2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題13 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算教學(xué)案 理

1、專題13 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，y，yx2，yx3，y的導(dǎo)數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如yf(axb)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù) 1函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率 l，通常稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f(x0)，即 f(x0)(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)的切線的斜率等于f(x0)2函數(shù)f(x)的導(dǎo)函

2、數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)于是，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，記為f(x)(或yx、y)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)f(x)yf(x)yCyxnyx (x0，0)yax (a0，a1)yexylogax(a0，a1，x0)yln xysin xycos xy0ynxn1，n為自然數(shù)yx1，為有理數(shù)yaxln ayexyyycos xysin x4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(

3、x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積高頻考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1、分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ylnln(12x)，y(12x).【方法技巧】求導(dǎo)一般對函數(shù)式先化簡再求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)，常用求導(dǎo)技巧

4、有：(1)連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；(6)復(fù)合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).【變式探究】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsincos；(4)yln(2x5).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.高頻考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義例2、(1)(2016全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)

5、x0時(shí)，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(diǎn) (1，2)處的切線方程是_.(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy10解析(1)設(shè)x0，則x0時(shí)，f(x)ex1x.因此，當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex11，f(1)e012.則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率為f(1)2，所以切線方程為y22(x1)，即2xy0.(2)點(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點(diǎn)為(1，0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為y

6、x1，即xy10.答案(1)2xy0(2)B【方法規(guī)律】(1)求切線方程的方法：求曲線在點(diǎn)P處的切線，則表明P點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；求曲線過點(diǎn)P的切線，則P點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后列出切點(diǎn)坐標(biāo)的方程解出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出切線方程.(2)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)在曲線上.【變式探究】(1)已知直線yx1與曲線yln(xa)相切，則a的值為()A.1 B.2 C.1 D.2(2)若函數(shù)f(x)x2axln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)

7、a的取值范圍是_.解析(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，y，所以有解得(2)f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)存在零點(diǎn)，xa0有解，ax2(x0).答案(1)B(2)2，)【舉一反三】(2015全國卷)已知曲線yxln x在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.解析法一yxln x，y1，y|x12.曲線yxln x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.y2x1與曲線yax2(a2)x1相切，a0(當(dāng)a0時(shí)曲線變?yōu)閥2x1與已知直線平行).由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二同法一得切線方程為y

8、2x1.設(shè)y2x1與曲線yax2(a2)x1相切于點(diǎn)(x0，ax(a2)x01).y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2).由解得答案8高頻考點(diǎn)三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系例3、如圖，點(diǎn)A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，過點(diǎn)E作OB的垂線l.記AOB在直線l左側(cè)部分的面積為S，則函數(shù)Sf(x)的圖象為下圖中的()答案D【感悟提升】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可

9、設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可(4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢【變式探究】(1)已知函數(shù)f(x)3xcos2xsin2x，af()，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線yx3上一點(diǎn)P(a，b)的切線方程為()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10(2)若直線y2xm是曲線yxlnx的切線，則實(shí)數(shù)m的值為_答案(1)C(2)e解析(1)由f(x)3xcos2xsin2x得f(x)32sin2x2cos2x，則af()32sin2cos1.由yx3得y3x2，當(dāng)P點(diǎn)

10、為切點(diǎn)時(shí)，切線的斜率k3a23123.又ba3，則b1，所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)故過曲線yx3上的點(diǎn)P的切線方程為y13(x1)，即3xy20.當(dāng)P點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，x)，切線方程為yx3x(xx0)，P(a，b)在曲線yx3上，且a1，b1.1x3x(1x0)，2x3x10，2x2xx10，(x01)2(2x01)0，切點(diǎn)為，此時(shí)的切線方程為y，綜上，滿足題意的切線方程為3xy20或3x4y10，故選C.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x0lnx0)，由y(xlnx)lnxxlnx1，得切線的斜率klnx01，故切線方程為yx0lnx0(lnx01)(xx0)，整理得y(lnx01)x

11、x0，與y2xm比較得解得x0e，故me.【2016高考山東理數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，所以在函數(shù)圖象存在兩點(diǎn)，使條件成立，故A正確；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不符合題意，故選A?！?015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A B C D 【答案】C【2014安徽卷】設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0，1時(shí) ，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的

12、值【解析】解： (1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng)xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1x0.故f(x)在和 內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)閍0，所以x10，當(dāng)a4時(shí)，x21.由(1)知，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，所以f(x)在x0和x1處分別取得最小值和最大值當(dāng)0a4時(shí)，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2，1上單調(diào)遞減，所以f(x)在xx2處取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在x1處取得最小值；當(dāng)a1時(shí)，f(x)在x0和x1處同時(shí)取得最小值；當(dāng)1a12x

