2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.3 幾何概型學(xué)案 理 北師大版

1、12.3幾何概型最新考綱考情考向分析1.了解隨機數(shù)的意義，能運用隨機模擬的方法估計概率2.了解幾何概型的意義.以理解幾何概型的概念、概率公式為主，會求一些簡單的幾何概型的概率，常與平面幾何、線性規(guī)劃、不等式的解集、定積分等知識交匯考查在高考中多以選擇、填空題的形式考查，難度為中檔.1幾何概型向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P(點M落在G1)，則稱這種模型為幾何概型2幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比3借助模擬方法可以估計隨機事件發(fā)生的概率題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論

2、是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P.()題組二教材改編2在線段0,3上任投一點，則此點坐標小于1的概率為()A. B. C. D1答案B解析坐標小于1的區(qū)間為0,1)，長度為1，0,3的區(qū)間長度為3，故所求概率為.3有四個游戲盤，

3、將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是()答案A解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)4設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A. B. C. D.答案D解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是，故選D.題組三易錯自糾5在區(qū)間2,4上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.答案3

4、解析由|x|m，得mxm.當0m2時，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去當2m|AC|的概率為_答案解析設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|AC|”在AB上取點C使|AC|AC|，因為ACC是等腰三角形，所以ACC75，事件D發(fā)生的區(qū)域D907515，構(gòu)成事件總的區(qū)域90，所以P(D).題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型1某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.答案B解析如圖所示，畫出時間軸小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當他的到達時間落在線段

5、AC或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型，得所求概率P，故選B.2.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB，BC1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧，在DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為_答案解析因為在DAB內(nèi)任作射線AP，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是DAB，當射線AP與線段BC有公共點時，射線AP落在CAB內(nèi)，則區(qū)域H為CAB，所以射線AP與線段BC有公共點的概率為.3在區(qū)間0,5上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個負根的概率為_答案解析方程x22px3p20有兩個負根，則有即解得p2或p1，又p0,5，則所求概率為P.思

6、維升華 求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求解要特別注意“長度型”與“角度型”的不同解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度)題型二與面積有關(guān)的幾何概型命題點1與平面圖形面積有關(guān)的問題典例 (2017全國)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是_答案解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑S

7、白S圓，所以由幾何概型知，所求概率P.命題點2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題典例 由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，由不等式組確定的平面區(qū)域記為2，若在1中隨機取一點，則該點恰好在2內(nèi)的概率為_答案解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P.命題點3與定積分交匯命題的問題典例 如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為_答案解析由題意知，陰影部分的面積S(4x2)dx|，所以所求概率P.思維升華 求解與面積有關(guān)的幾何概型

8、的注意點求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解跟蹤訓(xùn)練 (1)(2016全國)從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.答案C解析由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計算公式知，故選C.(2)(2017石家莊調(diào)研)在滿足不等式組 的

9、平面內(nèi)隨機取一點M(x0，y0)，設(shè)事件A“y02x0”，那么事件A發(fā)生的概率是()A. B.C. D.答案B解析作出不等式組的平面區(qū)域即ABC，其面積為4，且事件A“y02x0”表示的區(qū)域為AOC，其面積為3，所以事件A發(fā)生的概率是.(3)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_答案解析由題意知，所給圖中兩陰影部分面積相等，故陰影部分面積為S2(eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又該正方形的面積為e2，故由幾何概型的概率公式可得所求概率為.題型三與體積有關(guān)的幾何概型典例 (1)已知正三棱錐SABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐

10、內(nèi)任取一點P，使得VPABCVSABC的概率是()A. B.C. D.答案A解析當P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符合要求，由幾何概型知，P1.(2)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_答案解析過點M作平面RS平面AC，則兩平面間的距離是四棱錐MABCD的高，顯然點M在平面RS上任意位置時，四棱錐MABCD的體積都相等若此時四棱錐MABCD的體積等于，只要M在截面以下即可小于，當VMABCD時，即11h，解得h，即點M到底面ABCD的距離，所以所求概率P.思維升華 求解與體積有關(guān)的幾何概型的

11、注意點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求跟蹤訓(xùn)練 (2017湖南長沙四縣聯(lián)考)如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是()A1 B. C. D1答案A解析魚缸底面正方形的面積為224，圓錐底面圓的面積為.所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是1，故選A.幾何概型中的“測度”典例 (1)在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任

