《電路原理》第五版習題解答,邱關源,羅先覺(第七章).ppt

1、第七章,一階電路 (First-Order Circuits ),一階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響 應和全響應求解,本章重點,動態(tài)電路方程的建立及初始條件的 確定,動態(tài)電路的方程和初始條件 一階電路的零輸入響應 一階電路的零狀態(tài)響應 一階電路的全響應 一階電路的階躍響應 一階電路的沖激響應,主要內容,一、動態(tài)電路的方程和初始條件,1動態(tài)電路(dynamic circuits),定義：含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱動態(tài)電路。,特點：當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經 歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這 個變化過程稱為電路的過渡過程。,K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài),i = 0 , uC =

2、0,i = 0 , uC= Us,K接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài),前一個穩(wěn)定狀態(tài),過渡狀態(tài),新的穩(wěn)定狀態(tài),?,有一過渡期,電容電路,K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài),i = 0 , uL = 0,uL= 0, i=Us /R,K接通電源后很長時間，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路,前一個穩(wěn)定狀態(tài),過渡狀態(tài),新的穩(wěn)定狀態(tài),?,有一過渡期,電感電路,2動態(tài)電路的方程,應用KVL和電感的VCR得：,若以電流為變量：,應用KVL和電感的VCR得：,若以電感電壓為變量：,一階電路,二階電路,描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；,結論：,動態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動態(tài)元件的個數(shù).,

3、一階電路:,一階電路中只有一個動態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。,動態(tài)電路的分類：,二階電路:,二階電路中有二個動態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。,高階電路:,電路中有多個動態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。,換路時電容上的電壓，電感上的電流不 能躍變,3換路定律,由于物體所具有的能量不能躍變，因此，在換路瞬間儲能元件的能量也不能躍變即,uC，iL不能躍變,t = 0 : 表示換路時刻 (計時起點)； t = 0- : 表示換路前的終了瞬間； t = 0+ :表示換路后的初始瞬間,換路定律：,4. 初始條件(initial condition),概念：,初始條件：變量及

4、其各階導數(shù)在t=0+時的值,獨立變量：變量及其初始值不能用其它變量 和初始值求出如，uC和iL 非獨立變量：變量及其初始值可以用獨立變 量和初始值求出指電路中除 uC和iL的其他變量,先由t =0-的電路求出 uC ( 0 ) 、iL ( 0 )； 根據(jù)換路定律，求出獨立變量初始值 uC( 0+)和iL ( 0+) ； 將電容用電壓源代替，其值為uC(0+)，將電感用電流源代替，其值為iL(0+)，畫出0+時刻等效電路圖; 根據(jù)0+時刻等效電路圖，用線性穩(wěn)態(tài)電路的分析方法求出所需要的非獨立變量初始值,確定初始值的方法：,t=0 時將開關K閉合，t0時電路已達穩(wěn)態(tài)，試求各元件電流、電壓初始值,t

5、0時電路已達穩(wěn)態(tài)，電容相當于開路,例1,解,t=0+的等效電路如下圖(b)所示,0+時刻等效電路,t=0時閉合開關，試求開關轉換前和轉換后瞬間的電感電流和電感電壓。,開關閉合前電路穩(wěn)態(tài)，電感相當于短路,例2,解,t=0時閉合開關， 0+時刻等效電路如下圖(b)所示,0+時刻等效電路,所以:,二、 一階電路的零輸入響應,定義：電路的輸入為零，響應是由儲能元件所儲存的能量產生的，這種響應稱為零輸入響應(source-free response ),主要內容： RC電路的零輸入響應 RL電路的零輸入響應,RC電路的零輸入響應,圖(a)中的開關原來連接在1端，電壓源U0通過電阻Ro對電容充電，假設在開

6、關轉換以前，電容電壓已經達到U0。在t=0時開關迅速由1端轉換到2端。已經充電的電容脫離電壓源而與電阻R并聯(lián)，如圖(b)所示。,由換路定理得：,電阻的電流為：,由KCL和VCR得：,由KVL得：,這是一個常系數(shù)線性一階齊次微分方程。 其通解為:,由式:,其解為:,稱為特征根(電路的固有頻率)。,得到特征方程 :,于是電容電壓變?yōu)?,A是待定常數(shù)，由初始條件確定。,根據(jù)初始條件 :,求得:,當t=0+時上式變?yōu)?,電流方面：,電路的零輸入響應曲線,令 =RC， 具有時間的量綱，稱它為RC電路的時間常數(shù)， 的大小反映了電路過渡過程時間的長短。,總結：,電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；,