13、，原不等式成立假設(shè)pk(k2，kN*)時(shí)，不等式(1x)k1kx成立當(dāng)pk1時(shí)，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以當(dāng)pk1時(shí)，原不等式也成立綜合可得，當(dāng)x1，x0時(shí)，對一切整數(shù)p1，不等式(1x)p1px均成立(2)方法一：先用數(shù)學(xué)歸納法證明anc.當(dāng)n1時(shí)，由題設(shè)知a1c成立假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，不等式akc成立由an1ana易知an0，nN*.當(dāng)nk1時(shí)，a1.由akc0得11p .因此ac，即ak1c，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式anc也成立綜合可得，對一切正整數(shù)n，不等式anc均成立再由1可得1，即an1an1c，nN*.假設(shè)nk(k1

14、，kN*)時(shí)，不等式akak1c成立，則當(dāng)nk1時(shí)，f(ak)f(ak1)f(c)，即有ak1ak2c，所以當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立綜合可得，對一切正整數(shù)n，不等式anan1c均成立【2014福建卷】已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.【解析】解：方法一：(1)由f(x)exax，得f (x)exa.又f (0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f (x)ex2.令f (x)0，得

15、xln 2.當(dāng)xln 2時(shí)，f (x)ln 2時(shí)，f (x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無極大值若0c1，要使不等式x2kx2成立而要使exkx2成立，則只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，則h(x)1.所以當(dāng)x2時(shí)，h(x)0，h(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增取x016k16，所以h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2，5k0，所以h(x0)0.即存在x0，當(dāng)

16、x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)首先證明當(dāng)x(0，)時(shí)，恒有x30時(shí)，x2ex，從而h(x)0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以h(x)h(0)10，即x3x0時(shí)，有x2x3ex.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.【2014廣東卷】 曲線ye5x2在點(diǎn)(0，3)處的切線方程為_【答案】y5x3【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程的求解方法因?yàn)閥5e5x，所以切線的斜率k5e05，所以切線方程是：y35(x0)，即y5x3.【2014江西

17、卷】若曲線yex上點(diǎn)P處的切線平行于直線2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_【答案】(ln 2，2) 【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，yex.又切線平行于直線2xy10，所以ex02，可得x0ln 2，此時(shí)y2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ln 2，2)【2014江西卷】已知函數(shù)f(x)(x2bxb)(bR)(1)當(dāng)b4時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍【解析】(1)當(dāng)b4時(shí)，f(x)，由f(x)0，得x2或x0.所以當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x2處取得極小值f(2)0，在x0處取得極大值f(0)4.

18、(2)f(x)，易知當(dāng)x時(shí)，1時(shí)，對x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1時(shí)，存在x0，使(x)nln(n1)證明如下：方法一：上述不等式等價(jià)于，x0.令x，nN，則ln.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，ln 2，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即ln(k1)那么，當(dāng)nk1時(shí)，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對nN成立方法二：上述不等式等價(jià)于，x0.令x，nN，則ln.故有l(wèi)n 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，結(jié)論得證方法三：如圖，dx是由曲線y，xn及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而是圖中所

19、示各矩形的面積和，dxdxnln(n1)，結(jié)論得證【2014四川卷】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖像上(nN*)(1)若a12，點(diǎn)(a8，4b7)在函數(shù)f(x)的圖像上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，所以2a842a72a72，解得da8a72，所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù)f(x)2x在點(diǎn)(a2，b2)處的切線方程為y2a2(2a2ln 2)(xa2)，其在x軸上的截距為a2.由題意有a2

20、2，解得a22.所以da2a11.從而ann，bn2n，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以Tn，2Tn，因此，2TnTn12.所以，Tn. 1.設(shè)曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，則a()A.0 B.1 C.2 D.3解析yeaxln(x1)，yaeax，當(dāng)x0時(shí)，ya1.曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，a12，即a3.故選D.答案D2.若f(x)2xf(1)x2，則f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4解析f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(1)4.答案D3.曲線f(x)x3x3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y2x1，則P點(diǎn)的坐

21、標(biāo)為()A.(1，3) B.(1，3)C.(1，3)和(1，3) D.(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，則3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1，3)，(1，3)均不在直線y2x1上，故選C.答案C4.已知曲線yln x的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為()A.e B.eC. D.5.已知yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)()A.1 B.0 C.2 D.4解析由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x

22、)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，所以g(3)130.答案B6.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN，則f2 017(x)等于()A.sin xcos x B.sin xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2 017(x)f1(x)sin xcos x，故選D.答案D7.已知函數(shù)f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(diǎn)(1，g(1)處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線