正交多項(xiàng)式回歸設(shè)計(jì)及參數(shù)設(shè)計(jì)

1、正交多項(xiàng)式回歸設(shè)計(jì)&參數(shù)設(shè)計(jì),正交多項(xiàng)式回歸設(shè)計(jì),定義 將正交試驗(yàn)法與多項(xiàng)式回歸分析結(jié)合 特點(diǎn) 兼顧了兩種技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，且計(jì)算簡(jiǎn)單 正交試驗(yàn)法 可用較少的試驗(yàn)次數(shù)，獲得能反映全面試驗(yàn)的情況；通過(guò)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的ANOVA，可估計(jì)若干因素影響的相對(duì)大小及因素間的相互關(guān)系，并利用此種關(guān)系在一定置信度下由各因素的取值去預(yù)測(cè)響應(yīng)值的范圍 多項(xiàng)式回歸 可將響應(yīng)值控制在某一區(qū)間內(nèi)，反向確定各個(gè)影響因素的取值范圍；尤其當(dāng)影響因素個(gè)數(shù)較多，處理數(shù)據(jù)的工作量較大時(shí)可大大簡(jiǎn)化計(jì)算 前提 僅適用于自變量取等間隔數(shù)值的情況,多項(xiàng)式回歸,若x可控，且其水平取值的間距為h（并非均為1），則任一組等距點(diǎn)為x1=a+h，x2=a+

2、2h，xn=a+nh 通過(guò)下式轉(zhuǎn)化為一組標(biāo)準(zhǔn)等距點(diǎn)（h=1）1,2,t,n 設(shè)對(duì)應(yīng)于xi = t的試驗(yàn)結(jié)果為yt，則可產(chǎn)生一個(gè)k次多項(xiàng)式 設(shè)1（x）、 2（x）、 k（x）分別為x的一、二、及k次多項(xiàng)式，則可見(jiàn),Cont,k次線性回歸方程的偏回歸系數(shù)由正規(guī)方程組決定 為簡(jiǎn)化計(jì)算，同時(shí)令 （即正交性） 求解偏回歸系數(shù)和截距,Cont,正交多項(xiàng)式 xt的取值為標(biāo)準(zhǔn)等距點(diǎn)，n為因素的水平數(shù) 由于i（x）的值并非均為整數(shù)，則通常引進(jìn)適當(dāng)?shù)南禂?shù)，使其在幾個(gè)整數(shù)點(diǎn)上的值變?yōu)檎麛?shù),Cont,對(duì)于給定的n，相應(yīng)的i及i（x）在1，2，n各整數(shù)點(diǎn)的數(shù)值及 均已制表,Cont,Cont,Cont,Cont,Con

3、t,利用正交多項(xiàng)式回歸的計(jì)算步驟,根據(jù)因素水平數(shù)n，設(shè)需配一個(gè)k次多項(xiàng)式（k5），n個(gè)水平至多配（n-1）階的多項(xiàng)式 依次求 回歸方程為,Cont,每次多項(xiàng)式i（x）的系數(shù)bi及相應(yīng)的Bi只與yt及i（x）有關(guān)，而不隨其他各次多項(xiàng)式的增減而變化；在整個(gè)回歸中多配一項(xiàng)i（x）將使回歸平方和增加一項(xiàng)biBi，故第i次多項(xiàng)式i（x）的效應(yīng)為Pi=biBi=Bi/si，而回歸平方和則是各次效應(yīng)的和 方差分析表,Cont,為考察甲醛濃度x與縮醛化度y之間的定量關(guān)系，對(duì)7種不同甲醛濃度各進(jìn)行了若干次試驗(yàn)，測(cè)出各種濃度的平均縮醛化度 配一個(gè)4次多項(xiàng)式的回歸方程 將x變?yōu)橐唤M標(biāo)準(zhǔn)等距點(diǎn)x（1，2，7） 利用n

4、=7做正交多項(xiàng)式，則回歸方程變?yōu)?Cont,Cont,由于一次項(xiàng)高度顯著，故線性方程為,Cont,由于二次項(xiàng)也顯著，故二次方程為 由于三次項(xiàng)與四次項(xiàng)不顯著，故無(wú)需再配,Cont,各個(gè)點(diǎn)的回歸計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較,正交多項(xiàng)式回歸設(shè)計(jì)與回歸方程的建立,若用正交表安排試驗(yàn)，將因素水平的間距取為相等，則可用正交多項(xiàng)式回歸來(lái)處理正交試驗(yàn)的結(jié)果，定量地描述響應(yīng)值與各因素間的關(guān)系 各因素的總效應(yīng)函數(shù)可表示為各因素效應(yīng)之和 式中，P(A)、P(B)、P(C)分別為因素A、B、C等的效應(yīng)函數(shù)，可按正交多項(xiàng)式展開(kāi),Cont,各項(xiàng)回歸系數(shù)bk和常數(shù)項(xiàng)b0的計(jì)算 式中， ，r為同一因素水平下的重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) 求出各個(gè)b

