函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù).ppt

1、第四節(jié) 函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及三角函數(shù) 模型的簡單應用,【知識梳理】 1.必會知識教材回扣填一填 (1)由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(x+)(A0,0)的圖象的步驟:,縮短,伸長,A,；,(2)用“五點法”作函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的圖象的一般步驟: 列表:,0,A,0,描點畫圖:在坐標系中描出這五個關(guān)鍵點,用光滑的曲線順次連接這些點,就得到y(tǒng)=Asin(x+)在一個周期內(nèi)的圖象. (3)簡諧振動y=Asin(x+)中的有關(guān)物理量:,x+,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 正、余弦函數(shù)的圖象在一個周期0,2內(nèi)的五個關(guān)鍵點分別是：(0，0)，( ,1),(,

2、0),( ,-1),(2,0);(0,1),( ,0), (,-1),( ,0),(2,1).,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法：由函數(shù)y=sin x的圖象經(jīng)過平移、伸縮變換得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象的方法，“五點法”作函數(shù)y=Asin(x+)的圖象的方法. (2)數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸. (3)記憶口訣： 左加右減，上加下減. 橫向伸長，周期變大，x的系數(shù)變小. 橫向縮短，周期變小，x的系數(shù)變大.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)把y=sin x的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的 ，所得圖象對應的函數(shù)解析式為y=sin x.( ) (2)正

3、弦函數(shù)y=sin x的圖象在0，2上的五個關(guān)鍵點是(0，0)，( ,1)，(，0)，( ,-1),(2,0).( ) (3)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致.( ),(4)由圖象求解析式時，振幅A的大小是由一個周期內(nèi)的圖象中的最高點的值與最低點的值確定的.( ),【解析】(1)錯誤.橫坐標縮短，周期變小，變大，故本題變換后， 所得圖象的解析式為y=sin 2x.(2)正確.由正弦函數(shù)y=sin x的圖象 易知本結(jié)論正確.(3)錯誤.“先平移，后伸縮”的平移單位長度為 |，而“先伸縮，后平移”的平移單位長度為 .故當1時平 移的長度不相等.(4)正確.振幅

4、A的值是由最大值M與最小值m確定的， 其中 答案：(1) (2) (3) (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P55T2改編)為了得到函數(shù)y=2sin(x- )的圖象，只要把函數(shù)y=2sin(x+ )的圖象上所有的點( ) A.向右平移 個單位長度 B.向左平移 個單位長度 C.向右平移 個單位長度 D.向左平移 個單位長度 【解析】選C.根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則可知C正確.,(2)(必修4P58T4改編)電流i(單位：A)隨時間t(單位：s)變化的函數(shù)關(guān)系是i=5sin(100t+ ),t0,+).則電流i變化的初相、周期分別是_. 【解析】由初相和周期的定義，得電流i變化的

5、初相是 ,周期 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014四川高考)為了得到函數(shù)y=sin(2x+1)的圖象，只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點( ) A.向左平行移動 個單位長度 B.向右平行移動 個單位長度 C.向左平行移動1個單位長度 D.向右平行移動1個單位長度,【解析】選A.將y=sin 2x的圖象上所有的點向左平行移動 個單位長度得到函數(shù)y=sin2(x+ )=sin(2x+1).故選A.,(2)(2015柳州模擬)若函數(shù)y=sin(x+)(0) 的部分圖象如圖，則=( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】選B.由圖象可知， 即 ,故=4.,(3)(2

6、013新課標全國卷)函數(shù)y=cos(2x+)(-)的圖象向右平移 個單位后，與函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象重合，則= _. 【解析】函數(shù)y=cos(2x+)的圖象向右平移 個單位，得到y(tǒng)= sin(2x+ )的圖象，即y=sin(2x+ )的圖象向左平移 個單位得到函數(shù)y=cos(2x+)的圖象. y=sin(2x+ )的圖象向左平移 個單位，,得到y(tǒng)=sin2(x+ )+ =sin(2x+ )=-sin(2x+ )= cos( +2x+ )=cos(2x+ ), 因為-,所以= . 答案：,考點1 函數(shù)y=Asin(x+)的圖象及變換 【典例1】(1)(2014重慶高考)將函數(shù)f(x)=

