2018版高中數(shù)學(xué) 第四章 函數(shù)應(yīng)用 4.1.2 利用二分法求方程的近似解學(xué)案 北師大版必修1

1、4.1.2利用二分法求方程的近似解 1. 根據(jù)具體函數(shù)的圖像，借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解(重點(diǎn)) 2. 學(xué)習(xí)利用二分法求方程近似解的過(guò)程和方法(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理利用二分法求方程的近似解閱讀教材P117P119整節(jié)課的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題 1. 二分法的概念對(duì)于圖像在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且滿足f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱(chēng)為二分法 2. 用二分法求方程的近似解的過(guò)程圖411在圖411中：“初始區(qū)間”是一個(gè)兩端函數(shù)值反號(hào)的區(qū)間；“M”的含義是：取新區(qū)間，一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)，另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一

2、個(gè)，新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號(hào)；“N”的含義是：方程解滿足要求的精度；“P”的含義是：選取區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)作為方程的近似解 1. 判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)任何函數(shù)的零點(diǎn)都可以用二分法求得()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解()(3)當(dāng)方程的有解區(qū)間a，b的區(qū)間長(zhǎng)度ba(精確度)時(shí)，區(qū)間(a，b)內(nèi)任意一個(gè)數(shù)都是滿足精確度的近似解()【答案】(1)(2)(3) 2. 在用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.64)0，f(0.72)0，0.68，f(0.68)0，若精確度為0.1，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值可為()A0.64B0.65C0.70 D0.73【解析

3、】因?yàn)?.720.680.040.1，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0.68,0.72)，故函數(shù)的零點(diǎn)可以是0.70.【答案】C小組合作型二分法概念的理解下列圖像與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()ABCD【精彩點(diǎn)撥】【嘗試解答】按定義，f(x)在a，b上是連續(xù)的，且f(a)f(b)0，才能不斷地把函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，進(jìn)而利用二分法求出函數(shù)的零點(diǎn)故結(jié)合各圖像可得選項(xiàng)B、C、D滿足條件，而選項(xiàng)A不滿足，在A中，圖像經(jīng)過(guò)零點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)值不變號(hào)，因此不能用二分法求解故選A.【答案】A 1. 準(zhǔn)確理解“二分法”的含義二分就是平均分成兩部分二分法就是通過(guò)不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐

4、步逼近零點(diǎn)的方法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn) 2. “二分法”與判定函數(shù)零點(diǎn)的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖像在零點(diǎn)附近連續(xù)且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)再練一題 1. (1)下列函數(shù)中，能用二分法求零點(diǎn)的為() AB CD(2)用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)的零點(diǎn)時(shí)，需要的條件是()f(x)在區(qū)間a，b是連續(xù)不斷的；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.ABC D【解析】(1)函數(shù)圖像連續(xù)不斷，函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值異號(hào)，這樣的函數(shù)零點(diǎn)才能使用二分法求解，觀察四個(gè)函數(shù)圖像，只有B選項(xiàng)符合(

5、2)由二分法的意義，知選A.【答案】(1)B(2)A利用二分法求方程的近似解借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求方程3x0的近似解(精確度為0.1)【精彩點(diǎn)撥】借助函數(shù)圖像的交點(diǎn)確定初始區(qū)間后用二分法求根的近似解【嘗試解答】原方程可化為3x10，即3x1，在同一坐標(biāo)系中，分別畫(huà)出函數(shù)g(x)3x與h(x)1的簡(jiǎn)圖，如圖所示：因?yàn)間(x)與h(x)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)位于區(qū)間(1,0)且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方程只有一解，設(shè)為xx0.令f(x)3x3x1，因?yàn)閒(0)11110，f(0.5)210，所以x0(0.5,0)用二分法求解，列表如下：中點(diǎn)值中點(diǎn)(端點(diǎn))函數(shù)值取值區(qū)間f(0.5)0，f(0)0(0

6、.5,0)x10.25f(0.25)0(0.5，0.25)x20.375f(0.375)0(0.5，0.375)x30.437 5f(0.437 5)0(0.437 5，0.375)因?yàn)閨0.375(0.437 5)|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取為0.375.用二分法求方程的近似解，首先要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長(zhǎng)度盡量小，其次要依據(jù)給定的精確度，及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)的近似值是否達(dá)到要求(達(dá)到給定的精確度)，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算.再練一題 2. 利用計(jì)算器，求方程lg x2x的近似解(精確到0.1)【解】作出ylg x，y2x的圖像，可以發(fā)

7、現(xiàn)，方程lg x2x有唯一解，記為x0，并且解在區(qū)間1,2內(nèi)設(shè)f(x)lg xx2，用計(jì)算器計(jì)算得f(1)0，f(2)2x1,2；f(1.5)0，f(2)0x1.5,2；f(1.75)0，f(2)0x1.75,2；f(1.75)0，f(1.875)0x1.75,1.875；f(1.75)0，f(1.812 5)0x1.75,1.812 5在區(qū)間1.75,1.812 5中的值精確到0.1均為1.8.近似解為1.8.探究共研型利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值探究 1 如圖412，f(x)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，如何求方程f(x)0的解？圖412假設(shè)在區(qū)間1,5上，f(x)的圖像是一條連續(xù)的曲線，且f(