5、和b0，即可建立回歸方程,Cont,對(duì)于多因素等水平間距試驗(yàn)，選用正交表 安排,Cont,標(biāo)準(zhǔn)等距點(diǎn)的轉(zhuǎn)化（式1-6） 按式1-6正交多項(xiàng)式展開(kāi)，對(duì)式1-2（二水平），各因素只需配1項(xiàng)；而對(duì)式3-6（四水平），各因素則需配3項(xiàng)（具體展開(kāi)式見(jiàn)后頁(yè)） 由于二水平因素需進(jìn)行8次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)進(jìn)行三次重復(fù)測(cè)定，故總的重復(fù)次數(shù)r =8*3次；同理，各個(gè)四水平因素的正交試驗(yàn)次數(shù)則為r =4*3次 計(jì)算各自回歸系數(shù),Cont,其余回歸系數(shù)同理計(jì)算,Cont,將上述回歸系數(shù)帶入效應(yīng)函數(shù)公式，即可得回歸方程 回歸方程及各回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),Cont,以上為最優(yōu)回歸方程 手工計(jì)算過(guò)于繁瑣，故需借助軟件實(shí)現(xiàn),產(chǎn)品的

6、三次設(shè)計(jì),一種產(chǎn)品的質(zhì)量，是設(shè)計(jì)質(zhì)量、制造質(zhì)量和使用質(zhì)量的總和；而前者是形成產(chǎn)品質(zhì)量關(guān)鍵的第一步，以防“先天不足，后患無(wú)窮” 美國(guó)質(zhì)量管理專家JurAn博士認(rèn)為，設(shè)計(jì)質(zhì)量占整個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量的比率為60% 日本質(zhì)量工程專家田口玄一博士認(rèn)為，設(shè)計(jì)質(zhì)量（包括產(chǎn)品設(shè)計(jì)與工藝設(shè)計(jì)）占整個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量的比率為70%左右 田口博士在20世紀(jì)70年代首次提出“三次設(shè)計(jì)”的概念。認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量，首先是設(shè)計(jì)出來(lái)的，其次才是創(chuàng)造和檢驗(yàn)出來(lái)的,Cont,概念 設(shè)計(jì)某種性能的產(chǎn)品以滿足市場(chǎng)的需求，一般要經(jīng)歷三個(gè)階段，系統(tǒng)設(shè)計(jì)、參數(shù)設(shè)計(jì)與容差設(shè)計(jì) 本質(zhì) 在專業(yè)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，用正交設(shè)計(jì)的方法選擇最佳組合和最合理的容差范圍，盡量用價(jià)

7、格低廉的、低等級(jí)的零部件進(jìn)行組裝的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,Cont,系統(tǒng)設(shè)計(jì)（System Design） 又稱基礎(chǔ)設(shè)計(jì)，為三次設(shè)計(jì)的第一步 專業(yè)技術(shù)人員運(yùn)用專業(yè)知識(shí)與技術(shù)，利用系統(tǒng)工程的思想與方法，對(duì)產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)、性能、壽命、材料等進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)，以探討產(chǎn)品如何最經(jīng)濟(jì)、最合理地滿足市場(chǎng)用戶需求 該階段質(zhì)量的好壞完全取決于專業(yè)技術(shù)人員的能力和經(jīng)驗(yàn)；而試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在此階段不起任何作用 故需要數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜遗浜蠈I(yè)技術(shù)人員，盡力尋找產(chǎn)品性能指標(biāo)與系統(tǒng)中各參數(shù)（即因素）之間的函數(shù)關(guān)系，才會(huì)為后續(xù)的參數(shù)設(shè)計(jì)帶來(lái)極大方便,Cont,參數(shù)設(shè)計(jì)（Parameter Design） 在系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)影響產(chǎn)品特征的各項(xiàng)參

