【高中數(shù)學(xué)】第二章《從力做的功到向量的數(shù)量積》教案北師大版必修4

1、2.5從力做的功到向量的數(shù)量積（2課時） 一、教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能（1）通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. （3）掌握平面向量數(shù)量積的運算律和它的一些簡單應(yīng)用.（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.2.過程與方法教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識（“做功”）得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.為了幫助學(xué)生理解和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了4個例題；通過講解例題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力.3.情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們認(rèn)識到向量的數(shù)量積與物理學(xué)的做功有著非常緊

2、密的聯(lián)系；讓學(xué)生進一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量積，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神.二.教學(xué)重、難點 重點: 向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義；運算律.難點: 運算律的理解三.學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法： (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機.四.教學(xué)設(shè)想 【探究新知】（學(xué)生閱讀教材P107108，師生共同討論）qsF思考：請同學(xué)們回憶物理學(xué)中做功的含義，問對一般的向量a和b，如何定義這種運算？1.力做的功：W = |F|s|cosq q是F與s的

3、夾角2.定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，ab = |a|b|cosq，q = 0q = 180qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。3.向量夾角的概念：范圍0q180C展示投影由于兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別；因此強調(diào)注意的幾個問題： 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。 兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分。 在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因為其中cosq有可能為0.這就得性質(zhì)

4、2.OaAcbab 已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c 在實數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.展示投影思考與交流：思考與交流1.射影的概念是如何定義的，舉例（或畫圖）說明；并指出應(yīng)注意哪些問題.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注

5、意：射影也是一個數(shù)量，不是向量。 當(dāng)q為銳角時射影為正值； 當(dāng)q為鈍角時射影為負(fù)值； 當(dāng)q為直角時射影為0； 當(dāng)q = 0時射影為 |b|； 當(dāng)q = 180時射影為 -|b|.思考與交流2.如何定義向量數(shù)量積的幾何意義？由向量數(shù)量積的幾何意義你能得到兩個向量的數(shù)量積哪些的性質(zhì)（學(xué)生討論完成，教師作必要的補充）. 幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。 ea = ae =|a|cosq ab ab = 0 當(dāng)a與b同向時，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a|b|。 特別的aa = |a|

6、2或 cosq =（|a|b|0） |ab|a|b|【鞏固深化，發(fā)展思維】判斷下列各題正確與否： 若a = 0，則對任一向量b，有ab = 0. ( ) 若a 0，則對任一非零向量b，有ab 0. ( ) 若a 0，ab = 0，則b = 0. ( ) 若ab = 0，則a 、b至少有一個為零. ( ) 若a 0，ab = ac，則b = c. ( ) 若ab = ac，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a 0時成立. ( ) 對任意向量a、b、c，有(ab) c a (bc). ( ) 對任意向量a，有a2 = |a|2. ( )展示投影思考與交流：思考：根據(jù)向量數(shù)量積的定義、物理意義及幾何意義，你能否驗

7、證下列向量的數(shù)量積是否滿足下列運算定律（證明的過程可根據(jù)學(xué)生的實際水平?jīng)Q定）1.交換律：ab = ba證：設(shè)a，b夾角為q，則ab = |a|b|cosq，ba = |b|a|cosq ab = ba2.數(shù)乘結(jié)合律：(a) b =(ab) = a (b)證：若= 0， 此式顯然成立.若 0， (a) b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a (b) =|a|b|cosq，所以(a) b =(ab) = a (b).若 0， (a) b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a (b) =|

8、a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq。所以(a) b =(ab) = a (b).綜上可知(a) b =(ab) = a (b)成立.qq1q2abABOA1B1Cc3.分配律：(a + b) c = ac + bc 證：在平面內(nèi)取一點O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即：|a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2c (a + b) = ca + cb 即：

9、(a + b) c = ac + bc展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補充）例1.已知：解：（1）（2）例2.已知都是非零向量，且垂直，垂直，求的夾角。解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 兩式相減：2ab = b2 代入或得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，CABDab則cosq = q = 60例3.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直。 證：設(shè)= a , = b ABCD為菱形 |a| = |b| = (b + a)(b - a) = b2 - a2 = |b|2 - |a|2 = 0 即菱形對角線互相垂直?！眷柟躺罨?，發(fā)展思維】1.教材P109練習(xí)1、2題2. 教材P111練習(xí)1、2、3、4、5題學(xué)習(xí)小結(jié) （學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補充）有關(guān)概念：向量的夾角、射影、向量的數(shù)量積.向量數(shù)量積的幾何意義和物理意義.向量數(shù)量積的五條性質(zhì).向量數(shù)量積的運算律.五、評價設(shè)計1作業(yè)：習(xí)題2.5 A組第3、4、5、6、7題 2（備選題