等式XA=C兩邊，得到,（1）交換 的某兩行（列），記作 ；,（2）以非零常數(shù) k 乘以 的某一行（列）的所有元素，記 作 ；,（3）將 的某一行（列）加上另一行（列）的 k 倍，記作 .,矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,定義1：設矩陣 ，則下列三種變換稱為矩陣的初等 行（列）變

13、換：,2.5 矩陣的初等變換和初等矩陣,一、矩陣的初等變換與初等矩陣,定義2：由單位矩陣 E 經過一次初等變換得到的矩陣稱為 初等矩陣.,對調單位陣的兩行（列）,記作 P ( i, j ) ;,(2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）,(3)以 k 乘單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列）,三種初等變換對應著三種初等矩陣.,記作 P (i(k) ;,記作 P (i j(k),(1) 對調單位陣的第 i, j 行（列），,記作 P5(3, 5),記作 Pm( i, j ),(2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列），,記作 P5 (3(k),記作 P m(i(k),(3)以 k 乘單位陣

14、第 j 行加到第 i 行,記作 P5(35(k),記作 Pm (ij(k),以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列,?,兩種理解！,結論,定理1： 設A是一個 mn 矩陣， （1）對 A 施行一次初等行變換，相當于在 A 的左邊乘以相應的 m 階初等矩陣； （2）對 A 施行一次初等列變換，相當于在 A 的右邊乘以相應的 n 階初等矩陣.,口訣：左行右列.,因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,因

15、為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,初等矩陣的逆矩陣,初等矩陣的逆矩陣是：,?,初等矩陣的性質：,性質1 初等矩陣的轉置矩陣仍為初等矩陣.,性質2 初等矩陣為可逆矩陣，并且其逆矩陣仍為初等矩陣.,矩陣之間的等價關系具有下列性質： 反身性 ； 對稱性 若 ，則 ； 傳遞性 若 ，則 ,二、矩陣之間的等價關系,有限次初等變換,則稱矩陣 A 與矩陣 B 等價，記作,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,行

16、最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,標準形矩陣： 左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零.,標準形矩陣由m、n、r三個參數(shù)完全 確定，其中 r 就是行階梯形矩陣中非 零行的行數(shù).,三者之間的包含關系,定理2: 任意矩陣 都可以經過初等變換與一個形如,的（分塊）矩陣等價，這個矩陣稱為矩陣 的等價標準形， 記作 ，并且 唯一，與所做的初等變換無關,零矩陣 的等價標準形為其自身.,任何矩陣,行最簡形矩陣,行階梯形矩陣,標準形矩陣,結論,定理3：兩個 mn 矩陣A與B等價的充分必

17、要條件是A與B有 相同的等價標準形.,例 求矩陣 的等價標準形，并寫出每次初等變換對 應的初等矩陣.,解,初等變換（1）對應的初等矩陣為：,初等變換（2）對應的初等矩陣為：,初等變換（3）對應的初等矩陣為：,從而有：,推論1 對任意mn矩陣A，必存在m階初等矩陣P1, P2, , Ps 和n階初等矩陣Q1 , Q2, , Qt ，使得 P1 P2 Ps A Q1 Q2 Qt =,推論3 n階矩陣 A 可逆的充要條件是A 的等價標準形 = E .,推論4 n階矩陣A可逆的充要條件是存在n階初等矩陣P1, P2, , Ps 和Q1 , Q2, , Qt ，使得 P1 P2 Ps A Q1 Q2 Q

18、t =E 即 n階矩陣A可逆的充要條件是A可以表示為有限個初等矩陣的乘積.,推論2 對任意mn矩陣A，必存在m階初等矩陣P和n階初等矩Q， 使得 PA Q=,三、求逆矩陣的初等變換法,解,例,即,四、用初等行變換法求解形如AX=B的矩陣等式,利用初等行變換求逆陣的方法，還可用于求矩陣,矩陣等式 AX=B 中，如果 A 與B為已知矩陣，并且 A 可逆，則,例,解,一、矩陣的秩的概念,定義1：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m,kn)，位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式,顯然，mn 矩陣 A 的

19、 k 階子式共有 個,2.6 矩陣的秩,定義2：設矩陣 A 中有一個不等于零的 k 階子式 D，且所有 k +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A的 最高階非零子式，數(shù) k 稱為矩陣 A 的秩，記作 r(A)=k,規(guī)定：零矩陣的秩等于零,矩陣 A 的一個 3 階子式,矩陣 A 的 2 階子式,如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個 3 階子式也等于零,（1）根據行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個r +2 階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來表示 （2）如果矩陣 A 中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于

20、零 （3)事實上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都等于零 . 因此矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),顯然， 若矩陣 A 中有某個 s 階子式不等于零，則 r(A) s ； 若矩陣 A 中所有 t 階子式等于零，則 r(A) t 若 A 為 n 階矩陣，則 A 的 n 階子式只有一個，即|A| 當|A|0 時， r(A) = n ; 可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣 當|A| = 0 時， r(A) n ; 不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣 若 A 為 mn 矩陣，則 0r(A)min(m, n) r(AT) =

21、r(A) ,矩陣 A 的一個 2 階子式,矩陣 AT 的一個 2 階子式,AT 的子式與 A 的子式對應相等，從而 r(AT) = r(A) ,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解：在 A 中，2 階子式 ,A 的 3 階子式只有一個，即|A|，而且|A| = 0，因此 r(A) = 2,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 是一個行階梯形矩陣，其非零行有 3 行，因此其 4 階子式全為零,以非零行的第一個非零元為對角元的 3 階子式,，因此 r(B) = 3 ,還存在其它3 階非零子式嗎？,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 還有其它 3 階非零子式，例如,結論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù),二、矩陣的秩的計算,例：求矩陣 A 的秩，其中 ,分析：在 A 中，2 階子式 ,A 的 3 階子式共有 (個)， 要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的,一般的矩陣，當行數(shù)和列數(shù)較高時，按