12、取一點M，則CAM30的概率是_(2)在長為1的線段上任取兩點，則這兩點之間的距離小于的概率為()A. B. C. D.錯解展示：(1)C90，CAM30，所求概率為.(2)當兩點之間線段長為時，占長為1的線段的一半，故所求概率為.錯誤答案(1)(2)B現(xiàn)場糾錯解析(1)點M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，“測度”是長度設(shè)直角邊長為a，則所求概率為.(2)設(shè)任取兩點所表示的數(shù)分別為x，y，則0x1，且0y1.由題意知|xy|，所以所求概率為P.答案(1)(2)C糾錯心得(1)在線段上取點，則點在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能(2)兩個變量在某個范圍內(nèi)取值，對應(yīng)的“測度”

13、是面積1.如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是()A. B C2 D3答案D解析設(shè)陰影部分的面積為S，且圓的面積S329.由幾何概型的概率，得，則S3.2設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B.C. D.答案B解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，滿足yx的部分為如圖陰影部分所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為P.3(2018石家莊模擬)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點，20，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A

14、. B. C. D.答案D解析以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則，因為20，所以2，得2，由此可得，P是ABC邊BC上的中線AO的中點，點P到BC的距離等于A到BC距離的，所以SPBCSABC，所以將一粒黃豆隨機撒在ABC內(nèi)，黃豆落在PBC內(nèi)的概率為，故選D.4.已知函數(shù)f(x)的部分圖像如圖所示，向圖中的矩形區(qū)域內(nèi)隨機投出100粒豆子，記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù)通過10次這樣的試驗，算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均數(shù)約為39，由此可估計f(x)dx的值約為()A. B.C. D.答案D解析f(x)dx表示陰影部分的面積S.因為，所以S.5在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“11”發(fā)生的

15、概率為()A. B. C. D.答案A解析由11，得x2，得0x.由幾何概型的概率計算公式，得所求概率P.6(2017武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲線f(x)sin x和余弦曲線g(x)cos x在矩形ABCD內(nèi)交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是()A. B. C. D.答案B解析根據(jù)題意，可得曲線ysin x與ycos x圍成的區(qū)域的面積為(sin xcos x)dx(cos xsin x)11.又矩形ABCD的面積為2，由幾何概型概率公式得該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是.故選B.

16、7(2017江蘇)記函數(shù)f(x)的定義域為D.在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_答案解析設(shè)事件“在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD”為事件A，由6xx20，解得2x3，D2,3如圖，區(qū)間4,5的長度為9，定義域D的長度為5，P(A).8.如圖，在面積為S的矩形ABCD內(nèi)任取一點P，則PBC的面積小于的概率為_答案解析如圖，設(shè)PBC的邊BC上的高為PF，線段PF所在的直線交AD于點E，當PBC的面積等于時，BCPFBCEF，所以PFEF.過點P作GH平行于BC交AB于點G，交CD于點H，則滿足條件“PBC的面積小于”的點P落在矩形區(qū)域GBCH內(nèi)設(shè)“PBC的面積小于”為事件A，則構(gòu)成

17、事件A的區(qū)域的面積為，而試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積為S，所以由幾何概型概率的計算公式得P(A).所以PBC的面積小于的概率是.9.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐AA1BD內(nèi)的概率為_答案解析因為VAA1SABDAA1S矩形ABCDV長方體，故所求概率為.10.正方形的四個頂點A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示若將一個質(zhì)點隨機投入到正方形ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_答案解析正方形內(nèi)空白部分面積為 x 2(x 2)dx2x2dxx3|，陰影部分面積為22，所以所求

18、概率為.11在區(qū)間，內(nèi)隨機取出兩個數(shù)分別記為a，b，求函數(shù)f(x)x22axb22有零點的概率解由函數(shù)f(x)x22axb22有零點，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如圖所示，(a，b)可看成坐標平面上的點，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為(a，b)|a，b，其面積S(2)242.事件A表示函數(shù)f(x)有零點，所構(gòu)成的區(qū)域為M(a，b)|a2b22，即圖中陰影部分，其面積為SM423，故P(A)1.12已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足ab1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636，由ab1，得2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個故滿足ab1的概率為.(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6,1y6滿足ab0的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且2