高三數(shù)學一輪 5.3 平面向量的數(shù)量積導學案 理 北師大版

1、5.3平面向量的數(shù)量積2014高考將這樣考試。1。調查兩個向量的數(shù)量積的方法；2.利用兩個矢量的數(shù)量，求出矢量的夾角、矢量的強度。用兩個向量的數(shù)量積證明兩個向量是垂直的。復習準備考試要這樣做。1.要理解數(shù)量積的意義，掌握求數(shù)量積的多種方法。了解數(shù)量乘積的計算特性。用數(shù)量積解決矢量的幾何問題。1.平面向量的數(shù)量積已知兩個非0牙齒矢量A和B，其角度為，數(shù)量| A | | B | COS 稱為A和B的數(shù)量(或內在)，AB=| A | | B | COS 。規(guī)定：0向量與任意向量的數(shù)量積為_0_。非零牙齒矢量a與b垂直的兩個先決條件是ab=0，非零牙齒矢量a與b平行的兩個先決條件是ab=| a | |

2、 b |。2.平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量乘積ab等于a的長度|a| a方向的b的投影| b | cos 的乘積。平面矢量數(shù)量積的重要性質(1)ea=AE=| a | cos；(2)非零牙齒向量a，b，aBab=0；(3)如果a與b方向相同，則ab=| a | | b |a和b反轉后，ab=-| a | | b |，aa=a2，| a |=；(4)cos=；(5)| ab | _ _ _ _ _ | a | | b |。4.平面向量數(shù)量積滿足的運算法則(1) ab=ba(交換法)；(2) ( a) b= (ab)=a ( b) (實數(shù))；(3) (a b) c=AC BC。平面矢量數(shù)量積的相關

3、特性的坐標表示您可以設定向量a=(x1，y1)、b=(x2，y2)和ab=x1x2 y1 y2(1)如果a=(x，y)，則| a | 2=x2 y2或| a |=。(2)設定A(x1，y1)，B(x2，y2)后，A，B兩點之間的距離| ab |=| |=。(3)非零牙齒矢量a，b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a-b=(x2 y1 y2=0)。請求困難的正本疑團1.向量的數(shù)量積是實數(shù)兩個向量的數(shù)量積是與兩個向量的長度及其角度的余弦相關的量，使用向量的數(shù)量積解問題時，必須注意兩個向量的角度范圍。2.ab0是兩個向量ab的角度壓印所需的不充分條件。如果“A，B=0”，則ab0，A，B的角

4、度不是銳角。另外，在ABC中，還要注意區(qū)分夾角和角度B的關系。3.計算數(shù)量積時利用數(shù)量積的幾何意義是一種重要的方法。1.已知向量a和向量b之間的角度為135，| a |a|=2，| b |b|=3，向量a和向量b的數(shù)量為ab=_ _ _ _ _ _ _。答案-3分析ab=| a | | b | cos135=23=-3。2.a | b，| a |a|=2，| b |b|=3，并且3a 2b垂直于 a-b時，實數(shù)的值為_ _ _ _ _ _。答案分析結果表明，AB等于a-b=0。我們知道3A 2B與 A-B垂直。 (3a 2b) ( a-b)=3 a2-2b2=3 22-232=0。=。3.如果

5、a=(2，3)，b=(-4，7)，則a在b方向的投影為_ _ _ _ _ _。答案分析設置a和b之間的角度為，| a |a|cos =|a| a |=。4.(2011遼寧)如果已知矢量a=(2，1)，b=(-1，k)，a (2a-b)=0，則k等于()A.-12b。-6c.6d.12答案d解決方法稱為a (2a-b)=2a2-ab=2 (4 1)-(-2 k)=0，k=12。5.(2012陜西)如果矢量a=(1，cos )垂直于b=(-1，2 cos )，則cos 2 =等于()A.b.c.0d.-1答案c分析a=(1，cos )，b=(-1，2 cos )。ab，ab=-1 2c os2=0

