2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修5

1、1.3預(yù)習(xí)課本P1821，思考并完成以下問(wèn)題 (1)方向角和方位角各是什么樣的角？ (2)怎樣測(cè)量物體的高度？ (3)怎樣測(cè)量物體所在的角度？ 實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)名稱定義圖示基線在測(cè)量中，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90)方位角從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過(guò)的水平角1某人先向正東方向走了x km，然后他向右轉(zhuǎn)150，向新的方向走了3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為 km，那么x的值

2、為_解析：畫出示意圖(略)，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，x2或x.答案：2或2從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為_解析：根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖知.答案：3兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于a(km)，燈塔A在C北偏東30，B在C南偏東60，則A，B之間距離為_解析：ABC中，ACBCa，ACB90，所以ABa.答案：a4.如圖，已知A，B，C三地，其中A，C兩地被一個(gè)湖隔開，測(cè)得AB3 km，B45，C30，則A，C兩地的距離為_km.解析：根據(jù)題意，由正弦定理可得，代入數(shù)值得，解得AC3.答案：3測(cè)量高度典例濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是

3、隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征李明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2 m，到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得泉標(biāo)頂部仰角為80.你能幫李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1 m)解如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端依題意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，則ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根據(jù)正弦定理，.BD38.5(m)在RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38 m.(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面

4、內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用活學(xué)活用甲、乙兩樓相距200 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是多少？解：如圖所示，AD為乙樓高，BC為甲樓高在ABC中，BC200tan 60200，AC200sin 30400，由題意可知ACDDAC30，ACD為等腰三角形由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcos 120，4002AD2AD22AD23AD2，AD2，AD.故甲樓高為200 m，乙樓高為 m.測(cè)量角度問(wèn)題典例

5、如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3) n mile的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45方向、B點(diǎn)北偏西60方向的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20 n mile的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30 n mile/h，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解由題意，知AB5(3)n mile，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，即BD10 n mile.又DBCDBAABC60，BC20 n mile，在DBC中，由余弦定理，得CD 30 n mile，則救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為1 h.測(cè)量角度

6、問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解 活學(xué)活用在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解：設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，畫出示意圖，則有CD10t，BD10t，在ABC中，AB

7、1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC，ABC45，BC與正北方向成90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30.即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船.測(cè)量距離問(wèn)題題點(diǎn)一：兩點(diǎn)不相通的距離1.如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離若測(cè)得CA400 m，CB600 m，ACB60，試計(jì)算AB的長(zhǎng)解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC2

8、2ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 (m)即A，B兩點(diǎn)間的距離為200 m.題點(diǎn)二：兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)2.如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測(cè)出A，C的距離m，再借助儀器，測(cè)出ACB，CAB，在ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測(cè)出AC60 m，BAC75，BCA45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_ m.解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，AB20(m)即A，B兩點(diǎn)間的距離為20 m.答案：20題點(diǎn)三：兩點(diǎn)都不可到達(dá)3

9、.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CDa，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B兩點(diǎn)間的距離解：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B兩點(diǎn)間的距離為 km.當(dāng)A，B兩點(diǎn)之間

10、的距離不能直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離分為以下三類：(1)兩點(diǎn)間不可通又不可視(如圖)：可取某點(diǎn)C，使得A，B與C之間的距離可直接測(cè)量，測(cè)出ACb，BCa以及ACB，利用余弦定理得：AB.(2)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)(如圖)：可選取與B同側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)出BCa以及ABC和ACB，先使用內(nèi)角和定理求出BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)兩點(diǎn)都不可到達(dá)(如圖)：在河邊測(cè)量對(duì)岸兩個(gè)建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C，D，測(cè)出CDm，ACB，BCD，ADC，ADB，再在BCD中求出BC，在ADC中求出AC，最后在ABC中，由余弦定理求出AB.層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1一只螞蟻沿東北方向爬行x cm后，再向右轉(zhuǎn)