8、數(shù)及水平，運(yùn)用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的技術(shù)方法，目的在于尋找試驗(yàn)因素的最優(yōu)參數(shù)組合 常見(jiàn)分類 “直接擇優(yōu)” 若性能指標(biāo)具有某個(gè)確定的目標(biāo)值，或具有越大（或越?。┰胶弥匦?，試驗(yàn)?zāi)康膬H在于使指標(biāo)值達(dá)到或接近優(yōu)良狀態(tài) “穩(wěn)定性擇優(yōu)” 通過(guò)良好的參數(shù)組合，來(lái)提高產(chǎn)品指標(biāo)的穩(wěn)定性。一般地，按照一組優(yōu)良參數(shù)設(shè)計(jì)制造的產(chǎn)品，將表現(xiàn)在其目標(biāo)特性的波動(dòng)性小，穩(wěn)定性好。,Cont,本質(zhì) 乃產(chǎn)品質(zhì)量的優(yōu)化設(shè)計(jì)，屬于三次設(shè)計(jì)的核心階段；主要利用非線性設(shè)計(jì)的性質(zhì)減少輸出響應(yīng)的波動(dòng)，減少質(zhì)量損失 步驟 分析、明確問(wèn)題的提出，選擇因素及其水平 選擇正交設(shè)計(jì)表，確定試驗(yàn)方案 進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)出所需的響應(yīng)特征值 進(jìn)行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 確定最佳方

9、案,Cont,容差設(shè)計(jì)（Tolerance Design） 對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量、成本和市場(chǎng)等問(wèn)題綜合考慮，做出規(guī)劃 基本思想 參數(shù)設(shè)計(jì)只決定各因素的參數(shù)中心值，但其實(shí)各參數(shù)均由一個(gè)公差（公差的一半即容差）。明顯地，當(dāng)各因素的參數(shù)在公差范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，產(chǎn)品的性能也隨之改變 要使產(chǎn)品的性能接近目標(biāo)值，各因素的公差應(yīng)該多少為宜？這就是第三次設(shè)計(jì)需要考慮的重點(diǎn)問(wèn)題 一般地，除了使產(chǎn)品滿足容差的要求，還需要考慮主要影響因素，是否可以用波動(dòng)范圍較小的一級(jí)品、二級(jí)品替代三級(jí)品，從而提高產(chǎn)品質(zhì)量，降低質(zhì)量損失，增加經(jīng)濟(jì)收益，但同時(shí)成本會(huì)上升，因此需要衡量得失利弊,Cont,三次設(shè)計(jì)的特點(diǎn) 基礎(chǔ)設(shè)計(jì) 不用試驗(yàn)設(shè)計(jì) 參數(shù)

10、設(shè)計(jì) 不需要增加單位制造費(fèi)就能提高產(chǎn)品質(zhì)量，是 最便宜的設(shè)計(jì) 容差設(shè)計(jì) 只能在參數(shù)設(shè)計(jì)之后進(jìn)行，且產(chǎn)品的單位制造 費(fèi)用很高 穩(wěn)定性擇優(yōu)設(shè)計(jì)就集中在如何有效地進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)階段,參數(shù)設(shè)計(jì)的基本思想（1）,產(chǎn)品的質(zhì)量用產(chǎn)品帶來(lái)的損失大小來(lái)衡量 “理想質(zhì)量” 用戶總期望購(gòu)買的產(chǎn)品在給定的使用條件下和使用壽命期內(nèi)，既能達(dá)到既定的目標(biāo)性能，又無(wú)有害的副作用，這也是用戶評(píng)價(jià)質(zhì)量的參考點(diǎn) 實(shí)際上，由于產(chǎn)品間的差異、使用環(huán)境的不同或產(chǎn)品提前老化等諸多原因，“理想質(zhì)量”會(huì)有不同程度的偏離，自然也就給供需雙方，乃至社會(huì)帶來(lái)不同程度的損失 一般認(rèn)為，理想產(chǎn)品的損失為0，損失越小，則質(zhì)量越高，需方人數(shù)將越多，供方利潤(rùn)也

11、越豐厚,參數(shù)設(shè)計(jì)的基本思想（2）,產(chǎn)品的損失用質(zhì)量損失函數(shù)來(lái)度量 產(chǎn)品的特性值y不僅與目標(biāo)值m之間存在差異（由表示容差），同時(shí)還可能因?yàn)閬?lái)自生產(chǎn)條件、使用環(huán)境即時(shí)間因素等多方面的干擾而發(fā)生變化，產(chǎn)生波動(dòng)，造成損失 當(dāng)產(chǎn)品的y落在m- ，m+的公差范圍內(nèi)，即為合格品 反之，則為不合格（需報(bào)廢、降級(jí)或返修）或次品（需方） 設(shè)質(zhì)量波動(dòng)超過(guò)作為不合格處理時(shí)，給供方造成的損失為A元；而作為次品出廠，給需方造成的損失為D元；D A 若質(zhì)量波動(dòng)未超過(guò)，仍會(huì)因?yàn)樯僭S的波動(dòng)，導(dǎo)致y偏離目標(biāo)值m，也會(huì)造成一定的損失，但其必然小于A,Cont,設(shè)產(chǎn)品特性值為y的產(chǎn)品，出廠給需方帶來(lái)的損失為L(zhǎng)（y） 當(dāng)y = m時(shí)，