6、，cos2=，cos2=2c os2-1=1-1=0。問題類型1平面向量的數(shù)量乘運算范例1 (1)在RtABC中，c=90，AC=4等于()A.-16b。-8c.8d.16(2)矢量a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，滿足條件(8a-b) c=30時，x為()A.6b.5 C.4 d.3思維啟蒙：(1)因為c=90，所以根據(jù)向量選擇。(2)先計算8A-B，然后用矢量的數(shù)量積列出方程，得出X。答案(1)D (2)C分析(1)=(-) (-)=-=16。(2)a=(1，1)，b=(2，5)，8a-b=(8，8)-(2，5)=(6，3)。此外，(8a-b) c=30，(6，3) (3，x

7、)=18 3x=30。x=4。探索有三種增加兩個向量數(shù)量的茄子方法：利用定義。利用矢量的坐標運算數(shù)量積的幾何意義。牙齒問題從另一個角度創(chuàng)造性地解決了問題，充分利用了已知的條件。(2012北京)如果正方形ABCD的邊長為1，點E已知為AB邊的行程點，則值為_ _ _ _ _ _ _ _ _；的最大值為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。回答1 1分析方法1在射線AB，AD在x軸，y軸的正向上創(chuàng)建平面直角坐標系為A(0，0)、B(1，0)、C(1，1)、D(0，1)E(t，0)，t-0，1，下一個=(t，-1)，=(0，-1)，因此=(t，-1)(因為=(1，0)，所以=(t，-1) (1，0

8、)=t1，因此，最大值為1。方法2可以看到，無論E點在哪里，方向的投影都是CB=1。=| | 1=1，e移動到點b時，方向的最大投影為DC=1，()max=| | 1=1。問題型2向量角度和向量模式范例2已知的| a |a|=4，| b |b|=3，(2a-3b) (2a b)=61，(1)求出a和b之間的角度。(2)請求| a b |(3)=a，=b時，求ABC的面積。思維啟蒙：數(shù)量乘積的定義和| a |=。解決方案(1)(2a-3b)(2a b)=61，4 | a | 2-4a B- 3 | b | 2=61。此外，| a |a|=4，| b |b|=3，64-4a B- 27=61，ab

9、=-6。cos=-。另外，0，=。(2)可以先把平方轉換成向量的數(shù)量積。| a b | 2=(a b) 2=| a | 2 2ab | b | 2=42 2 (-6) 32=13，| a b |=。(3)和的角度=，ABC=-=。另外| |=| a |=4，| |=| b |=3，sABC=| | | sin | ABC=43=3。增量(1)在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常使用數(shù)量積的定義、模型、角度等公式。特別是，需要充分重視| A |=，這是用于求距離的常用公式。(2)要注意矢量運算法和實數(shù)運算法的差異和聯(lián)系。向量運算中靈活地利用運算方法，達到簡化運算的目的。(1)如果已知矢量a，b滿意| a

10、|a|=1，| b |b|=4和ab=2，則a和b之間的角度為()A.b.c.d .答案cCos a，b=，=。(2)如果已知矢量a=(1，)，b=(-1，0)，則| a 2b |等于()A.1b.c.2d.4答案c解決方案| a 2b | 2=a2 4a b 4b2=4-41 4=4，| a 2b |=2。問題型3向量數(shù)量積的綜合應用例3被稱為a=(cos ，sin)，b=(cos ，sin ) (0 )。(1)認證：a b和a-b徐璐垂直。(2)如果ka b等于a-kb的摩爾，則具荷拉-。(其中k是非零牙齒的實數(shù))思維啟蒙：(1)證明兩個向量徐璐垂直，計算牙齒兩個向量的數(shù)量問題，數(shù)量積為零

11、證明。(2)模數(shù)平等，熱方程，簡化。(1)證明(a b)(a-b)=a2-B2=| a | 2-| b | 2=(cos2 sin2)-(cos2 sin2)=0，a b和a-b徐璐垂直。(2)解毒卡b=(kcos cos ，ksin +sin )，A-kb=(cos -kcos ，sin -ksin )，| ka b |=，| a-kb |=。| ka b |=| a-kb |，2 kcos(-)=-2 kcos(-)。另外，k0，cos(-)=0。0，0-，-=。探索增強(1)向量A和B作為座標給出時，如果證明了AB，則AB=0x1x2 Y1 Y2=0。(2)向量A，B為非座標時，以已知的

