微積分問題的計(jì)算機(jī)求解.ppt

1、微積分問題的計(jì)算機(jī)求解,一.微積分問題的解析解 二.函數(shù)的級(jí)數(shù)展開與級(jí)數(shù)求和問題求 解 三.數(shù)值微分 四.數(shù)值積分問題 五.曲線積分與曲面積分的計(jì)算,一微積分問題的求解,1. 極限問題的解析解 (1). 單變量函數(shù)的極限 調(diào)用格式: L=limit(fun , x, x0) 求極限 L=limit(fun , x, x0, left 或right) 求單邊極限 注: 在求解之前應(yīng)申明自變量,再定義極限表達(dá)式fun, 若x0為無窮,則可以用 inf 直接表示. 如果需要求解左右極限問題還需要給出左右選項(xiàng).,(2). 多變量函數(shù)的極限 多元函數(shù)的極限也可以同樣用Matlab中的limit( )函數(shù)

2、求解. 假設(shè)有二元函數(shù),要求其二重極限,可嵌套使用limit( )函數(shù). L=limit(limit(f, x, x0),y, y0) 或 L=limit(limit(f, y, y0),x, x0) 注:如果x0 , y0不是確定的值,而是另一個(gè)變量的函數(shù),則上述極限的位置不能改變.,2.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解,(1). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù) 函數(shù)調(diào)用格式: Y=diff(fun , x) 求導(dǎo)數(shù) Y=diff(fun , x, n) 求n階導(dǎo)數(shù) 注: fun 為給定函數(shù),x 為自變量, 這兩個(gè)變量應(yīng)該為符號(hào)型的,n 為導(dǎo)數(shù)的階次. 若省略n 則自動(dòng)求取一階導(dǎo)數(shù).,(2). 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),Ma

3、tlab的符號(hào)運(yùn)算箱中并未提供求取偏導(dǎo)數(shù)的專門函數(shù),這些偏導(dǎo)數(shù)仍然可以通過diff( )函數(shù)直接實(shí)現(xiàn). f=diff(diff(f , x, m), y, n) 或 f=diff(diff(f , y, n), x, m),(3). 多元函數(shù)的Jacobi矩陣,Jacobi矩陣在圖像處理, 機(jī)器人等諸多領(lǐng)域中均是很有用的矩陣,可以由Matlab中的符號(hào)運(yùn)算箱中的jacobian( )函數(shù)直接求得. 函數(shù)調(diào)用格式: G=jacobian(y, x) 注：其中是自變量構(gòu)成的向量，是由各個(gè)函數(shù)構(gòu)成的向量,(3). 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),調(diào)用格式： （，）（，） (). 參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) 若已知參數(shù)方程（），

4、（） 則函數(shù)的調(diào)用格式為： （，）（，）,. 積分問題的解析,（）不定積分的推導(dǎo) atlab 符號(hào)運(yùn)算箱中提供了（） 函數(shù)，可以用來求取符號(hào)函數(shù)的不定積分 調(diào)用格式： （，） 注：對(duì)于可積函數(shù)，atlab符號(hào)運(yùn)算箱提供的（）函數(shù)可以用計(jì)算機(jī)代替繁重的手工推導(dǎo)，立即得到原始問題的解，而對(duì)于不可積的函數(shù)，atlab也是無能為力的。,（2）定積分與無窮積分計(jì)算,有些函數(shù)不定積分可能不存在，但在實(shí)際應(yīng)用中需要求取它的具體定積分值或無窮積分的值。例如：erf（x）函數(shù)。在Matlab語言中仍然可以使用 int（）函數(shù)來求解定積分或無窮積分問題，其調(diào)用格式為： I= int (f, x, a , b )

5、注：x為自變量，（a，b）為定積分的積分區(qū)間，求解無窮積分時(shí)，允許將a，b設(shè)置成-inf 或 inf。如果得到的結(jié)果不是確切的數(shù)值，還可以用vpa（）函數(shù)得出定積分的解,（3）多重積分問題的Matlab求解,多重積分問題也可在Matlab語言環(huán)境下直接求解，但需要根據(jù)實(shí)際情況去選擇積分順序，可積的部分作為內(nèi)積分，然后再處理外積分。每步積分均采用int（）函數(shù)處理，如果交換積分次序后仍不能基礎(chǔ)解析解，則說明原積分問題沒有解析解，而需要數(shù)值方法求解原始的積分問題,二函數(shù)的級(jí)數(shù)展開與級(jí)數(shù)求和問題求解,一 Taylor冪級(jí)數(shù)展開 （1）單變量函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開 函數(shù) 調(diào)用格式： taylor

6、（f，x，k） 按x=0進(jìn)行Taylor冪級(jí)數(shù)展開 taylor（f，x，k，a）按x=a進(jìn)行Taylor冪級(jí)數(shù)展開 注： f為函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式，x為自變量，若函數(shù)只有一個(gè)自變量，則x可以省略。K為需要展開的項(xiàng)數(shù)，默認(rèn)值為6項(xiàng)。還可以給出a參數(shù)，表明需要獲得關(guān)于x=a 的冪級(jí)數(shù)展開。,（1）多變量函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開,Matlab的符號(hào)運(yùn)算工具箱并未提供計(jì)算多變量函數(shù)Taylor冪級(jí)數(shù)展開的直接函數(shù)，但可以用Matlab基本的語句計(jì)算該展開。另外，可以調(diào)用Maple語言中的mtaylor（）函數(shù)來直接求取多變量函數(shù)Taylor冪級(jí)數(shù)展開，其調(diào)用格式為： F=maple（mtaylor，