7、sin(x+)(0, - )圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移 個單位長度得到y(tǒng)=sin x的圖象，則f( )=_. (2)已知函數(shù)y=3sin( ). 用五點法作出函數(shù)的圖象； 說明此圖象是由y=sin x的圖象經(jīng)過怎么樣的變化得到的.,【解題提示】(1)先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求出,的值，然后求出實數(shù)f( )的值. (2)將 看成一個整體，列表得出五個關(guān)鍵點.圖象變換時先平移后伸縮.,【規(guī)范解答】(1)函數(shù)f(x)=sin(x+)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，則函數(shù)變?yōu)閥=sin(2x+)，再向右平移 個單位長度得到的函數(shù)為 所以 又因為0,可求

8、得= ,= ，所以f(x)= 所以 答案：,(2)列表：,描點、連線，如圖所示：,先把y=sin x的圖象上所有點向右平移 個單位，得到y(tǒng)=sin(x- ) 的圖象；再把y=sin(x- )的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2 倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)=sin( x- )的圖象，最后將y=sin( x- ) 的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)，就得到 y=3sin( x- )的圖象.,【互動探究】在本例(2)中，條件不變，作出函數(shù)在0,4上的圖象. 【解析】因為0 x4，作出函數(shù)在0,4上的圖象, 所以 列表如下：,描點，作出函數(shù)圖象如圖,【規(guī)律方法】 1.在指定區(qū)間a,b上

9、畫函數(shù)y=Asin(x+)的圖象的方法 (1)選取關(guān)鍵點:先求出x+的范圍,然后在這個范圍內(nèi)選取特殊點,連同區(qū)間的兩端點一起列表,此時列表一般是六個點. (2)確定凹凸趨勢:令x+=0得x=x0,則點(x0,y0)兩側(cè)的變化趨勢與y=sin x中(0,0)兩側(cè)的變化趨勢相同,可據(jù)此找準對應點,以此把握凹凸趨勢.,2.兩種不同變換思路中平移單位的區(qū)別 由y=sin x的圖象變換到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象,兩種變換的區(qū)別:先平移再伸縮,平移的量是|個單位;而先伸縮再平移,平移的量是 (0)個單位. 提醒:平移變換和伸縮變換都是針對x而言,即x本身加減多少值,而不是依賴于x加減多少值.,【變式訓練

10、】已知函數(shù)f(x)=sin(x+ )(xR，0)的最小正周期為，為了得到函數(shù)g(x)=cos x的圖象，只要將y=f(x)的圖 象( ) A.向左平移 個單位長度 B.向右平移 個單位長度 C.向左平移 個單位長度 D.向右平移 個單位長度,【解析】選A.由題意得 =，=2，所以f(x)=sin(2x )，g(x)=cos 2x=sin(2x ).將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 個單位長度時，y=sin2(x+ )+ =sin(2x )=cos 2x.,【加固訓練】1.將函數(shù)y=sin(2x)(0)的圖象向左平移 個單位后，所得的函數(shù)恰好是偶函數(shù)，則的值是_ 【解析】函數(shù)y=sin(2x+)

11、的圖象向左平移 個單位后，得y=sin(2x+ +)，則 +=k+ ,kZ.又0，故= 答案：,2.(2015濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+ ). (1)求f(x)的最小正周期和最大值. (2)畫出函數(shù)y=f(x)在0,上的圖象，并說明y=f(x)的圖象是由y=sin 2x的圖象怎樣變換得到的. 【解析】(1)f(x)=2sin(2x+ ). 則f(x)的最小正周期T= =. 當2x+ =2k+ (kZ), 即當x=k+ (kZ)時f(x)max=2.,(2)列表如下：,根據(jù)列表，描點、連線，作圖如下.,y=f(x)的圖象是由y=sin 2x的圖象經(jīng)過以下變換得到的： 先將y=s

