2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 理

1、5.1平面向量的概念和線性運(yùn)算考試報(bào)告1。了解向量的實(shí)際背景。2.理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義。3.理解向量的幾何表示。4.掌握矢量加法和減法運(yùn)算，理解它們的幾何意義。5.掌握向量數(shù)乘法的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線性的含義。6.理解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)和幾何意義。測(cè)試點(diǎn)1的平面向量的一些概念向量的一些概念(1)向量：既有大小又有_ _ _ _ _ _ _ _的量稱為向量，向量的大小稱為向量的_ _ _ _ _ _ _ _。(2)零矢量：長(zhǎng)度為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _的矢量，其方向是任意的。(3)單位向量：長(zhǎng)度等于_ _ _ _ _ _ _ _ _的向量。(4)平行矢量：方

2、向相同或_ _ _ _ _ _的非零矢量，也稱為共線矢量。規(guī)定0與任何矢量共線。(5)等矢量：長(zhǎng)度和方向等的矢量。(6)反向矢量：長(zhǎng)度和方向相等的矢量?；卮穑?1)方向模塊(2)0 (3)1單元(4)相對(duì)(5)相同(6)相對(duì)對(duì)向量概念的誤解：等向量；共線矢量。(1)如果四邊形ABCD滿足=，那么四邊形ABCD的形狀是_ _ _ _ _ _ _ _。答案：平行四邊形分析：=表示ADBC，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形。(2)如果四邊形ABCD滿足=k (k0，k1)，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _。答案：梯形解析：=k (k0，k1)表示ADBC，但AD和BC

3、不相等，所以四邊形ABCD為梯形。標(biāo)題1 (1)給出了以下命題：如果| a |=| b |，則a=b；如果A、B、C、D是四個(gè)不共線的點(diǎn)，則“=”是“四邊形ABCD是平行四邊形”的一個(gè)充要條件；如果a=b，b=c，那么a=c；如果ab，bc，那么ac .正確命題的序號(hào)是()A.bC.d回答答分析 不正確。兩個(gè)向量長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同。正確。=， | |=| |和。a、b、c和d是四個(gè)不共線的點(diǎn)。四邊形ABCD是平行四邊形；相反，如果四邊形ABCD是平行四邊形，那么| |=| |，和方向是相同的，所以=。正確。* a=b，a，b具有相同的長(zhǎng)度和相同的方向。b=c，b，c有相同的長(zhǎng)度和

4、相同的方向。a和c在長(zhǎng)度和方向上相等，所以A=C .不正確。當(dāng)b=0時(shí)，a和c可能不平行。綜上所述，正確命題的序號(hào)為 。(2)給出以下命題：(1)具有公共端點(diǎn)的兩個(gè)向量必須是共線向量；(2)兩個(gè)向量在大小上不能比較，但它們的模在大小上可以比較；如果 A=0 (是實(shí)數(shù))，必須為零；已知和是實(shí)數(shù)。如果 A= B，那么A和B共線。錯(cuò)誤命題的數(shù)量是()A.1 B.2C.3 D.4答案 C分析 1錯(cuò)誤。兩個(gè)向量的共線性取決于它們的方向，而不是起點(diǎn)和終點(diǎn)；正確。因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，所以它們不能比較大小，但是它們的模數(shù)是實(shí)數(shù)，所以它們可以比較大小。錯(cuò)誤。當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)論值如何，a=0；錯(cuò)誤。當(dāng)=0，