12、L（m）= 0取極小值，其導(dǎo)數(shù)必然也為0 當(dāng)y偏離m達(dá)到時(shí)， L（m-）= L（m+）= D 圍繞目標(biāo)值m，對(duì)損失函數(shù)L（y）做Taylor展開(kāi)，并只取到二次項(xiàng)，可得以下近似表達(dá)式 可見(jiàn)，損失函數(shù)的第一項(xiàng)即為第三項(xiàng)，即質(zhì)量損失函數(shù)在y = m附近可近似地表達(dá)為一條二次曲線,Cont,質(zhì)量損失函數(shù)為,Cont,質(zhì)量損失函數(shù)的確定，關(guān)鍵在于m與k k可由功能界限0及其相應(yīng)損失D0確定 功能界限是指產(chǎn)品失去功能時(shí)偏離中心的界限值，即當(dāng) y - m 0 時(shí)，產(chǎn)品可正常使用，發(fā)揮功能；反之，當(dāng) y - m 0 時(shí)，產(chǎn)品則完全喪失功能，不能使用 即質(zhì)量損失函數(shù)為,Cont,某一電視機(jī)的電源電壓，輸入交流電

13、壓220V，輸出直流電壓y的目標(biāo)值m0為110V。用戶在使用過(guò)程中，其穩(wěn)壓電源的直流輸出電壓y與目標(biāo)值m0之間產(chǎn)生10V的偏差，即喪失功能。此時(shí)，用戶因維修、廢棄、重構(gòu)等而蒙受損失，假設(shè)平均損失40元。請(qǐng)估計(jì)損失函數(shù)。,Cont,若生產(chǎn)出某一電視，其輸出電壓105V，偏離5V。試問(wèn)該產(chǎn)品能否作為合格品出廠呢？并估計(jì)該產(chǎn)品將給用戶帶來(lái)的損失。 若廠家能支付2元對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行返修，使輸出電壓達(dá)到110V，此時(shí)輸出電壓的波動(dòng)損失則為0 反之，若廠家只考慮自身利益，為節(jié)省2元返修費(fèi)，則講給用戶和社會(huì)增加（10 - 2）= 8元的損失,參數(shù)設(shè)計(jì)的基本思想（3）,產(chǎn)品質(zhì)量特性y是隨機(jī)變量，由于事先無(wú)法得知確切

14、值，故損失函數(shù)L（y）也是隨機(jī)變量 對(duì)隨機(jī)變量最好的評(píng)定方式為其數(shù)學(xué)期望（平均值），即EL = E L（y）為平均損失，該值越小，則產(chǎn)品質(zhì)量越高 可見(jiàn)，要減少平均損失，需盡量減少方差和絕對(duì)偏差；減少后者相較前者容易一些,Cont,參數(shù)設(shè)計(jì)的兩步法 穩(wěn)健設(shè)計(jì)減少y的波動(dòng)，使產(chǎn)品質(zhì)量較為穩(wěn)定 靈敏度設(shè)計(jì)尋找“調(diào)節(jié)因子”，減少偏差，使y的均值盡量向目標(biāo)值靠近,參數(shù)設(shè)計(jì)的基本思想（4-1）,進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)時(shí)，需要明確兩個(gè)指標(biāo)，一是產(chǎn)品的質(zhì)量特性y，二是表征y波動(dòng)的指標(biāo)（信噪比） 望目特性 具備望目特性的y應(yīng)該是連續(xù)測(cè)定的且不為負(fù)的任意值，其目標(biāo)值m是非零的有限值，且y越接近m越好 信噪比SN 本質(zhì)為變異

