2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 不等式學(xué)案

1、第二章 不等式第一節(jié)不等關(guān)系與不等式1兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性質(zhì)(1)對稱性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可開方：ab0 (nN，n2)小題體驗1(教材習(xí)題改編)用不等號“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab0_.答案：(1)(2)(3)2.，的大小關(guān)系為_答案：3若0a0，則與的大小關(guān)系為_答案：1在應(yīng)用傳遞性時，注意等號是否傳遞下去，

2、如ab，bcabac2bc2；若無c0這個條件，abac2bc2就是錯誤結(jié)論(當(dāng)c0時，取“”)小題糾偏1設(shè)a，b，cR，且ab，則()Aacbc B.b2 D. a3b3答案：D2“ab0”是“”的_條件答案：充分不必要題組練透1已知xR，m(x1)，n(x2x1)，則m，n的大小關(guān)系為()AmnBmnCmn Dmn答案：B2若a，b，則a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.答案：3已知等比數(shù)列an中，a10，q0，前n項和為Sn，則與的大小關(guān)系為_解析：當(dāng)q1時，3，5，所以.當(dāng)q0且q1時，0，所以.綜上可知.答案：謹(jǐn)記通法比較兩實數(shù)(式)大小的2種常用

3、方法作差法其基本步驟：作差，變形，判斷符號，得出結(jié)論用作差法比較大小的關(guān)鍵是判斷差的正負，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法作商法判斷商與1的大小關(guān)系，得出結(jié)論，要特別注意，當(dāng)商與1的大小確定后，必須對商式分子、分母的正負作出判斷，這是用作商法比較大小時最容易漏掉的關(guān)鍵步驟典例引領(lǐng)1已知a，b，c滿足cba且ac0，則下列選項中不一定能成立的是()A.0C. D0解析：選C由cba且ac0，有c0，不一定能成立的是C.2(2018嘉興模擬)若a，b為正實數(shù)，且a1，b1，則“ab1”是“l(fā)oga2b1時，loga2logb20，所以loga2logb2.反之，取a，b2，log

4、a2b1不成立故“ab1”是“l(fā)oga2b，則ac2bc2B若ababb2C若ab0，則D若ab解析：選BA選項需滿足c0；取a2，b1知選項C、D錯誤故選B.典例引領(lǐng)1(2018嘉興期末)已知1xy4,2xy3，則3x2y的取值范圍是_解析：設(shè)3x2ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，所以mn3，mn2，解得m，n，所以3x2y (xy)(xy)，由1xy4，得(xy)10，由2xy3，得1(xy)，上述不等式相加得(xy)(xy)，所以 3x2y0，b0，求證：ab22()證明：ab22()(1)2(1)20，所以ab22()一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1設(shè)a，b0，)，A，B，

5、則A，B的大小關(guān)系是()AABBABCAB DAB解析：選B由題意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.2若ab B.C|a|b| Da2b2解析：選A取a2，b1，則不成立3(2018杭州二中月考)a(ab)0是1成立的()A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C1100a(ab)0，所以a(ab)0是1成立的充要條件，故選C.4(2018金華模擬)設(shè)a，bR，若a|b|0，則下列不等式中正確的是()Aba0 B.a3b30Ca2b20 Dba0解析：選D利用賦值法，令a1，b0，排除A、B、C，選D.5b g糖水中有a g糖(ba0)，若再添m

6、g糖(m0)，則糖水變甜了試根據(jù)這一事實，提煉出一個不等式_答案：二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關(guān)系是()AMNCMN D不確定解析：選BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.M N.2若0，給出下列不等式：0；ab；ln a2ln b2.其中正確的不等式的序號是()A B.C D解析：選C法一：因為0，故可取a1，b2.顯然|a|b1210，所以錯誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.法二：由0，可知ba0.中，因為ab0，所以，