5、a= b時(shí)，此時(shí)a和b可以是任意矢量。1.相等向量是可傳遞的，非零向量的并行是可傳遞的。2.共線矢量是平行矢量，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。3.向量可以被轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的向量等于原始向量。解決問(wèn)題時(shí)，不要把它和函數(shù)圖像的運(yùn)動(dòng)混淆。4.非零向量A與：它是A方向上的單位向量之間的關(guān)系.測(cè)試點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算矢量操作定義統(tǒng)治(或少數(shù)什么意思)算術(shù)定律添加求兩個(gè)向量之和的運(yùn)算交換法：a b=_ _ _ _ _ _ _ _組合法則：(a b) c=a (_ _ _ _ _ _ _)減法求A和B-B的相反向量之和的運(yùn)算a-b=a+(_)數(shù)字乘法實(shí)數(shù)與向量A乘積的運(yùn)算| a |=| | | a |，當(dāng) 0時(shí)，a

6、和a的方向是_ _ _ _ _ _ _ _ _；當(dāng) 0時(shí)，a和A的方向是_ _ _ _ _；當(dāng)=0時(shí)，a=0( a)=(_ _ _ _ _ _)a；(+)a=_ _ _ _ _ _ _ _；(a+b)=_答：B AB C-B相同，但 相反a+a a+b(1)向量和公式()簡(jiǎn)化后等于_ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑悍治觯涸脊?。(2)課本練習(xí)適應(yīng)如果你知道三角形ABC，用和表示BC邊上的中心線向量，然后=_ _ _ _ _ _ _?；卮穑簶?biāo)題2 (1)2017廣東惠州高中第二模型如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的三等分點(diǎn)，那么=()A.- B.+C.+d-答案

7、 D解析在CEF中，有=。因?yàn)辄c(diǎn)E是DC的中點(diǎn)。因?yàn)閒點(diǎn)是BC的三分之一，So=。所以=-，所以選擇d .(2)2017遼寧沈陽(yáng)模擬已知ABC和M點(diǎn)滿足=0。如果有一個(gè)實(shí)數(shù)M使=M成立，那么M=()A.2 B.3C.4 D.5回答乙分辨率從=0開(kāi)始，點(diǎn)m是ABC的重心。將點(diǎn)d設(shè)定為底部BC的中點(diǎn)。然后=()=()，所以=3，所以m=3。向量線性運(yùn)算的解題策略(1)常用的規(guī)則有平行四邊形規(guī)則和三角形規(guī)則。一般來(lái)說(shuō)，平行四邊形法則用于具有公共起點(diǎn)的向量求和，三角形法則用于差分計(jì)算，三角形法則用于首尾相連的向量求和。(2)找出圖中的等矢量和共線矢量，將得到的矢量和已知矢量轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平行四邊形或三角

8、形。(3)用幾個(gè)基本向量表達(dá)向量問(wèn)題的基本技巧：觀察每個(gè)向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；(3)利用規(guī)則尋找關(guān)系；簡(jiǎn)化結(jié)果。共線矢量定理在測(cè)試點(diǎn)3中的應(yīng)用共線向量定理向量a(a0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的實(shí)數(shù)，因此b=_ _ _ _ _ _ _ _ _。答：答處理向量問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤：忽略零向量；結(jié)論的濫用。(1)如果a和b是共線矢量，b和c是共線矢量，則a和c之間的關(guān)系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑汗簿€矢量還是非共線矢量分析：如果B=0，那么A和C不一定是共線矢量；如果B是非零向量，那么A和C是共線向量。注意：當(dāng)處理向量問(wèn)題時(shí)，不要忽略零向量。(2

9、)給定兩個(gè)向量A和B，如果| A |a|=1和| B |b|=2，那么| A | B |的范圍是_ _ _ _ _ _。答案：1，3分析：當(dāng)方向A和B相同時(shí)，有| A | B |=3；當(dāng)A和B的方向相反時(shí)，| A | B |=1；當(dāng)A和B不共線時(shí)，1 | A B | 3。因此，| A B |的范圍是1，3。注意：一般來(lái)說(shuō)，| a b |=| a | | b |不是真的。關(guān)于向量的幾個(gè)結(jié)論：三點(diǎn)共線；向量的中線公式；三角形重心的矢量表示。(1)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于不在直線AB上的任意點(diǎn)o有實(shí)數(shù)t時(shí)，A、b和c共線，因此=t _ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑?-t解析：根據(jù)共線向量定理，點(diǎn)A、點(diǎn)