8、1)f(5)0，如何按照二分法的思想求方程f(x)0的一個(gè)解？【提示】取1,5的中點(diǎn)2，因?yàn)閒(5)0，f(2)0，即f(2)f(5)0.所以在區(qū)間2,5內(nèi)有方程的解于是再取2,5的中點(diǎn)3.5這樣繼續(xù)下去，如果取到某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x0，恰使f(x0)0，則x0就是所求的一個(gè)解；如果區(qū)間中的點(diǎn)的函數(shù)值總不等于零，那么，不斷地重復(fù)上述操作，就得到一系列閉區(qū)間，方程的一個(gè)解在這些區(qū)間中，區(qū)間長(zhǎng)度越來(lái)越小，端點(diǎn)逐步逼近方程的解，可以得到一個(gè)近似解探究 2 在上述問(wèn)題中，如果不給精確，用二分法能一定求出零點(diǎn)嗎？【提示】不能探究 3 假設(shè)方程有一個(gè)近似解在區(qū)間a，b內(nèi)，那么當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度ba的值滿足什么條件時(shí)

9、，區(qū)間(a，b)內(nèi)任意一個(gè)數(shù)都是滿足精度的近似解？為什么？【提示】當(dāng)ba，區(qū)間(a，b)內(nèi)任意一個(gè)數(shù)都是滿足精度的近似解因?yàn)槿我膺x取兩數(shù)x1，x2(a，b)，都有|x1x2|.由于(a，b)，所以任意選取x(a，b)都有|x|.用二分法求函數(shù)yx33的一個(gè)正零點(diǎn)(精確到0.01). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】【嘗試解答】由于f(1)20，f(2)50，因此可取區(qū)間1,2作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，見(jiàn)表如下：次數(shù)左端點(diǎn)左端點(diǎn)函數(shù)值右端點(diǎn)右端點(diǎn)函數(shù)值第1次1225第2次121.50.375第3次1.251.046 91.50.375第4次1.3750.400 41.50.375第5次1.4

10、37 50.029 51.50.375第6次1.437 50.029 51.468 750.168 4第7次1.437 50.029 51.453 1250.068 38第8次1.437 50.02951.445 312 50.019 2第9次1.441 406 250.005 31.445 312 50.019 2第10次1.441 406 250.005 31.443 359 3750.006 931因?yàn)閰^(qū)間1.441 406 25,1.443 359 375內(nèi)的所有值，若精確到0.01都是1.44，所以1.44就是所求函數(shù)一個(gè)精確到0.01的正零點(diǎn)的近似值二分法求解步驟：(1)確定區(qū)間a

11、，b：驗(yàn)證f(a)f(b)0，初始區(qū)間的選擇不宜過(guò)大，否則易增加運(yùn)算的次數(shù)(2)求區(qū)間a，b的中點(diǎn)c.(3)計(jì)算f(c)：若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)若f(a)f(c)0，則令bc(此時(shí)零點(diǎn)x0a，c)；若f(c)f(b)0，則令ac(此時(shí)零點(diǎn)x0c，b)(4)判斷a，b的兩端的近似值是否相等，若相等得零點(diǎn)的近似解；否則重復(fù)(2)(4)步特別注意要運(yùn)算徹底再練一題 3. 用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_，以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()A(0,0.5)，f(0.25)B(0,1)，f(0.25)C(0.5,

12、1)，f(0.75)D(0,0.5)，f(0.125)【解析】由f(0)f(0.5)0，故其中一個(gè)零點(diǎn)x0(0,0.5)，第二次計(jì)算時(shí)取區(qū)間(0,0.5)的中點(diǎn)0.25，故第二次計(jì)算f(0.25)【答案】A 1. 用二分法求函數(shù)f(x)3x7的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可選為()A(1,0)B(0,1)C(1,2) D(2,3)【解析】f(1)31770，f(0)307171760，f(1)31740，f(2)3279720，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上，故初始區(qū)間可選為(1,2)【答案】C 2. 若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1)2f

13、(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5) 0.162f(1.406 25) 0.054那么函數(shù)零點(diǎn)的一個(gè)近似解(精確度為0.1)為()A1.2B1.3C1.4 D1.5【解析】由參考數(shù)據(jù)可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1.25,1.375)，(1.375,1.406 25)，(1.406 25,1.437 5)內(nèi)，由于1.3751.250.150.1，1.406 251.3750.031 250.1,1.437 51.406 250.031 250.1.故函數(shù)的零點(diǎn)可以在區(qū)間(1.406 25,1.437 5)中取故選項(xiàng)C符合【答案】C 3. 已知圖像連續(xù)不斷的函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0,0.1)上有唯一零點(diǎn)，如果用二分法求這個(gè)零點(diǎn)(精確度為0.01)的近似值，則應(yīng)將區(qū)間(0,0.1)等分的次數(shù)至少為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】設(shè)等分