7、故正確；中，因為baa0，故b|a|，即|a|b0，故錯誤；中，因為ba0，又0，所以ab，故正確；中，因為baa20，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯誤由以上分析，知正確。3(2018寧波模擬)設(shè)a，b是實數(shù)，則“ab1”是“ab”的()A充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件解析：選A因為a，若ab1，顯然a0，則充分性成立，當(dāng)a，b時，顯然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立4若m0，n0且mn0，則下列不等式中成立的是()Anmnm B.nmmnCmnmn Dmnnm解析：選D法一：(取特殊值法)令m3，n

8、2分別代入各選項檢驗即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立5設(shè)a0，bq B.pqCpq Dpq解析：選Dpq(ab).因為a0，b0，所以0，即pq，故選D.6a，bR，ab和同時成立的條件是_解析：若ab0，由ab兩邊同除以ab得，即；若ab0，則.ab和同時成立的條件是a0b.答案：a0b7已知1x4,2y3，則xy的取值范圍是_，3x2y的取值范圍是_解析：1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2yaab，則實數(shù)b的取值范圍是_解析：ab2aab，a0，當(dāng)a0時，b21b，即解得b1；當(dāng)a0時，b21b，即此式無解綜上可得實數(shù)

9、b的取值范圍為(，1)答案：(，1)10實數(shù)x，y滿足3xy28，求的取值范圍解：，49，216,81又3xy28.，22,27，故的取值范圍為2,27三上臺階，自主選做志在沖刺名校1(2018合肥質(zhì)檢)已知ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足bc3a，則的取值范圍為()A(1，) B.(0,2)C(1,3) D(0,3)解析：選B由已知及三角形三邊關(guān)系得兩式相加得，024，的取值范圍為(0,2)2設(shè)ab0，ma，則時，m滿足的條件是_解析：由得0，因為ab0，所以0.即或m0或ma.即m滿足的條件是m0或ma.答案：m0或ma3設(shè)a1，a21.(1)證明：介于a1，a2之間；(2)求a1，

10、a2中哪一個更接近.解：(1)證明：(a1)(a2)(a1)0.介于a1，a2之間(2)|a2|a1|a1|.a2比a1更接近.第二節(jié)一元二次不等式及其解法“三個二次”的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實根x1，x2(x1x2)有兩相等實根x1x2沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2R一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2小題體驗1設(shè)集合Ax|1x4，集合Bx|x22x30，則A(RB)等于()A(1,4)B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)解析：選B由題

11、意得Bx|1x3，根據(jù)補集的定義，RBx|x3，所以ARB(3,4)2(教材習(xí)題改編)不等式x22x30的解集為_答案：3不等式ax2abxb0的解集為x|2x0，求解時不要忘記討論a0時的情形2當(dāng)0(a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別3含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論小題糾偏1不等式0的解集為()Ax|x1或x3 B.x|1x3Cx|1x3 Dx|1x3解析：選C由0，得解得1x3.2若不等式mx22mx10的解集為R，則m的取值范圍是_解析：當(dāng)m0時，10顯然成立當(dāng)m0時，由條件知得0m1.由知0m0時，原不等式等價于2xx2，x0.綜上所述，原不等式的解集為.答案：2不等式1

12、的解集為_解析：將原不等式移項通分得0，等價于解得x5或x.所以原不等式的解集為.答案：3解下列不等式：(1)(易錯題)3x22x80；(2)2.解：(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集為.(2)不等式等價于即解得x1或1a2(aR)的解集解：原不等式可化為12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.當(dāng)a0時，不等式的解集為；當(dāng)a0時，不等式的解集為(，0)(0，)；當(dāng)a0時，不等式的解集為.鎖定考向一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)

13、系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換對于一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數(shù)的取值范圍常見的命題角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)0(xa，b)確定參數(shù)的范圍；(3)形如f(x)0(參數(shù)ma，b)確定x的范圍 題點全練角度一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍1若不等式2kx2kx0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：選D當(dāng)k0時，顯然成立；當(dāng)k0時，即一元二次不等式2kx2kx0對一切實數(shù)x都成立，則解得3k0.綜上，滿足不等式2