7、響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關；, 大 過渡過程時間長, 小 過渡過程時間短, 的物理意義,電壓初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放電電流小,放電時間長,C 大（R一定） W=Cu2/2 儲能大,當 時,時間常數(shù) 等于電壓Uc衰減到初始值U0的36.8%所需的時間。,動態(tài)過程時間(暫態(tài)時間)的確定,理論上認為 、 電路達穩(wěn)態(tài) .,工程上認為 、 電容放電基本結束。,隨時間而衰減,能量關系,電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.,設uC(0+)=U0,電容放出能量：,電阻吸收（消耗）能量：,在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到,已知電容電壓uC(0-) =

8、6V。t=0閉合開關，求t 0的電容電壓和電容電流。,例1,解,將連接于電容兩端的電阻網絡等效于一個電阻，其電阻值為,得到圖(b)所示電路，,其時間常數(shù)為,由,得到,RL電路的零輸入響應,電感電流原來等于電流 I0，電感中儲存一定的磁場能量，在 t=0 時開關由1端倒向2端，換路后的電路如圖(b)所示。,電路如下圖,(a),(b),換路后，由KVL得,代入電感VCR方程,得到以下一階線性齊次微分方程,這個微分方程其通解為,代入初始條件iL(0+)=I0求得,令 ，則電感電流和電感電壓的表達式為,RL放電電路的波形,電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；,響應與初始狀態(tài)成線性關系，衰減快慢

9、與有關；, 大 過渡過程時間長, 小 過渡過程時間短,能量關系：,電感不斷釋放能量被電阻吸收, 直到全部消耗完畢.,電感放出能量：,電阻吸收（消耗）能量：,電路如圖所示，K合于已很久， t=0 時K由 合向，求換路后的,換路前電路已穩(wěn)定，由換路定律可得：,例1,解,從L兩端視入的等效電阻為,換路后電路為零輸入響應,時間常數(shù)為：,零輸入響應為：,小結,一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的 響應, 都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。,衰減快慢取決于時間常數(shù) RC電路： = RC , RL電路： = L/R R為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。,列方程：,非齊次線性常微分方程,解答形

10、式為：,齊次方程通解,非齊次方程特解,零狀態(tài)響應：電路的初始狀態(tài)為零，由外加激勵 引起的響應，稱為零狀態(tài)響應(zero-state response )。,三、一階電路的零狀態(tài)響應,RC電路的零狀態(tài)響應,與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解,變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始條件 uC (0+)=0 定積分常數(shù) A,的通解,的特解,電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)； 電容電壓由兩部分構成：,從以上式子可以得出：,連續(xù)函數(shù),躍變,穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）,暫態(tài)分量（自由分量）,+,響應變化的快慢，由時間常數(shù)RC決定； 大，充電慢，小充

11、電就快。,響應與外加激勵成線性關系；,能量關系,電容儲存：,電源提供能量：,電阻消耗:,電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。,例,t=0時 , 開關K閉合，已知 uC（0）=0，求（1）電容電壓和電流，（2）uC80V時的充電時間t 。,解,(1) 這是一個RC電路零狀態(tài)響應問題，有：,（2）設經過t1秒，uC80V,當t=0時開關K閉合，其電感電流和電感電壓的計算如下：,根據(jù)KVL,有,又,所以,RL電路的零狀態(tài)響應,這是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解答為：,例1,t=0時 ,開關K打開，求t0后iL、uL的變化規(guī)律 。,解,這是一個RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡

12、電路，有：,例2,t=0時 ,開關K打開，求t0后iL、uL的及電流源的端電壓。,解,這是一個RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有：,全響應：由儲能元件的初始儲能和激勵電源共同引起的響應，稱為全響應(complete response )。,四、一階電路的全響應,解答為 uC(t) = uC + uC,uC (0)=U0,以RC電路為例，電路微分方程：,=RC,全響應,uC (0+)=A+US=U0, A=U0 - US,由起始值定A,全響應的兩種分解方式,強制分量(穩(wěn)態(tài)解),自由分量(暫態(tài)解),全響應 = 強制分量(穩(wěn)態(tài)解) + 自由分量(暫態(tài)解),（1） 著眼于電路的兩種工作狀態(tài),物理概