12、in 2x的圖象向左平移 個單位，得到y(tǒng)=sin(2x+ )的圖象，再將y=sin(2x+ )的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變，得到y(tǒng)=2sin(2x+ )的圖象.,考點2 由圖象求解析式 【典例2】(1)(2013四川高考)函數(shù)f(x)=2sin(x+), 的部分圖象如圖所示，則,的值分別是( ),(2)(2015銅陵模擬)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)+b(0, | )的圖象的一部分如圖所示： 求f(x)的解析式； 求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.,【解題提示】(1)本題考查的是,對函數(shù)f(x)=2sin(x+)圖象的影響，需要重點關(guān)注的是周期與最大(小)值點. (2)由最高

13、點和最低點的縱坐標求A和b，由周期求，由最高點的坐標求.,【規(guī)范解答】(1)選A.根據(jù)圖象可知 所以函 數(shù)的周期為，可得=2，根據(jù)圖象過 代入解析式，結(jié)合 可得= 故選A.,(2)由圖象可知，函數(shù)的最大值M=3，最小值m=-1， 則 又 所以f(x)=2sin(2x+)+1. 將x= ,y=3代入上式,得sin( +)=1, 所以 += +2k,kZ,即= +2k,kZ.,因為| ,所以= 所以f(x)=2sin(2x+ )+1. 由2k- 2x+ 2k+ (kZ),得k- xk+ (kZ), 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是k- ,k+ (kZ).,【易錯警示】解答本例(2)有三點容易出錯：

14、(1)識別圖象不清，無法確定A,b的值. (2)不能從圖象中求出周期，從而求不出. (3)忽視的取值范圍，從而求錯的值.,【互動探究】對于本例(2),根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的對稱軸及其單調(diào)遞減區(qū)間. 【解析】由圖象知,函數(shù)f(x)的周期是2( )=.函數(shù)f(x)的對稱軸是x= (kZ),單調(diào)遞減區(qū)間是k+ ,k+ (kZ).,【規(guī)律方法】確定y=Asin(x)B(A0，0)的解析式的步驟 (1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則 (2)求，確定函數(shù)的周期T，則 (3)求，常用方法有： 代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低

15、點代入,五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為x=0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為x= ；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為x=；“第四點”(即圖象的“谷點”)為x= ；“第五點”為x=2.,【變式訓練】(2015鄭州模擬) 如圖是函數(shù)y=Asin(x)(A0,0,xR)在區(qū)間 上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將y=sin x(xR)的圖象上所有的點( ),A.向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變 B向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變 C向

16、左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變 D向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變,【解析】選A.由圖象知A=1， 所以= =2.所以f(x)=sin(2x)， 又圖象過點( ,0)，由五點法知 +=，所以 所以y=sin(2x+ ). 故將函數(shù)y=sin x的圖象先向左平移 個單位后，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的 (縱坐標不變)，可得函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象,【加固訓練】(2015貴州模擬)若函數(shù)f(x)的部分圖象如圖，則函數(shù)f(x)的解析式以及S=f(1)+f(2)+f(2 014)的值分別為( ) Af(x)=

17、 sin +1，S=2 014 Bf(x)= cos +1，S=2 014 Cf(x)= sin +1，S=2 014.5 Df(x)= cos +1，S=2 014.5,【解析】選C.根據(jù)已知圖象，可設f(x)=Asin x+1(0，A0)，由T=4得 所以 所以f(x)= 又f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4， 所以S=f(1)+f(2)+f(2 014)=503f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2) =5034+ f(1)+f(2)=2 014.5.,2.(2015運城模擬)已知向量a=(cos x-sin x,sin x), b=(-

18、cos x-sin x, cos x)，設函數(shù)f(x)=ab+(xR)的圖象關(guān)于直線x=對稱，其中,為常數(shù)，且( ,1). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期. (2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點( ,0)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0, 上的取值范圍.,【解析】(1)因為f(x)=ab+=(cos x-sin x)(-cos x- sin x)+sin x cos x+=sin2x-cos2x+ sin xcos x+=-cos 2x+ sin 2x+ =2sin(2x- )+, 由直線x=是y=f(x)圖象的一條對稱軸， 可得sin(2- )=1, 所以2- =k+ (kZ)，即= (kZ). 又(