14、kx2kx0恒成立若f(x)0得x1，即Bx|x1，所以ABx|10的解集為x|3x2答案：x|3x24(2018金華十校聯(lián)考)若不等式2x1m(x21)對滿足|m|2的所有m都成立，則x的取值范圍為_解析：原不等式化為(x21)m(2x1)0.令f(m)(x21)m(2x1)(2m2)則解得x，故x的取值范圍為.答案：5(2018湖州五校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足x22y2x(2y1)，則x_，y_，2xlog2y_.解析：法一：由已知得2x24y24xy2x10，即(x1)2(x2y)20，所以解得x1，y，2xlog2y2log2211.法二：由已知得，關(guān)于x的不等式x2(2y1)x2y2

15、0(*)有解，所以(2y1)240，即(2y1)20，所以2y10，即y，此時不等式(*)可化為x22x10，即(x1)20，所以x1,2xlog2y2log2211.答案：11二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，則ab等于()A3B1C1 D3解析：選A由題意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a1，b2，則ab3.2(2018麗水五校聯(lián)考)不等式x2的解集是()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析：選A法一：x2x20

16、0x(x1)(x1)0 1x0或x1.故原不等式的解集為(1,0)(1，)法二：驗證，x2，不滿足不等式，排除B、C、D.3(2018麗水五校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，則關(guān)于x的不等式f(x)1的解集為()A(，31，) B.3，1C3，1(0，) D3，)解析：選C因為f(4)f(0)，所以當(dāng)x0時，f(x)的對稱軸為x2，又f(2)0，則f(x)不等式f(x)1的解為3，1(0，)，故選C.4(2018寧波四校聯(lián)考)設(shè)二次函數(shù)f(x)x2xa(a0)，若f(m)0，則f(m1)的值為()A正數(shù)B負數(shù)C非負數(shù)D正數(shù)、負數(shù)和零都有可能解析：選A設(shè)f(x)x2xa0的兩

17、個根為，由f(m)0，則m0，則|0，故選A.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是()A4,1 B.4,3C1,3 D1,3解析：選B原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時，不等式的解集為a,1，此時只要a4即可，即4a1時，不等式的解集為1，a，此時只要a3即可，即1a3.綜上可得4a3.6不等式x2ax40的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a0(a，bR)的解集為，若關(guān)于x的不等式x2axb0(a，bR)的解集為，所以x2axb20，那么不等式x2axbc，即2c，所以c0，所以x，又mx0；(2)若不等式f(x

18、)b的解集為(1,3)，求實數(shù)a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化為a26a30，解得32a32.原不等式的解集為a|32ab的解集為(1,3)等價于方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1,3，等價于解得10關(guān)于x的不等式的整數(shù)解的集合為2，求實數(shù)k的取值范圍解：由x2x20可得x1或x2.的整數(shù)解為x2，又方程2x2(2k5)x5k0的兩根為k和.若k，則不等式組的整數(shù)解集合就不可能為2；若k，則應(yīng)有2k3.3k2.綜上，所求k的取值范圍為3,2)三上臺階，自主選做志在沖刺名校1若關(guān)于x的不等式x24x2a0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，

19、則實數(shù)a的取值范圍是()A(，2) B.(2，)C(6，) D(，6)解析：選A不等式x24x2a0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.2設(shè)f(x)ax2bxc，若f(1)，問是否存在a，b，cR，使得不等式x2f(x)2x22x對一切實數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論解：由f(1)，得abc.令x22x22x，解得x1.由f(x)2x22x推得f(1)，由f(x)x2推得f(1)，f(1).abc.故ac且b1.f(x)ax2xa.依題意ax2xax2對一切xR都成立，即(a1)x2x2a0對一切xR都成立a1且14(a1