7、f，x1,.,xn, k） 原點(diǎn)展開 F=maple（mtaylor，f，x1=a1,.,xn=an, k）在 （a1，.,an）點(diǎn)展開 注：其中k-1為展開的最高階次，f為原多變量函數(shù)，該函數(shù)調(diào)用時(shí)自變量的引號(hào)不能省略，該地調(diào)用格式將原封不動(dòng)將這些信息傳遞給Maple語言。,（2）Fourier級(jí)數(shù)展開,Matlab和Maple語言均未提供求解Fourier系數(shù)與級(jí)數(shù)的現(xiàn)成函數(shù)。但不難編寫出其求解函數(shù)： function A,B,F=fseries(f,x,n,a,b) if nargin=3,a=-pi; b=pi; end L=(b-a)/2; if a+b,f=subs(f,x,x+L

8、+a);end A=int(f,x,-L,L)/L; B= ; F=A/2; for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=A,an; B=B,bn; F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L); end if a+b, F=subs(F,x,x-L-a);end,該函數(shù)的調(diào)用格式為： A，B，F(xiàn)=fseries（f，x，n，a，b） 注：其中 f 為給定函數(shù)，x為自變量，n為展開項(xiàng)數(shù)，a，b為x 的區(qū)間，可以省略取其默認(rèn)值為-pi，pi，得出的A

9、，B為Fourier系數(shù)，F(xiàn)為展開式。 當(dāng)然，仿照上述函數(shù)不難寫出其數(shù)值版。,（3）級(jí)數(shù)求和的計(jì)算,符號(hào)運(yùn)算工具箱提供的symsum（）函數(shù)可以用于已知通項(xiàng)的有窮或無窮級(jí)數(shù)的求和。該函數(shù)的調(diào)用格式為： S=symsum（ fk ，k，k0，kn） 注：其中fk 為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，k為級(jí)數(shù)自變量， k0，kn為級(jí)數(shù)求和的起始項(xiàng)和終止項(xiàng)并可以將起始項(xiàng)和終止項(xiàng)設(shè)置成無窮量inf。,三 數(shù)值微分,前面介紹了已知原型函數(shù)，可以通過diff( )函數(shù)求取各階導(dǎo)數(shù)解析解的方法，并可得出結(jié)論：高達(dá)100階的導(dǎo)數(shù)可以用Matlab語言在幾秒鐘的時(shí)間內(nèi)直接求出。應(yīng)該指出，前面介紹的解析方法的前提是原型函數(shù)為已知的。如

10、果函數(shù)表達(dá)式未知，只有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常也有求導(dǎo)的要求，這樣的問題就不能用前面的方法獲得問題的解析解。要求解這樣的問題，需要引入數(shù)值算法得到所需問題的解。由于在Matlab語言中沒有現(xiàn)成的數(shù)值微分函數(shù)，所以，我們介紹較好算法的Matlab 實(shí)現(xiàn)。,1 中心差分方法及其Matlab實(shí)現(xiàn),調(diào)用函數(shù)為： dy，dx=diff_ctr(y,dt, n) 注：y為給定的等間距的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量，dt為自變量的間距，n為所需導(dǎo)數(shù)階次。向量dy為得出的導(dǎo)數(shù)向量，dx 為相應(yīng)的自變量向量。注意這兩個(gè)向量的長度比y短。,2 二元函數(shù)的梯度計(jì)算,如果給定二元函數(shù)的函數(shù)值矩陣z，其中z 為網(wǎng)格數(shù)據(jù)，則可以

11、由gradient（）函數(shù)求取二元函數(shù)的梯度。其調(diào)用格式為： fx，fy= gradient（z） 注：其實(shí)這樣算出來的fx，fy不是真正的梯度。這里尚未考慮x，y坐標(biāo)的情況。如果得到的z矩陣建立在等間距的形式生成網(wǎng)格基礎(chǔ)上的，則實(shí)際的梯度值可以如下求出： fx= fx /dx， fy= fy/dy 這里dx，dy分別為x，y生成網(wǎng)格的步距。,四 數(shù)值積分問題,由給定數(shù)據(jù)進(jìn)行梯形求積 假設(shè)已建立起向量x，y則可用下面的語句得出積分值： sum(2*y(1:end-1:)+diff(y).*diff(x)/2 Matlab提供的trapz（）函數(shù)也可以直接用梯形法求解積分問題，該函數(shù)調(diào)用格式為：

12、 S=trapz（x，y） 其中，x可為行向量或列向量，y的行數(shù)應(yīng)該等于x向量的元素?cái)?shù)。如果y由多列矩陣給出，則該函數(shù)可以得出若干個(gè)函數(shù)的積分值。,2 單變量數(shù)值積分問題求解,單變量函數(shù)的數(shù)值積分還可以采用一般數(shù)值分析中介紹的其他算法求解。例如：采用Simpson方法。基于此算法，采用自適應(yīng)變步長方法給出了 quad（）函數(shù)來求取定積分，該函數(shù)的調(diào)用格式為： y=quad（Fun，a，b） 求定積分 y=quad（Fun，a，b，usilon） 限定精度 注：Fun為描述被積函數(shù)的字符串變量，可以是一個(gè)Fun.m函數(shù)文件名，該函數(shù)的一般格式為y=fun(x),還可以用inline（）函數(shù)直接定義。a，b分別為定積分的上 下限，usilon為用戶指定的誤差限。,2 雙重積分問題的數(shù)值解,調(diào)用函數(shù)格式： y=dblquad(Fun, xm,xM, ym,yM) 矩形區(qū)域重積分 y=dblquad(Fun, xm,xM, ym,yM，usilon) 限定精度的雙重積分 注意：本函數(shù)不允許返回被積函數(shù)調(diào)用次數(shù)，故用戶可以自己在被積函數(shù)中設(shè)置一個(gè)計(jì)數(shù)器，從而測(cè)出調(diào)用次數(shù)。,4 三重積分的