12、非共線向量為基礎表示A，B，非共線向量必須知道其模具和角度。因此，AB=0。(3)在數(shù)量乘運算中，對于非零牙齒矢量，如果A=0，則AB=0，但不能稱為AB。已知平面向量a=(，-1)，b=。(1)證明書：ab；(2)如果有非0牙齒實數(shù)k和t，則c=a (T2-3) b，d=-ka TB，cd，函數(shù)關系k=f (t)。(1)證明ab=-1=0，ab(2)解決方案c=a (T2-3) b，d=-ka TB，c-d，CD=a(T2-3)b(-ka TB)=-ka2 t (T2-3) B2 t-k (T2-3) ab=0，另外，a2=| a | 2=4，B2=| b | 2=1，ab=0，CD=-4k

13、 T3-3t=0，k=f(t)=(t0)。三心圖形識別特征前例：(5分鐘)把兩個傾斜的直角三角形板合在一起，如圖所示。=x y，則x=_ _ _ _ _ _ _ _ _，y=_ _ _ _ _ _ _。圖形由三角板組成(注意三角板的特性)命令| ab |=1，| AC |=1(三角板兩條對角線的長度)| de |=| BC |=(鄭智薰等腰三角板的特性)| BD |=| de | sin60=(主Abd=45 90=135)上面的投影是xx=| ab | | BD | cos45=1=1上面的投影是yy=| BD | sin45=。解析方法結合圖形性質，將向量設定為單位向量。=x y，x，y是

14、中的投影。而且| BC |=| de |=，|=| | sin60以上投影X=1 cos45=1=1，上述投影y=sin 45=。方法2=x y，另=，=x y，=(x-1)y .另外，=(x-1)2。設定| |=1，問題| |=| | |=。另外， bed=60， | |=。明明是哇45。為=(x-1) 2。1 cos45=(x-1) 12。x=1。同樣，=(x-1)如果y的兩側取數(shù)量積，則y=。回答1舒適地突破牙齒問題的關鍵是掌握圖形的特征(圖形由三角板構成)。根據(jù)圖形的特點，利用矢量分解的幾何意義，可以方便快捷地解決。方法2是對原試題給出的答案，比方法稍繁。方法和技巧1.計算數(shù)量積的三種

15、茄子方法：不要忽略定義、坐標計算、數(shù)量積的幾何意義、靈活選擇、圖形相關數(shù)量積幾何意義的應用。2.尋找向量模具的一般方法：使用公式| a | 2=a2將模具的運算轉換為向量數(shù)量積的運算。3.利用矢量垂直或平行的條件構造方程或函數(shù)是尋找參數(shù)或最值問題的常用方法和技巧。錯誤和預防1.(1) 0和實數(shù)0的差值：0a=0 0，a (-a)=0 0，A0=00；(2)0的方向是任意的，不是沒有方向，0與某個矢量平行，我們只定義了非零牙齒矢量的垂直關系。2.無法推出ab=0 a=0或b=0。當ab=0時，ab3.AB=AC (A 0)不能發(fā)布B=C。也就是說剔除法不成立。a組特殊基礎教育(時間：35分鐘，滿

16、分：57分)一、選擇題(每個問題5分，共20分)1.(2012遼寧)已知矢量a=(1，-1)，b=(2，x)，如果ab=1，則x為()A.-1b。-c.d.1答案d分析ab=(1，-1) (2，x)=2-x=1x=1。2.(2012重慶)設定x、y-r、向量a=(x，1)、b=(1，y)、c=(2，-4)和a-cA.b.c.2d.10答案bA=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，在ac中，AC=0，即2x-4=0，x=2。b-c到1 (-4)-2y=0，-y=-2。a=(2，1)，b=(1，-2)。a b=(3，-1)，| a b |=。3.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)。

17、如果向量c滿足(c a) b，c(a b)，則c等于()A.bC.D.答案d剖析設定c=(x，y)，c a=(x 1，y 2)，另一個(c a)此外，c(a b)，(x，y)(3，-1)=3x-y=0。聯(lián)立 解是x=-，y=-。4.在ABC中，ab=3、AC=2、BC=等于()A.-B.-c.d .答案d分析原因| | | | cos _ BAC=(| 2 | | 2-| | 2)=(9 4-10)=。第二，填空(每個小問題5分，共15分)5.(2012全國)已知矢量a，b角度為45，| a |a|=1，| 2a-b |=，| b |=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _回答3A，B的角度為