15、系數(shù)平方的倒數(shù)，SN越大，則質(zhì)量波動(dòng)越小 記y1，y2，yn是y的n個(gè)觀察，則SN估計(jì)值為（dB分貝）,參數(shù)設(shè)計(jì)的基本思想（4-2）,望小特性 具備望小特性的y應(yīng)該是連續(xù)測(cè)定的且不為負(fù)的任意值，同時(shí)y應(yīng)越接近理想值0越好 由于望小特性沒(méi)有目標(biāo)值，故其參數(shù)設(shè)計(jì)只有穩(wěn)健設(shè)計(jì) 此時(shí)，使用m = 0的平方損失函數(shù) 其平均損失為 其信噪比為 可見(jiàn)，信噪比越大，則等價(jià)于平均損失越小,參數(shù)設(shè)計(jì)的基本思想（4-3）,望大特性 具備望大特性的y應(yīng)該是連續(xù)測(cè)定的且不為負(fù)的任意值，同時(shí)y應(yīng)取值越大越好 同樣望大特性沒(méi)有目標(biāo)值，故其參數(shù)設(shè)計(jì)只有穩(wěn)健設(shè)計(jì) 若y為望大特性，則（1/y）為望小特性，利用前頁(yè)望小特性的公式，

16、也可估計(jì)出望大特性的信噪比,穩(wěn)健設(shè)計(jì),目的旨在減少y的波動(dòng)，尋找使得質(zhì)量波動(dòng)達(dá)到最小的可控因素的水平組合 舉例說(shuō)明穩(wěn)健設(shè)計(jì)與分析的全過(guò)程 欲設(shè)計(jì)一個(gè)電源電路，能把交流110V變?yōu)橹绷?15V。工程中已有成熟的電路可以使用，但其中有兩個(gè)電子元器件的參數(shù)需要確定 因素A（電阻） 因素B（電流放大倍數(shù)） 兩因素各選5個(gè)水平，并安排11次試驗(yàn),Cont,三組參數(shù)搭配可使輸出為直流115V ：A=200 B=800 ：A=250 B=500 ：A=350 B=260 需要選擇一組參數(shù)搭配，使得偏差和波動(dòng)均較?。?Cont,尋找波動(dòng)源 由專業(yè)經(jīng)驗(yàn)與實(shí)際情況判斷 A 電阻的標(biāo)稱值有10%的波動(dòng) B 電流放大

17、倍數(shù)的標(biāo)稱值有50%的波動(dòng) 直觀分析 當(dāng)A固定在250時(shí)，y是B的線性函數(shù) 當(dāng)B固定在500時(shí)，y是A的非線性函數(shù),Cont,從上圖可見(jiàn)，要使y波動(dòng)小，電阻A應(yīng)選大一些為好 綜上，選擇參數(shù)搭配（A=350 B=260） 注意事項(xiàng) 一般地，線性效應(yīng)有助于將y的均值平移至目標(biāo)值m；而非線性效應(yīng)則有助于降低噪聲的干擾 面臨包含多個(gè)因素的復(fù)雜試驗(yàn)中，噪聲因素也多種多樣時(shí)，直觀分析是非常困難的,Cont,一般方案借助正交設(shè)計(jì) 以參數(shù)搭配（A=200 B=800）為例，在噪聲因素A和B的干擾下，取其最大干擾，形成噪聲因素水平表,Cont,由y與B之間的線性效應(yīng)，得出y = yA+（B-500）/20 以2

18、號(hào)試驗(yàn)為例 將A=180，yA = 89，B=800帶入上式 ，得y = 104 估計(jì)y的均值，方差的無(wú)偏估計(jì)和信噪比SN,Cont,類似地，對(duì)參數(shù)搭配和同樣可以獲得相應(yīng)的SN,穩(wěn)健設(shè)計(jì)的基本步驟,明確參數(shù)設(shè)計(jì)的問(wèn)題 確定影響質(zhì)量特性y的因素 可控因素 3-8個(gè)為宜，各因素的設(shè)定為2-3個(gè)水平為宜 噪聲因素 外部噪聲、內(nèi)部噪聲、產(chǎn)品間噪聲 內(nèi)外表設(shè)計(jì) 可控因素在內(nèi)，噪聲因素在外 內(nèi)表中的每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)一張外表 進(jìn)行試驗(yàn)，獲得每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果yij 內(nèi)n外m，共nm個(gè)結(jié)果 統(tǒng)計(jì)分析 一個(gè)外表數(shù)據(jù)計(jì)算一個(gè)對(duì)應(yīng)的信噪比 將各個(gè)信噪比放入內(nèi)表，按正交設(shè)計(jì)的分析處理 驗(yàn)證試驗(yàn),Cont,靈敏度設(shè)計(jì),目的 在不增加y波動(dòng)的前提下，設(shè)法將均值調(diào)節(jié)到目標(biāo)值 適用 望目特性的y 設(shè)隨機(jī)變量y的均值期望為，則其平方則為y的靈敏度 其無(wú)偏估計(jì)為 參照信噪比的做法，則y的靈敏度為,Cont,靈敏