11、105爬行20 cm，又向右轉(zhuǎn)135，這樣繼續(xù)爬行可回到出發(fā)點(diǎn)處，那么x_.解析：由正弦定理得，x.答案：2一艘船以4 km/h的速度與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過(guò) h，則船實(shí)際航程為_ km.解析：如圖所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60，AD2124822436.AD6.即該船實(shí)際航程為6 km.答案：63從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30，看正南方向一只船俯角為45，則此時(shí)兩船間的距離為_米解析：如圖所示，BCh，ACh，AB2h.答案：2h4要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)分

12、別測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500米，則電視塔在這次測(cè)量中的高度是_米解析：由題意畫出示意圖，設(shè)高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得3h2h25002h500，解之得h500(米)答案：5005.如圖，為測(cè)量一棵樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60 m，則樹的高度為_m.解析：由正弦定理，得，PB.hPBsin 45sin 45(3030)m.答

13、案：(3030)6一船以22 km/h的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東45，1小時(shí)30分后航行到B處，在B處看燈塔S在船的南偏東15，則燈塔S與B之間的距離為_km.解析：如圖，ASB1801545120，AB2233，由正弦定理，得，SB66(km)答案：667.一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ABED是矩形，已知DAC50，CBE70，AC90，BC150，則DE_.解析：由題意知ACB120，在ACB中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB902150229015044 100.AB210，DE210.答案：2108線段AB外有一點(diǎn)C，ABC60，AB200

14、km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始_ h后，兩車的距離 最小解析：如圖所示，設(shè)t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD80t，BE50t.因?yàn)锳B200，所以BD20080t，問(wèn)題就是求DE最小時(shí)t的值由余弦定理：DE2BD2BE22BDBEcos 60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.當(dāng)t時(shí)，DE最小答案：9某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60相距20(1)海里的海面上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時(shí)10 海里的速度沿

15、某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將從基地東北方向刮過(guò)且(1)小時(shí)后開始持續(xù)影響基地2小時(shí)求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向解：如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B，開始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D，則B，C，D在一直線上，且AD20，AC20.由題意AB20(1)，DC20，BC(1)1010()在ADC中，因?yàn)镈C2AD2AC2，所以DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.所以BAC30，又因?yàn)锽位于A南偏東60，603090180，所以點(diǎn)D位于A的正北方向，又因?yàn)锳DC45，所以臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)楸逼?5.10.如圖，測(cè)量人員沿直線MNP的方向測(cè)量，測(cè)得塔頂A的仰

16、角分別是AMB30，ANB45，APB60，且MNPN500 m，求塔高AB.解：設(shè)ABx，AB垂直于地面，ABM，ABN，ABP均為直角三角形BMx，BNx.BPx.在MNB中，由余弦定理BM2MN2BN22MNBNcosMNB，在PNB中，由余弦定理BP2NP2BN22NPBNcosPNB，又MNB與PNB互補(bǔ)，MNNP500，3x2250 000x22500xcosMNB，x2250 000x22500xcosPNB，得x2500 0002x2，x250或x250(舍去)所以塔高為250 m.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點(diǎn)A處望見燈塔S在船的北偏東30

17、方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見燈塔在船的北偏東65方向上，則船在點(diǎn)B時(shí)與燈塔S的距離是_ km.(精確到0.1 km)解析：作出示意圖如圖由題意知，AB246，ASB35，由正弦定理，可得BS5.2(km)答案：5.22已知A船在燈塔C北偏東80處，且A船到燈塔C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40處，A，B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為_ km.解析：如圖，由題意可得，ACB120，AC2，AB3.設(shè)BCx，則由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos 120，即32x22222xcos 120，整理得x22x5，解得x1.答案：13.如圖，在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)

18、，一條搜救犬從A點(diǎn)出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105，行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135回到出發(fā)點(diǎn)，那么x_.解析：由題圖，知ABx，ABC18010575，BCA18013545，BC10，BAC180754560，x.答案：4一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是_海里/小時(shí)解析：如圖，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是這只船的速度是1

19、0海里/小時(shí)答案：105.如圖所示，在山底A處測(cè)得山頂B的仰角CAB45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000 m到達(dá)S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角DSB75，則山高BC為_ m.解析：SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000，BCABsin 451 0001 000(m)答案：1 0006.如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高度AD是60 m，則河流的寬度BC是_ m.解析：由題意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC753045，ABC18075105， 由正弦定理，得B