10、B、點(diǎn)C共線的充要條件是有一個(gè)實(shí)數(shù)T，使得=T，即，-T=(-)，即=T (1-T)。(2)ABC，其中D是BC的中點(diǎn)，然后=()，然后=_ _ _ _ _ _。回答：分析：通過(guò)=，=，獲得2=(+)+(+)。+=0,=(+).標(biāo)題3讓兩個(gè)非零向量不共線。(1)如果=a b，=2a 8b，=3 (a-b)，驗(yàn)證a、b和d共線；(2)嘗試確定實(shí)數(shù)k，使ka b和a kb共線。(1)證明因?yàn)?a b，=2a 8b，=3 (a-b)、So=2a 8b 3 (a-b)=5(a+b)=5，所以，共線。并且具有公共點(diǎn)b，因此，甲、乙、丁共線。(2)因?yàn)閗a b和a kb是共線的，因此，有一個(gè)實(shí)數(shù)，所以ka

11、 b= (a kb)。也就是說(shuō)，解是k=1。也就是說(shuō)，當(dāng)k=1時(shí)，ka b和a kb共線。主題發(fā)散1如果本例(1)中的“=2a 8b”更改為“=a MB”，當(dāng)m為值時(shí)，a、b和d共線？解決方案：=(a兆字節(jié))3 (a-b)=4a (m-3) b，如果A、B和D共線，則有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=，即4a (m-3) b= (a b)。因此，解是m=7。因此，當(dāng)m=7時(shí)，a、b和d共線。主題發(fā)散2如果本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，k值是多少？解決方案：因?yàn)閗a b和a kb是反向共線的，因此，有一個(gè)實(shí)數(shù)，所以ka b= (a kb) ( 0)。也就是說(shuō)，解是k=1。0，k=，所以k=-1。因此，

12、當(dāng)k=-1時(shí)，兩個(gè)矢量反向共線。1.證明了三點(diǎn)共線性問(wèn)題可以通過(guò)向量的共線性來(lái)解決，但要注意向量的共線性與三點(diǎn)共線性的區(qū)別和聯(lián)系。只有當(dāng)兩個(gè)向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三個(gè)點(diǎn)的共線性。2.向量A和B的共線性意味著實(shí)數(shù)1和2不都為零，因此 1a 2b=0成立；如果 1a 2b=0，當(dāng)且僅當(dāng) 1= 2=0，那么向量a和b不共線。1.眾所周知，矢量a和b不共線，c= a b，d=a (2-1) b。如果c和d在同一方向，那么實(shí)數(shù)=_ _ _ _ _ _ _?；卮穑?分析：因?yàn)閏和d在同一個(gè)方向，c=KD (k 0)，那么 a b=k a (2-1) b，成品 a b=ka (2 k-k) B .因

13、為甲和乙不共線，所以有2 2-1=0，因此=1或=-。k 0，所以 0，所以=1。2.眾所周知，A和B是兩個(gè)不共線的非零向量，A和B的起點(diǎn)是相同的。如果A、tb和(A B)的端點(diǎn)在同一條線上，則T=_ _ _ _ _ _ _ _?；卮穑悍治觯篈，tb，(A B)三個(gè)矢量的端點(diǎn)在同一條直線上，A和B的起點(diǎn)相同。 a-TB與a-(a b)共線，也就是說(shuō)，結(jié)核分枝桿菌與結(jié)核分枝桿菌共線，有一個(gè)實(shí)數(shù)，所以a-TB=，解決方案也就是說(shuō)，當(dāng)t=時(shí)，三個(gè)向量a、tb和(a b)的端點(diǎn)在同一條直線上。方法和技巧 1。矢量加法的三角法則元素是“首尾相連，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角法則元素是“起點(diǎn)重合，指向被減向

