2019屆高考數(shù)學大一輪復習第五章平面向量高考專題突破二高考中的三角函數(shù)與平面向量問題學案理北師大版

1、高考專題突破二高考中的三角函數(shù)與平面向量問題【考點自測】1(2016全國)若將函數(shù)y2sin 2x的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的對稱軸為()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析由題意將函數(shù)y2sin 2x的圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的解析式為y2sin，由2xk(kZ)得函數(shù)的對稱軸為x(kZ)，故選B.2(2016全國)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A等于()A. B. C D答案C解析設BC邊上的高AD交BC于點D，由題意B，可知BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan Atan(BADCAD)3，所以cos A

2、.3在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則等于()A2 B4 C5 D10答案D解析將ABC的各邊均賦予向量，則642610.4(2016全國)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b .答案解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.5.若函數(shù)yAsin(x)在一個周期內的圖像如圖所示，M，N分別是這段圖像的最高點和最低點，且0(O為坐標原點)，則A .答案解析由題意知M，N，又A20，A.題型一三角函數(shù)的圖像和性

3、質例1 (2016山東)設f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的遞增區(qū)間；(2)把yf(x)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)yg(x)的圖像，求g的值解(1)由f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的遞增區(qū)間是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標

4、不變)，得到y(tǒng)2sin1的圖像，再把得到的圖像向左平移個單位長度，得到y(tǒng)2sin x1的圖像，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.思維升華 三角函數(shù)的圖像與性質是高考考查的重點，通常先將三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，然后將tx視為一個整體，結合ysin t的圖像求解跟蹤訓練1 已知函數(shù)f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(3)函數(shù)f(x)圖像的對稱軸和對稱中心解(1)因為f(x)sin 2x(1cos 2x)55sin，所以函數(shù)的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk (kZ)

5、，所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(kZ)(3)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(kZ)題型二解三角形例2 (2017全國)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b.解(1)由題設及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos

6、 B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.思維升華 根據(jù)三角形中的已知條件，選擇正弦定理或余弦定理求解；在解決有關角的范圍問題時，要注意挖掘題目中隱含的條件，對結果進行正確的取舍跟蹤訓練2 (2017北京)在ABC中，A60，ca.(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面積解(1)在ABC中，因為A60，ca，所以由正弦定理得sin C.(2)因為a7，所以c73.由余弦定理a2b2c22bccos A，得72b2322

7、b3，解得b8或b5(舍去)所以ABC的面積Sbcsin A836.題型三三角函數(shù)和平面向量的綜合應用例3 已知向量a，b(cos x，1)(1)當ab時，求cos2xsin 2x的值；(2)設函數(shù)f(x)2(ab)b，已知在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，b2，sin B，求f(x)4cos的取值范圍解(1)因為ab，所以cos xsin x0，所以tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(cos x，1)sin 2xcos 2xsin.由正弦定理，得sin A，所以A或A.因為ba，所以A.所以f(x)4cossin，因為x，所以2x，所以1f

8、(x)4cos.所以f(x)4cos的取值范圍是.思維升華 (1)向量是一種解決問題的工具，是一個載體，通常是用向量的數(shù)量積運算或性質轉化成三角函數(shù)問題(2)三角形中的三角函數(shù)要結合正弦定理、余弦定理進行轉化，注意角的范圍對變形過程的影響跟蹤訓練3 在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m(cos A2cos C,2ca)，n(cos B，b)平行(1)求的值；(2)若bcos Cccos B1，ABC的周長為5，求b的長解(1)由已知得b(cos A2cos C)(2ca)cos B，由正弦定理，可設k0，則(cos A2cos C)ksin B(2ksin Cksin

9、A)cos B，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化簡可得sin(AB)2sin(BC)，又ABC，所以sin C2sin A，因此2.(2)由余弦定理可知，bcos Cccos Bbca1，由(1)知2，則c2，由周長abc5，得b2.1已知函數(shù)f(x)sinsin2cos2，xR(其中0)(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)yf(x)的圖像與直線y1的兩個相鄰交點間的距離為，求函數(shù)yf(x)的遞增區(qū)間解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)212sin1.由1sin1，得32sin11，所以函數(shù)f(x)的值域為3

10、,1(2)由題設條件及三角函數(shù)圖像和性質可知，yf(x)的周期為，所以，即2.所以f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)yf(x)的遞增區(qū)間為(kZ)2(2016北京)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大?。?2)求cos Acos C的最大值解(1)由a2c2b2ac，得a2c2b2ac.由余弦定理，得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA,0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin.因為0A，所以A，故當A，即A時，cos Acos

11、C取得最大值1.3(2018合肥質檢)已知a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，函數(shù)f(x)ab.(1)求函數(shù)yf(x)圖像的對稱軸方程；(2)若方程f(x)在(0，)上的解為x1，x2，求cos(x1x2)的值解(1)f(x)ab(sin x，cos x)(cos x，cos x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.令2xk(kZ)，得x(kZ)即函數(shù)yf(x)圖像的對稱軸方程為x(kZ)(2)由條件知sinsin0，且0x1x2，(x1，f(x1)與(x2，f(x2)關于直線x對稱，則x1x2，cos(x1x2)coscoscossin.4(

12、2017東北三省四市二模)已知點P(，1)，Q(cos x，sin x)，O為坐標原點，函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若A為ABC的內角，f(A)4，BC3，求ABC周長的最大值解(1)由已知，得(，1)，(cos x,1sin x)，所以f(x)3cos x1sin x42sin，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2.(2)因為f(A)4，所以sin0，又0A，所以A，A.因為BC3，所以由正弦定理，得AC2sin B，AB2sin C，所以ABC的周長為32sin B2sin C32sin B2sin32sin.因為0B，所以B，所以當B，即B時，ABC的周長取得最大值

13、，最大值為32. 5.已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若AD為BC邊上的中線，cos B，AD，求ABC的面積解(1)acos Casin Cbc0，由正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C，即sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，亦即sin Acos Csin Asin Csin Acos Ccos Asin Csin C，則sin Asin Ccos Asin Csin C.又sin C0，所以sin Acos A1，所以sin(A30).在ABC中，0A180，則30A300)，則在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即25x249x225x7x，解得x1(負值舍去)，所以a7，c5，故SABCacsin B10.6(2017山東淄博模擬)已知函數(shù)f(x)sin xcos xcos2x(0)，與f(x)圖像的對稱軸x相鄰的f(x)的零點為x.(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調性；(2)設ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c且c，f(C)1，若向量m(1，sin A)與向量n(2，sin B)共線，求a，b的值解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin.由與f(x)圖像的對稱軸x相鄰的零點為x，得，所以