20、C120(1)(m)答案：120(1)7.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2

21、小時(shí)，角的正弦值為.8.在四邊形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的長(zhǎng)解：在ABD中，設(shè)BDx，由余弦定理，得BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得：x210x960，解得x116，x26(舍去)，由ADCD，BDA60，知CDB30，由正弦定理，得，BCsin 308.(時(shí)間120分鐘滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分將答案填在題中的橫線上)1已知ABC中，a，b ，B60，那么角A_.解析：由正弦定理得：，sin A.又ab，AB，A45.答案：452在ABC中，AB

22、，AC5，且cos C，則BC_.解析：由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcos C，得525BC29BC，解得BC4或5.答案：4或53在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若b2a，BA60，則A_.解析：b2a，sin B2sin A又BA60，sin (A60)2sin A，即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化簡(jiǎn)，得sin Acos A，tan A，A30.答案：304在ABC中，已知AB3，AC2，BC，則 _.解析：由向量模的定義和余弦定理可以得出|3，|2，cos，32.答案：5在ABC中，sin Acos A，AC4，AB5，則ABC的

23、面積是_解析：sin Acos Asin，即sin，0A，A，即A.SABCACABsin A45.答案：6在ABC中，ba，B2A，則ABC為_三角形解析：由正弦定理知：sin Bsin A，又B2A，sin 2Asin A.2cos Asin Asin A.cos A.A45，B90.故ABC為等腰直角三角形答案：等腰直角7在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若3bcos Accos Aacos C，則tan A的值是_解析：由正弦定理，3bcos Accos Aacos C可化為，3sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin Bcos

24、A，0A，sin A，從而tan A2.答案：28已知銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，則b_.解析：化簡(jiǎn)23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2 A10，解得cos A.由余弦定理，知a2b2c22bccos A，代入數(shù)據(jù)解方程，得b5.答案：59在ABC中，若b5，B，tan A2，則sin A_，a_.解析：因?yàn)樵贏BC中，tan A2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin A，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案：210鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC_.解析：SABCABB

25、Csin B1sin B，sin B，B45或135.若B45，則由余弦定理得AC1，ABC為直角三角形，不符合題意，因此B135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC.答案：11.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖，支桿BC10 m，吊桿AC15 m，吊索AB5 m，起吊的貨物與岸的距離AD為_ m.解析：在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB.sinACB.又ACBACD180.sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15 m.答案：12在ABC中，A60，最大邊與最小邊是方程3x227x320的兩個(gè)實(shí)根，那

26、么BC邊的長(zhǎng)為_解析：由已知可設(shè)最大邊與最小邊分別為b，c ，則bc9，bc.因?yàn)锳60，所以BC既不是最大邊也不是最小邊，所以BC2b2c22bccos 60b2c2bc(bc)23bc813249，即BC7.答案：713.如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長(zhǎng)為_解析：因?yàn)閟inBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理得，BD .答案：14某人在C點(diǎn)測(cè)得塔AB在南偏西80，仰角為45，沿南偏東40方向前進(jìn)10米到O，測(cè)得塔A仰角為30，則塔高為_米解析：畫出示意圖，如圖所示，CO10，OCD40，BCD80，

27、ACB45，AOB30，AB平面BCO，令A(yù)Bx，則BCx，BOx，在BCO中，由余弦定理得(x)2x21002x10cos(8040)，整理得x25x500，解得x10，x5(舍去)，所以塔高為10米答案：10二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分14分)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2asin Bb.(1)求角A的大??；(2)若a6，bc8，求ABC的面積解：(1)由2asin Bb及正弦定理，得sin A.因?yàn)锳是銳角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面積公式Sbcsin A，得ABC的面積為.16(本小題滿分14分)在ABC中，求證：.證明：右邊cos Bcos A左邊，所以.17(本小題滿分14分)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求角A的大?。?2)設(shè)a，S為ABC的面積，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此時(shí)B的值解：(1)由余弦定理得cos A.又0A，所以A.(2)由(1)得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin Aasin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C