19、 ,1),kZ,所以k=1,故,所以f(x)= 所以f(x)的最小正周期是 (2)由y=f(x)的圖象過點( ,0), 得f( )= 故 故f(x)= 由0 x ，有,所以 得 故函數(shù)f(x)在0, 上的取值范圍為 .,考點3 三角函數(shù)圖象性質(zhì)的應用 知考情 三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)、三角函數(shù)模型是高考的重點，與其他知識交匯考查，三角函數(shù)模型的應用是常見考題類型，常與函數(shù)的最值、方程的根、平面向量等知識相結(jié)合，常以選擇、填空、解答題的形式出現(xiàn).,明角度 命題角度1：方程的根與函數(shù)的零點問題 【典例3】(2015長沙模擬)函數(shù)f(x)= 的零點的個數(shù)是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解題提

20、示】在同一個坐標系中，作出函數(shù) 和 的圖象，觀察后得交點個數(shù).,【規(guī)范解答】選D.函數(shù) 的周期 由 可得x= .由 ，可得x=8.在同一平面直角坐標系中，作出 函數(shù) 和 的圖象(如圖所示)，易知有5個交點，故函數(shù)f(x)有5個零點.,命題角度2：三角函數(shù)模型的應用 【典例4】(2014湖北高考)某實驗室一天的溫度(單位：)隨時間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)= t0,24). (1)求實驗室這一天的最大溫差. (2)若要求實驗室溫度不高于11 ，則在哪段時間實驗室需要降溫？,【解題提示】(1)將f(t)= 化為y=Asin(x+) +b的形式，可求得這一天的溫度的最大值和最小值

21、，進而求得最大溫差. (2)由題意可得，當f(t)11時，需要降溫，由f(t)11，求得 即 解得t的范圍，可得結(jié)論.,【規(guī)范解答】(1)因為f(t)= 又0t24,所以 當t=2時， 當t=14時， 于是f(t)在0,24)上取得最大值12 ，取得最小值8 . 故實驗室這一天最高溫度為12 ，最低溫度為8 ，最大溫差為 4 .,(2)依題意，當f(t)11時實驗室需要降溫, 由(1)得f(t)= 故有 即 又0t24，因此 即10t18. 在10時至18時實驗室需要降溫.,悟技法 1.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用技巧 方程根的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合求解. 2.三角函

22、數(shù)模型的應用 三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題，二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.,通一類 1.(2015龍巖模擬)某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+Acos (x-6)(x=1,2,3，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28 ，12月份的月平均氣溫最低為 18 ，則10月份的平均氣溫為_.,【解析】因為當x=6時，y=a+A=28； 當x=12時，y=a-A=18，所以a=23，A=5， 所以y=f(x)=235cos (x-6)， 所以當x=10時，f(10)=235cos(

23、4) =23-5 =20.5. 答案：20.5,2.(2015錦州模擬)如圖是函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A0,0, 0 )的部分圖象，M，N是它與x軸的兩個交點，D，C分別為它的最高點和最低點，點F(0，1)是線段MD的中點， (1)求函數(shù)f(x)的解析式. (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.,【解析】(1)由已知F(0,1)是線段MD的中點，可知A=2， 因為 (T為f(x)的最小正周期)， 所以T= ,=3,所以f(x)=2sin(3x+), 設D點的坐標為(xD，2)，則由已知得點M的坐標為(-xD，0)， 所以xD-(-xD)= T= ,則xD= ,則點M的坐標為( ,0)，所

24、以sin( -)=0. 因為0 ,所以= , 所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin(3x+ ).,(2)由2k- 3x+ 2k+ (kZ), 得2k- 3x2k+ (kZ), 得 x (kZ), 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (kZ).,3.(2015中山模擬)為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨設置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的一些食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，就想適時調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：,每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同； 入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人； 2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多. (1)試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系. (2)請問哪幾個月份要準備400份以上的食物？,【解析】(1)設該函數(shù)為f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,0|)，根據(jù)條件，可知這個函數(shù)的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)-f(2)=