14、量”；平行四邊形法則的基本要素是“起點(diǎn)重合”。2.對(duì)于平面上不共線且滿足=x y (x，yR)的任意點(diǎn)o，p、a和b共線，x y=1。易出錯(cuò)預(yù)防 1。要解決向量的概念問(wèn)題，必須注意兩點(diǎn)：第一，不僅要考慮向量的大小，更重要的是，要考慮向量的方向；其次，考慮零矢量是否也滿足條件，并特別注意零矢量的特殊性。2.使用向量減法時(shí)，很容易把兩個(gè)向量的順序弄錯(cuò)，從而得到向量的相反向量，這就導(dǎo)致了誤差。振體訓(xùn)練1.2015新課程標(biāo)準(zhǔn)第一冊(cè)設(shè)D為ABC所在平面上的一個(gè)點(diǎn)，=3，則()A.=-+B.=-C.=+D.=-答：答解析：=(-)=-=-。所以選擇一個(gè).2.2014新課標(biāo)第一冊(cè)設(shè)D、E、F為ABC三邊BC

15、、CA、AB的中點(diǎn)，然后=()A.B.C.D.答：分辨率：=()=()=，所以選擇A .3.2014新課標(biāo)第一冊(cè)眾所周知，A、B、C是O圓上的三個(gè)點(diǎn)，如果=()，它們之間的夾角為_(kāi) _ _ _ _ _?；卮穑?0解析：=()，點(diǎn)o是ABC的邊BC的中點(diǎn)，BC是直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，它等于90。課后拓展閱讀專(zhuān)題平面向量與三角形問(wèn)題的綜合例1已知p是ABC中的一個(gè)點(diǎn)，PBC的面積是2 015，所以PAB的面積是_ _ _ _ _ _ _ _。思路分析 PBC、PAB和ABC分別位于BC和AB的底部。在平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，將同一底面上三角形的面積比轉(zhuǎn)化為同一底面上相應(yīng)的高度比，即可得到面積關(guān)系，

16、進(jìn)而計(jì)算出PAB的面積。解析讓s ABC=s，s PBC=S1=2 015，s PAB=S2。解決方案1:(適當(dāng)切入，突破“三點(diǎn)共線”)如圖所示，將AP交叉BC擴(kuò)展到d，并從平面幾何知識(shí)中得到。它可以由共線的三個(gè)點(diǎn)A，P和d得到=+(R)。通過(guò)共線的三個(gè)點(diǎn)，我們可以得到=+(1-)(R)。同時(shí)和有一個(gè)解決方案然后=，=-=，然后=，所以s=S1。同樣，通過(guò)將CP和AB擴(kuò)展到E，我們可以得到=，所以S2=S .那么S2=s=S1=S1=2 015=2 821。解決方案2:(巧妙的構(gòu)造，領(lǐng)先的矢量“投影”勝出)如圖所示，構(gòu)造單位向量e(其中e),則單位向量e方向上的投影長(zhǎng)度|e|和|e|分別是PB

17、C和ABC的公共底部的高度。那么s=| | | e=| | | e | | | cos u e ,|=| | | | sinABC；因?yàn)?+(+)=+，所以S1=| |=|=|=| | | cos u e ,|=S。設(shè)我是垂直于向量的單位向量，同樣，S2=S .那么S2=s=S1=S1=2 015=2 821。解答3:(歸類(lèi)為變換，手拉手三角形“重心”巧妙解答)通過(guò)=，你可以得到5 6 7=0。Make=5，=6，=7，如圖所示，連接AB ，BC 和CA 。So=0。也就是說(shuō)，p是abc的重心，spab=sPbc，根據(jù)已知條件，我們得到S1=| | | |辛BPC=sinBPC=SPBC，因此，sPbc=42 S1，同樣，也可以得到spab=30 S2。所以S2=S1=2 821。請(qǐng)?zhí)顚?xiě)