13、念清晰,全響應= 零狀態(tài)響應 + 零輸入響應,零狀態(tài)響應,零輸入響應,(2). 著眼于因果關系,便于疊加計算,例1,t=0時 ,開關K打開，求t0后的iL、uL,解,這是一個RL電路全響應問題，有：,iL,K(t=0),+,24V,0.6H,4,+,uL,8,零輸入響應：,零狀態(tài)響應：,全響應：,或求出穩(wěn)態(tài)分量：,全響應：,A=4,例2,t=0時 ,開關K閉合，求t0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。,解,這是一個RC電路全響應問題，有：,穩(wěn)態(tài)分量：,全響應：,A=10,+ -,三要素法分析一階電路,一階電路的數(shù)學模型是一階微分方程：,令 t = 0+,其解答一般形式為：,分析一階電路問題轉為

14、求解電路的三個要素的問題,用0+等效電路求解,用t的穩(wěn)態(tài)電路求解,直流激勵時：,三要素,解,例2,t=0時 ,開關閉合，求t0后的iL、i1、i2,解,三要素為：,應用三要素公式,三要素為：,例3,已知：t=0時開關由12，求換路后的uC(t) 。,解,三要素為：,例4,已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流i(t) 。,解,三要素為：,已知：電感無初始儲能 t = 0 時合k1 , t =0.2s時合k2 求兩次換路后的電感電流 i(t)。,0 t 0.2s,t 0.2s,解,(0 t 0.2s),( t 0.2s),五、一階電路的階躍響應,在前面的討論中，我們看到直流一階電路中的各種開關，

15、可以起到將直流電壓源和電流源接入電路或脫離電路的作用，這種作用可以描述為分段恒定信號對電路的激勵。 隨著電路規(guī)模的增大和計算工作量增加，有必要引入階躍函數(shù)來描述這些物理現(xiàn)象，以便更好地建立電路的物理模型和數(shù)學模型，也有利于用計算機分析和設計電路。,1(t-t0 ),一、階躍函數(shù),單位階躍函數(shù)1(t)的定義為,k1(t),1,k,t0,1,1(-t),開關電路可以等效為階躍信號作用于該電路。,二、階躍響應,階躍響應：階躍信號作用下電路的零狀態(tài)響 應，稱為電路的 階躍響應.,單位階躍響應：單位階躍信號作用下電路的 零狀態(tài)響應，稱為電路的單 位階躍響應.,單位階躍響應用符號s(t)表示 .,單位階躍

16、響應用可以用三要素公式求解.,利用三要素公式得到電感電流iL(t)的階躍響應如下所示：,時間常數(shù)：=RC 或 =L/R。,已知電路的階躍響應，利用疊加定理容易求得在任意分段恒定信號激勵下線性時不變電路的零狀態(tài)響應，例如圖 (b)所示信號作用圖 (a)所示RC串聯(lián)電路時，由于圖(b)所示信號可以分解為下面所示的若干個延遲的階躍信號的疊加。,其電容電壓uC(t)的零狀態(tài)響應可以表示為：,由圖(b)知，,用階躍電流源表示圖所示的方波電流，求解電路中電感電流的響應，并畫出波形曲線。,圖示方波電流，用兩個階躍函數(shù)表示： iS(t)=101(t)-101(t-1ms)mA,例1,解,該電路是線性電路，根據(jù)

17、動態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應等于10 1(t)和-10 1(t-1ms)兩個階躍電源單獨作用引起零狀態(tài)響應之和。,1. 階躍電流源101(t)mA單獨作用時，其響應為：,2. 階躍電流源-101(t-1ms)mA單獨作用時，其響應為：,3. 應用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應為；,分別畫出 和 的波形，如曲線1和2所示。然后它們相加得到iL(t)波形曲線，如曲線3所示。,圖示零狀態(tài)電路，激勵為E=10V，脈沖寬度為的脈沖函數(shù)，試求輸出電壓uC(t)，并畫出波形曲線。,前例已經用分段方法解過此題即,例2,解,此題也可以用階躍函數(shù)表示法求解此時激勵為：,u

18、S(t)=10 1(t) - 1(t-1ms) V,該電路是線性電路，根據(jù)動態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應等于10 1(t)和 -10 1(t-1ms)兩個階躍電源單獨作用引起零狀態(tài)響應之和。,1. 階躍電流源10 1(t)mA單獨作用時，其響應為：,2. 階躍電流源 -10 1(t-1ms)mA單獨作用時，其響應為 ：,3. 應用疊加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零狀態(tài)響應為 ：,其波形如右圖所示用第二種解法，當 t=時，,當時，,當時，,(a),(b),(c),(d),定義：,六、一階電路的沖擊響應,一、單位沖擊函數(shù),1(t) 與(t)的關系：,(t)的篩分性質：,二、沖擊響應,沖擊信號作用下電路的零狀態(tài)響應，稱為電路的 沖激響應.,如果電路的激勵是沖擊信號，那么此電路是