20、)(2a)0.即(2a3)20，(2a3)20，由a10得a.f(x) x2x1.證明如下：x2x12x22xx2x(x1)20.x2x12x22x對xR都成立x2x1x2x2x(x1)20，x2x2x1對xR都成立存在實數(shù)a，b1，c1，使得不等式x2f(x)2x22x對一切xR都成立第三節(jié)絕對值不等式1絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)含絕對值不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c(c0)和

21、|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.小題體驗1不等式|2x1|3的解集為_答案：x|x1或x22不等式|x1|x2|1的解集為_答案：3函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函數(shù)y的最小值為8.答案：81對形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集時，易忽視a的符號直接等價轉(zhuǎn)化造成失誤2絕對值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽視等號成立的條件如|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時等號成立，其他類似推導(dǎo)小題糾偏1設(shè)a，b為滿足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解

22、析：選Bab|ab|.2若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4題組練透1若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實數(shù)k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案：22解不等式|2x1|2x1|6.解：法一：當(dāng)x時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6x；當(dāng)x時，原不等式轉(zhuǎn)化為26，恒成立；當(dāng)x時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x6x1的解集解：(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的函數(shù)表達式及圖象可知，當(dāng)f(x)1時，可得x1或x

23、3；當(dāng)f(x)1時，可得x或x5.故f(x)1的解集為x|1x3，f(x)1的解集為.謹(jǐn)記通法解絕對值不等式的基本方法(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；(2)當(dāng)不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；(3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解典例引領(lǐng)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|1ab|.解：(1)f(x)當(dāng)x時，由f(x)2得2x1；當(dāng)x時，f(x)2恒成立；當(dāng)x時，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a

24、，bM時，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|a恒成立f(x)mina.即時應(yīng)用(2018浙江七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.當(dāng)x時，即3x2x14，解得x；當(dāng)x1時，即3x2x14，解得x1時，即3x2x14，無解綜上所述，x.(2)(mn)114，當(dāng)且僅當(dāng)mn時等號成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0a.所以實

25、數(shù)a的取值范圍是.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1若不等式|ax2|6的解集為(1,2)，則實數(shù)a等于()A8B2C4 D8解析：選C因為不等式|ax2|6的解集為(1,2)，所以1,2是方程|ax2|6，代入得解得a4，故選C.2若|xa|h，|ya|h，則下列不等式一定成立的是()A|xy|h B.|xy|h D|xy| 2h解析：選B2h|xa|ya|xa(ya)|xy|，故選B.3不等式|x2|的解集是()A(3，2) B.(2,0)C(0,2) D(，3)(2，)解析：選D不等式即為5(x2)3x14或5(x2)2或x3，故選D.4不等式|x1|x5|2的解集為_解析：不等式|x1|

26、x5|2等價于或或即或或故原不等式的解集為x|x1x|1x4x|x4答案：x|xx(x2)的解集為_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x2二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1(2018臺州聯(lián)考)不等式(1x)(1|x|)0的解集是()Ax|0x1 B.x|x0且x1Cx|1x1 Dx|x1且x1解析：選D不等式等價于或解得0x1或x0且x1.故選D.2如果x，y是實數(shù)，那么“xy0”是“|xy|x|y|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件 解析：選A因為“xy0”可以推出“|xy|x|y|”成立，反過來若“|

27、xy|x|y|”成立，但是xy有可能等于0，所以“xy0”是“|xy|x|y|”的充分不必要條件，故選A.3不等式|x5|x3|10的解集是()A5,7 B.4,6C. (，57，) D (，46，)解析：選D當(dāng)x3時，|x5|x3|5xx322x10，即x4，x4.當(dāng)3x5時，|x5|x3|5xx3810，不成立，無解當(dāng)x5時，|x5|x3|x5x32x210，即x6，x6.綜上可知，不等式的解集為(，46，)4不等式x2|x1|10的解集為()Ax|2x1 B.x|1x2Cx|1x2 Dx|1x1解析：選A當(dāng)x10時，原不等式化為x2x0，解得0x1.x1；當(dāng)x10時，原不等式化為x2x20，解得2x1.2x1.綜上，2x1.所