2019屆高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.9 函數(shù)模型及其應用學案 理 北師大版

1、2.9函數(shù)模型及其應用最新考綱考情考向分析1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解決問題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，題型以解答題為主，中高檔難度.1幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，

2、b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增加的增加的增加的增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當xx0時，有l(wèi)ogaxxn0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)上是增加的，在，0)和(0，上是減少的(2)當x0時，x時取最小值2，當x0時，x時取最大值2.

3、題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利()(2)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(3)不存在x0，使1)的增長速度會超過并遠遠大于yxa(a0)的增長速度()(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度越來越快的形象比喻()題組二教材改編2某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是()A收入最高值與收入最低值的比是31B結(jié)余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個月的平

4、均收入為40萬元答案D解析由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為(406030305060)45(萬元)，故D錯誤3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為 萬件答案18解析利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當x18時，L(x)有最

5、大值4用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為 答案3解析設隔墻的長度為x(0x0，當p(30，)時，L(p)0，m是不超過m的最大整數(shù)(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為 元答案4.24解析m6.5，m6，則f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40QQ2，則總利潤L(Q)的最大值是 萬元答案2 500解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.

6、則當Q300時，L(Q)的最大值為2 500萬元題型三構建函數(shù)模型的實際問題命題點1構造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型典例 (1)某航空公司規(guī)定，乘飛機所攜帶行李的質(zhì)量x(kg)與其運費y(元)之間的關系由如圖所示的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費攜帶行李的質(zhì)量最大為 kg.答案19解析由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y30x570，令30x5700，解得x19.(2)將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就要減少20個，為了賺得最大利潤，每個售價應定為 元答案95解析設每個售價定為x元，則利潤y(x80)400(x90)2020(x95)2225當

7、x95時，y最大命題點2構造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型典例 一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解(1)設每年降低的百分比為x(0x0)型函數(shù)典例 (1)某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y(萬元)與營運年數(shù)x的關系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營運年平均利潤最大，每輛客車營運年數(shù)為 答案5解析根據(jù)圖像求得y(x6)211，年平均

8、利潤12，x10，當且僅當x5時等號成立要使平均利潤最大，客車營運年數(shù)為5.(2)(2017南昌模擬)某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9平方米，且高度不低于米記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x .答案2解析由題意可得BC，y26.當且僅當(2x0，解得x2.3，x為整數(shù)，3x6，xZ.當x6時，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x115

9、0，結(jié)合x為整數(shù)得6x20，xZ.y(2)對于y50x115(3x6，xZ)，顯然當x6時，ymax185；對于y3x268x11532(6185，當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多思維升華 構建數(shù)學模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，建立適當?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制跟蹤訓練 (1)某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，至少應過濾 次才能達到市場要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)答案8解析設至少過濾n次才能

10、達到市場要求，則2%n0.1%，即n，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.(2)大學畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預算，該門面需要裝修費為20 000元，每天需要房租、水電等費用100元，受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關系是R(x)則總利潤最大時，該門面經(jīng)營的天數(shù)是 答案300解析由題意，總利潤y當0x400時，y(x300)225 000，所以當x300時，ymax25 000；當x400時，y60 000100x20 000，綜上，當門面經(jīng)營的天數(shù)為300時，總利潤最大為25 000元函數(shù)應用問題典例 (12分)已知美國某手機品牌

11、公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元設公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤思維點撥 根據(jù)題意，要利用分段函數(shù)求最大利潤列出解析式后，比較二次函數(shù)和“對勾”函數(shù)的最值的結(jié)論規(guī)范解答解(1)當040時，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W4分(2)當040時，W16x7 360，由于16x21 600，當且僅當16x，即x50(40，)時，取等號，所以此

12、時W的最大值為5 760.10分綜合知，當x32時，W取得最大值6 104萬美元12分解函數(shù)應用題的一般步驟：第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系；第二步：(建模)將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；第三步：(解模)求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論；第四步：(還原)將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義；第五步：(反思)對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結(jié)果，必須驗證這個數(shù)學結(jié)果對實際問題的合理性1在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5

13、174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dyx答案B解析由題中表可知函數(shù)在(0，)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大的越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖像正確的是()答案A解析前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.3國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例

14、為(p0.25)%，則該公司的年收入是()A560萬元 B420萬元C350萬元 D320萬元答案D解析設該公司的年收入為x萬元(x280)，則有(p0.25)%，解得x320.故該公司的年收入為320萬元4(2018湖南衡陽、長郡中學等十三校聯(lián)考)某大型民企為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2017年 B2018年C2019年 D2020年答案D解析設從2016年

15、起，過了n(nN)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過200萬元，則130(112%)n200，則n3.8，由題意取n4，則n2 0162 020.故選D.5某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 m3的，按每立方米m元收費；用水超過10 m3的，超過部分加倍收費某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A13 m3 B14 m3 C18 m3 D26 m3答案A解析設該職工用水x m3時，繳納的水費為y元，由題意得y則10m(x10)2m16m，解得x13.6某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1

16、x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元 B11萬元C43萬元 D43.025萬元答案C解析設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.120.1(10.5)232.因為x0,16且xN，所以當x10或11時，總利潤取得最大值43萬元7某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k ，經(jīng)過5小時，1個病毒

17、能繁殖為 個答案2ln 21 024解析當t0.5時，y2，2e，k2ln 2，ye2tln 2，當t5時，ye10ln 22101 024.8西北某羊皮手套公司準備投入適當?shù)膹V告費對其生產(chǎn)的產(chǎn)品進行促銷在一年內(nèi)，根據(jù)預算得羊皮手套的年利潤L萬元與廣告費x萬元之間的函數(shù)解析式為L(x0)則當年廣告費投入 萬元時，該公司的年利潤最大答案4解析由題意得L221.5，當且僅當，即x4時等號成立當0，即x4時，L取得最大值21.5.故當年廣告費投入4萬元時，該公司的年利潤最大9.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為 m.答案20解析設內(nèi)接矩形另一邊長為

18、y m，則由相似三角形性質(zhì)可得，解得y40x，所以面積Sx(40x)x240x(x20)2400(0x50，所以這兩位同學會影響其他同學休息12某書商為提高某套叢書的銷售量，準備舉辦一場展銷會據(jù)市場調(diào)查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到150.1x萬套現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.假設不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤售價供貨價格，問：(1)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢

19、書的利潤最大？解(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為150.11005(萬套)，此時每套供貨價格為3032(元)，書商所獲得的總利潤為5(10032)340(萬元)(2)每套叢書售價定為x元時，由解得0x150.依題意，單套叢書利潤Pxx30，所以P120.因為0x0，則(150x)221020，當且僅當150x，即x140時等號成立，此時，Pmax20120100.所以每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元13一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元當速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6

20、元若勻速行駛10海里，當這艘輪船的速度為 海里/小時時，總費用最小答案40解析設每小時的總費用為y元，則ykv296，又當v10時，k1026，解得k0.06，所以每小時的總費用y0.06v296，勻速行駛10海里所用的時間為小時，故總費用為Wy(0.06v296)0.6v248，當且僅當0.6v，即v40時等號成立故總費用最小時輪船的速度為40海里/小時14商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(ba)以及實數(shù)x(0x1)確定實際銷售價格cax(ba)這里，x被稱為樂觀系數(shù)經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中項據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x .答案解析由題意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，兩邊同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.15(2018濰坊模擬)某地西紅柿從2月1日開始上市，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100 kg)與上市時間t(單位